Формула первого замечательного предела
Доказательство:
Введём вначале понятие 
. На числовой прямой отложим точку x € (0; π/2).
Рассмотрим единичную окружность. Совместим точку 0 числовой прямой с точкой А на рисунке и начнём наматывать числовую ось на единичную окружность. Положительную часть числовой оси против часовой стрелки, а отрицательную – по часовой. Длина единичной окружности равна 2 
следовательно, точка n/2 совпадёт с верхней точкой окружности и длина дуги АК будет равняться х. Тогда КН = 
Очевидно, что: S▲OKA < Sсектора ОКА <S▲OLA (1)
{\displaystyle S_{\triangle OKA}<S_{sectKOA}<S_{\triangle OAL}}Поскольку S▲OKA = ½ * 1 * sin x{\displaystyle \left|KH\right|=\sin x,\,\left|LA\right|=\operatorname {tg} x}: Sсектора ОКА = ½ * 1 * x ;
S▲OLA = ½ * 1 * tg x
{\displaystyle S_{\triangle OKA}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|\cdot \left|KH\right|={\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot \sin x={\frac {\sin x}{2}}}
{\displaystyle S_{sectKOA}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|^{2}\cdot x={\frac {x}{2}}}
{\displaystyle S_{\triangle OAL}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|\cdot \left|LA\right|={\frac {\operatorname {tg} x}{2}}}
Подставляя в (1), получим:
{\displaystyle {\frac {\sin x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\operatorname {tg} x}{2}}}sin x < x < tg x.
Так как при x € (0;π
/2). {\displaystyle x\to +0:\sin x>0,\,x>0,\,\operatorname {tg} x>0}:sin x >0, то
1< 
{sins\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {tg} x}}<{\frac {1}{x}}<{\frac {1}{\sin x}}}
1
По теореме о 2-х милиционерах 
→1, откуда получаем, что
Следствия первого замечательного предела запишем формулами
1. 
2. 
3. 
4. 
|
|
|
Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль 
для выражений с тригонометрическими функциями. Рассмотрим сначала ряд примеров на первый замечательный пределу, а потом изучим второй замечательный предел.
Примеры решений с первым замечательным пределом
Это означает, что 
при 
.
Геометрически это означает, что синусоида проходит через начало координат под углом 450.
Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.
– тот же самый первый замечательный предел.
На практике в качестве параметра 
может выступать не только переменная 
, но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.
Примеры:
, 
, 
, 
Пример 11
Найти предел последовательности
Решение: неопределённость 
можно раскрутить двумя способами. Первый путь – через первый замечательный предел, который справедлив и для последовательностей:
Прокатывает и 2-й метод решения – через замечательные эквивалентности:
Заменим бесконечно малую последовательность эквивалентной:
при 
.
В данном случае 
|
|
|
Готово.
Пример 12
Найти предел последовательности
Это пример для самостоятельного решения. Здесь аргумент арктангенса также бесконечно мал, поскольку его знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель. Решать, разумеется, значительно выгоднее через замечательную эквивалентность.
В заключение урока рассмотрим ещё один важный вопрос:
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!