Вычисление пределов последовательностей

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Предел последовательности (продолжение)

Принцип вложенных отрезков

Множество числовых отрезков { }

называется системой вложенных отрезков, если справедливы следующие неравенства:

то есть если

Теорема о пересечении системы вложенных отрезков

Всякая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение

Пусть имеем систему вложенных отрезков. Обозначим - множество всех левых концов, - множество всех правых концов.

Из неравенств, определяющих вложенные отрезки, следует, что

по свойству непрерывности множества вещественных чисел заключаем, что существует число с , такое что выполняется неравенство .

В частности, последнее неравенство выполняется при , т.е.

Следовательно, число с принадлежит всем отрезкам , поэтому это число принадлежит их пересечению. Таким образом доказано, что пересечение вложенных отрезков не является пустым.

Можно сформулировать условие, при котором пересечение системы вложенных отрезков состоит лишь из единственной точки.

Если длины отрезков стремятся к нулю, то существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Доказательство. По предыдущей теореме о пересечении вложенных отрезков имеем, что . Предположим, что существуют две точки и , принадлежащие пересечению всех отрезков: и .

Тогда величина расстояния между числами и не превышает длины любого из этих отрезков: .

Но так как длины всех отрезков стремятся к нулю, то величина расстояния между числами и также меньше либо равна 0. Отрицательным расстояние быть не может, следовательно существует единственное число с, принадлежащее всем вложенным отрезкам, длины которых стремятся к нулю.

Неравенство Бернулли (1)

Докажем методом математической индукции.

1. База индукции. При n =1 имеем равенство. Неинтересно.

Неравенство Бернулли верно при n =2.

2. Индукционное предположение. Предположим, что неравенство (1) верно при n = k , то есть

3. Докажем справедливость неравенства (1) при n = k +1.

Лч( k +1)=

Число е

Утверждение. Рассмотрим последовательность

Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху.

Доказательство. Докажем монотонность, то есть, что последующий член больше предыдущего.

Итак х _n _{+1 >} x_n , то есть последовательность монотонно возрастает.

Докажем ,что последовательность ограничена сверху

Так как последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то существует её предел, который назвали числом е, то есть

= 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 50

Также Это уже предел функции. Сделаем замену .Получаем

Вычислим

Важные формулы.

1. Сумма натуральных чисел:

Sn=1+2+…n= ⁼

^2. Сумма квадратов натуральных чисел:

Sn = 1²+2² + 3²+…+ n² =

^3. Сумма кубов натуральных чисел:

Sn = 1 ³ +2 ³ + 3 ³ +…+ n ³ = ( 1+2+…n )²= ²

Доказательство методом математической индукции Формула 3.

1. База индукции

n =1 1³=1² верно

n =2 1³+2³ = (1+2)² верно

2. Индукционное предположение. Пусть при n = k формула верна, то есть 1³+2³+…+ k ³ =( )²

3. n=k+1 ЛЧ(к+1)=1³+2³+…к³+(к+1)³=

= )² +(к+1)³=( k ² (к+1)²)/4 +(к+1)³=

=(к+1)² =((к+1)²( k +2)²)/4=Пч(к+1), чтд.

Вычисление пределов последовательностей

2) Выделяем множители содержащие третью степень и сокращаем на них

3) Разбиваем данный пример на сумму

4) В такого типа примерах нужно вынести в знаменателе из-под корня множитель в наибольшей степени

5) В этом примере и подобных нужно найти слагаемое с максимальным степенью

В числителе переменная находится в степенях и 3/2. Переменная в знаменателе находится в степенях и . Поскольку наибольшая степень знаменателя является больше степени числителя 3/2. то знаменатель растет быстрее числителя.

Если бы было наоборот, то предел был бы равен бесконечности ( ). В случае одинаковых показателей степеней переменной, числитель и знаменатель сокращаем на нее и получаем константу.

Предел равен нулю, так как степень знаменателя больше степени числителя .

7) Как и в предыдущем примере раскладываем до наибольшего общего факториала

8) К примерам в которых переменная выступает в качестве показателя надо относиться с особым вниманием. Незнание закономерностей поведения степенных функций часто приводит к ошибкам в решении. В данном примере растет значительно быстрее поэтому его выделяем как главный множитель

9) Величина ( ⁿ стремится к нулю при . На основе этого вычисляем предел

Пример

Найти предел последовательности

Решение: Cначала полное решение, потом пошаговые комментарии:

(1) В числителе дважды используем формулу .

(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.

(3) Для устранения неопределённости выносим из числителя и знаменателя («эн» в старшей степени).

Как видите, ничего сложного.

Пример 4

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.

В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:

Пример 5

Найти предел последовательности

Решение оформим по той же схеме:

(1) Используя свойства степеней, вынесем из показателей всё лишнее, оставив там только «эн».

(2) Смотрим, какие показательные последовательности есть в пределе: и выбираем последовательность с наибольшим основанием: .

(3) В числителе и знаменателе проводим почленное деление. Поскольку является бесконечно убывающей геометрической прогрессией , то она стремится к нулю. И тем более к нулю стремится константа, делённая на растущую прогрессию: . Делаем соответствующие пометки и записываем ответ.

Пример 6

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения.

Как-то незаслуженно остался в забвении стильный почерк, присущий только пределу последовательности. Пора исправить ситуацию:

Пример 7

Найти предел последовательности

Решение: чтобы избавиться от «вечного соперника» нужно расписать факториалы в виде произведений. Но прежде, чем приступить к математическому граффити, рассмотрим конкретный пример, например: .

Последним множителем в произведении идёт шестёрка. Что нужно сделать, чтобы получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 6 – 1 = 5. Чтобы получить множитель, который располагается ещё дальше, нужно из пятёрки ещё раз вычесть единичку: 5 – 1 = 4. И так далее.

Не беспокойтесь, это не урок в первом классе коррекционной школы, на самом деле мы знакомимся с важным и универсальным алгоритмом под названием «как разложить любой факториал». Давайте разделаемся с самым злостным флудером нашего чата: