Формулы объема и площади поверхности тел вращения

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Объем и площади поверхностей Цилиндра.

Решение задач.

Объем и площади поверхностей Конуса.

Решение задач.

Объем Шара и площадь поверхности Сферы.

Решение задач.

Домашнее задание

Вопрос 1. Объем и площадь поверхности Цилиндра.

Решение задач

Как известно из темы о телах вращения,

Цилиндр – это тело вращения.

Основными элементами цилиндра являются:

- основания (нижнее и верхнее), радиус (диаметр) основания, высота, боковая поверхность, образующая (в прямом цилиндре является и высотой), развертка цилиндра.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь поверхности цилиндра, в соответствии со строением данного тела вращения, можно разделить на две составляющие:

1) площадь боковой поверхности;

Площадь двух оснований.

Рассмотрим формулы определения этих площадей.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Развертка цилиндра, по линии образующей (без оснований) – это прямоугольник.

где Н – одна сторона прямоугольника развертки

(высота цилиндра);

2π R – другая сторона прямоугольника развертки

(длина окружности основания цилиндра)$

R – радиус основания цилиндра.

Площадь прямоугольника-развертки – это произведение сторон прямоугольника: 2π RH .

Площадь этого прямоугольника-развертки и есть площадь боковой поверхности цилиндра:

S_бок = 2π RH

Обращаем внимание, что единица измерения площади всегда имеет вторую степень (квадрат)

Площадь основания цилиндра

Основание цилиндра является круг. Площадь круга определяется по формуле πr².

Площадь двух оснований (нижнего и верхнего) цилиндра – это площадь оснований цилиндра:

S_осн. = 2π R ², где R- радиус основания цилиндра

Суммарная площадь этих двух составляющих представляет собой площадь полной поверхности цилиндра:

S_полн.= S_бок + S _осн. = 2π RH + 2 π R ²

Объем цилиндра

Принцип определения объема цилиндра такой как у призмы и параллелепипеда: произведение площади основания на высоту данного геометрического тела.

Площадь основания цилиндра – π R ² . Высота цилиндра – Н.

Объем цилиндра определяем по формуле:

V_{цилиндра} = π R ² H

Обращаем внимание, что в формуле объема единица измерения всегда имеет третью степень (куб).

Таблица формул для заучивания.

Решение задач

Задача 1

Длина окружности основания прямого цилиндра составляет 8 p см, высота цилиндра равна 6 см.

Найти:

а) радиус основания цилиндра

б) площадь основания цилиндра

в) площадь боковой поверхности цилиндра

г) площадь полной поверхности цилиндра

д) площадь осевого сечения цилиндра

е) объем цилиндра

Решение:

а)Длина окружности основания цилиндра (из условия)

C = 8 =2pR

Отсюда, радиус цилиндра R = 8/2 p = 4/ p (см);

диаметр цилиндра D – 2 R = 8 p (см).

б) S_осн.= p R²= p · 16/ p ² = 16/ p (см²)

в) Из условия высота цилиндра H = 6 (см)

S_бок.= 2 p R · H= 2 p · 4/ p · 6 = 48 (см²)

г)S_полн.= S_бок+ S_осн.= (48+ 16/ p ) (см²)

д)Осевое сечение цилиндра – это сечение, которое образуется при пересечении тела цилиндра плоскостью, которая проходит через ось (высоту) цилиндра.

В результате осевого сечения получаем геометрическую фигуру – прямоугольник со сторонами: Н – высота цилиндра и D – цилиндра.

Площадь осевого сечения определяется как площадь прямоугольника – произведение двух смежных сторон прямоугольника, в нашем случае – произведение высоты Н на диаметр D.

S_{ос. сеч.} = D · H= 8/ p · 6= 48/ p (см²)

е)V= p R² · H = p · 16/ p ² · 6 = 96/ p (см³)

Ответ:

а) 4/ p (см);

б) 16/ p (см²);

в) 48 (см²);

г)(48+ 16/ p ) (см²);

д) 48/ p (см²);

е) 96/ p (см³).

Задача 2

Решение:

1. Исходя из того, что имеем прямой цилиндр, значит площадь осевого сечения представляет собой – прямоугольник со сторонами:

АС = ВD = H = 7 (см).

AD = CD = D (диаметр основания цилиндра)

2. Площадь сечения, как площадь прямоугольника, определим как произведение двух смежных сторон прямоугольника:

Например, АС ● СD = 42 (см²) (из условия).

Зная высоту цилиндра (АС), найдем СD:

CD = 42 : 7 = 6 (см).

3. В тоже время, CD – это диаметр основания цилиндра, значит, радиус основания цилиндра R = 3 (см).

4. S_осн.= πR²= π9 = 9π (см).

Ответ: 9π (см).

Вопрос 2. Объем и площадь поверхности Конуса.

Решение задач

Конус – тело вращения, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов либо путем вращения равнобедренного треугольника вокруг своей оси (высоты).

Конус – это геометрическое тело, которое состоит из основания, представленное окружностью, из вершины, представленной точкой, не лежащей в плоскости основания и равноудаленной от всех точек на окружности, из образующих, представляющих собой прямые линии, соединяющие вершину со всеми точками, лежащими на окружности.

Конус – это частный случай пирамиды, в основании которой лежит окружность. Большинство свойств пирамиды подходят и для конуса.

Основными элементами конуса являются: основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.

Рассматривая вопрос о конусе, мы говорим о прямом круговом конусе, но называем его просто конус.

На Рис.1 представлен прямой круговой конус. Характеризуется тем, что основание высоты конуса совпадает с центром окружности основания.

На Рис.2 представлен наклонный конус. Характеризуется тем, что основание высоты конуса не совпадает с центром окружности основания или выходит за границы плоскости основания.

Рис.2

Рис.1

Площадь поверхности конуса

Образующие конуса – это отрезки, заключенные между точками окружности и вершиной конуса. Образующие конуса равны между собой.

Чтобы найти длину образующей l, следует воспользоваться формулой:

где h – это высота конуса; R – это радиус основания.

Если все образующие соединить между собой, можно получить боковую поверхность конуса.

Полная поверхность конуса состоит из боковой поверхности, имеющей форму сектора радиусом l (длина образующей) и поверхности основания, имеющего форму круга.

Рис.3. Полная поверхность конуса

где ά - градусная мера дуги АА₁;

длина дуги АА₁ – это длина окружности основания и равна 2π r;

l – образующая, r – радиус основания.

Чтобы найти площадь боковой поверхности, следует воспользоваться формулой:

Докажем это.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки боковой поверхности конуса, то есть площадь кругового сектора равна:

где ά - градусная мера дуги АА₁;

l – образующая, r – радиус основания.

Можно выразить ά через l и r.

Длина дуги развертки равна длине дуги конуса окружности. , откуда .

Подставив в первоначальную формулу, получим:

Итак, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь полной поверхности конуса представляет собой сумму площадей боковой поверхности и площади основания, определяется следующей формулой:

Объем конуса

Формула объема конуса похожа на объем цилиндра, но разделенная на «3»:

Этот коэффициент 1/3 получен в результате определенных математических расчетов.

Необходимо очень твердо запомнить, что в формулах объема «треугольных» фигур: конуса и пирамиды этот коэффициент 1/3 присутствует, а в формулах параллелепипеда, призмы и цилиндра этого коэффициента нет!

Приведем формулы расчета боковой и полной поверхности, а также объема усеченного конуса.

В нашем примере представлен усеченный конус, полученный путем перпендикулярного сечения, то есть сечения плоскостью, перпендикулярной высоте конуса.

Приведем также Таблицу тел вращения, в которой представлены

Формулы объема и площади поверхности тел вращения

Решение задач

Задача 1

Дано: Прямой круговой конус. РО₂ = 8 дм. S_сеч.= ½ S_осн.

Найти: РО₁.

Решение:

1. Сечение и основание конуса – круги, которые являются подобными геометрическими фигурами.

2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

где S_сеч.= πr₁², S_осн.= πr₂².

4. Из полученной пропорции PO₁ = r₁/r₂ ●РО₂ = 1/√2 ● 8 = 4√2.

Ответ: 4√2 дм.

Задача 2

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту конуса пополам.

Найти площадь полной поверхности отсеченного конуса (Рис. 1).

Решение

Рис. 2. Подобные треугольники

Заметим, что по условию у отсеченного конуса высота в два раза меньше высоты исходного.

Рассмотрим осевое сечение большего конуса АSВ и увидим, что треугольники АSВ и А₁SВ₁ подобны с коэффициентом 2 (см. рис. 2).

Значит, и образующая, и радиус также в два раза меньше.

Площадь полной поверхности конуса определяется по формуле .

Если мы по условию и полученным в решении данным уменьшим радиус и образующую вдвое, то правая часть формулы расчета S_п.п.уменьшится вчетверо, значит, полная поверхность маленького конуса А₁SВ₁ будет равна 12 : 4 = 3.

Ответ: 3.

Задача 3

Длина окружности основания конуса равна 3, а образующая равна 2.

Найти площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Ответ: 3.

Задача 4

Рис.1. – искомый угол

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади его основания. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания. Ответ дайте в градусах (см. Рис.1).

Решение

2. По условию, S_б.п.в 2 раза больше S_осн.Значит, .

3. Рассмотрим осевое сечение, проведем высоту (ось конуса). Получим прямоугольный треугольник, в котором катет (радиус основания) вдвое меньше гипотенузы, значит, угол при радиусе равен 60 градусам (см. Рис.2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Ответ: 60 градусов.

Задача 5

Радиус круга, лежащего в основании конуса, равен 3 дм, а угол между образующей и основанием составляет 60⁰.

Найти:

а) образующую конуса

б) высоту конуса

в) площадь боковой поверхности конуса

г) площадь полной поверхности конуса

д) угол между образующими осевого сечения конуса

е) объем конуса

Решение:

а) l = 2R = 6 (дм), т.к. ÐSAO = 60

б ) изDASO: H²= AS² - AO²= 6²- 3² = 36 – 9 = 27

в) S_бок.= pRl = p·3·6 = 18p(дм²)

г) S_полн. = S_бок + S_осн. = 18p + 9p = 27p (дм²)

д) Ð 60^° = Ð ASB H = Ö27 = Ö9·3 = 3Ö3 (дм)

е) V = 1/3 S_оснH = 1/3·9p 3√3 = 9√3 p(дм³)

Таким образом, ответы даны на все а) – е) вопросы.

Вопрос 3. Объем Шара, площадь Сферы.

Решение задач

Как вам уже известно:

Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар – это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара.

Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н.э.

Впоследствии, когда было открыто, что Земля – это шар, а небо – небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии – сферическая геометрия.

Для того, чтобы решать задачи на определение размера и объеме шара, вспомним его определение.

Шар

Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространства, имеющими общее свойство.

А именно: эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра.

Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара – мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара.

Вы уже знаете, как получить шар: путем вращения круга (полукруга) вокруг его же диаметра.

То есть диаметр круга будет осью вращения.

Образованная фигура – и есть шар. Шар называют также телом вращения, потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры – круга (полукруга).

Если возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар, подобно тому как мы режем ножом апельсин, кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.

Еще в Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой как с геометрическими фигурами и использовать их, например, при строительстве, но также умели рассчитывать площадь поверхности шара и объем шара.

Сфера

Вы уже знаете, что иначе поверхность шара называется сферой.

Сфера – это не тело – это поверхность тела вращения.

В связи с тем, что наша планета Земля и многие другие тела имеют сферическую форму, например, капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение.

Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.

Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе – секущая к сфере содержит в себе ее хорду.

Определение объема шара

Формула для вычисления объема шара,

если известен радиус R шара:

Объем шара V вычисляется по формуле

Данная формула является базовой!