Задание для самостоятельной работы. Задача 8. Определить тип рациональной дроби и найти интеграл:
Задача 8. Определить тип рациональной дроби и найти интеграл:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Задача 9. Найти интегралы:
1) ;
2) ;
3) .
Занятие №6. Интегрирование рациональных дробей (продолжение)
Цель занятий: усвоить новые учебные элементы на уровне знаний и умений применять их к решению типовых задач.
Учебные вопросы
1. Метод неопределенных коэффициентов.
Ход занятия
Краткая информация о новых учебных элементах
Определение 1. Дробь называется рациональной, если её числитель и знаменатель – многочлены (предполагаем, что коэффициенты многочленов действительные числа).
Определение 2. Дробь называется правильной, если степень многочлена , находящегося в числителе, меньше чем степень многочлена , находящегося в знаменателе.
Определение 3. Если степень числителя дроби равна степени знаменателя или больше ее, то рациональная дробь называется неправильной.
Всякая неправильная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби. Поэтому интегрирование рациональной дроби всегда может быть приведено к интегрированию многочлена и правильной дроби.
Алгоритм нахождения интеграла методом неопределенных коэффициентов
1) Проверить, правильная ли дробь. Если дробь неправильная, то необходимо представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.
|
|
2) Знаменатель правильной дроби разложим на простейшие множители вида и .
3) Правильную рациональную дробь разложим на простейшие дроби:
, (1)
где неопределенные коэффициенты, которые нужно вычислить.
4) Для вычисления неопределенных коэффициентов приводим равенство (1) к общему знаменателю, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества, и решаем систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Тем самым интегрирование рациональной дроби сводим к интегрированию суммы простейших рациональных дробей.
Задача 1. Определить, правильная ли дробь:
Задача 2. Представить в виде суммы многочлена и правильной дроби неправильную дробь:
Решение. Дробь неправильная, т.к. степень числителя больше степени знаменателя.
Разделим числитель на знаменатель по правилу деления многочленов.
Таким образом:
.
Задача 3. Найти интеграл: .
Решение. 1. Дробь правильная, т.к. степень числителя меньше степени знаменателя.
2. Разложим знаменатель на простейшие множители:
;
два действительных корня.
|
|
.
3. Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух простейших дробей:
.
4. Найдем коэффициенты А и В. Для этого приведем дроби к общему знаменателю и воспользуемся правилом равенства дробей:
;
Приравниваем коэффициенты при х и свободные члены. Составим систему уравнений и найдем А и В:
.
Решив систему, получили . Таким образом:
.
Тогда:
.
Задача 4. Найти интеграл: .
Решение. 1. Дробь правильная. Знаменатель разложен на множители.
2. Правильную рациональную дробь разложим на простейшие дроби по формуле (1):
.
3. Найдем коэффициенты А, В, С. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:
.
По правилу равенства дробей:
Приведем подобные члены в правой части тождества:
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х и свободные члены в левой и правой части. Так как в левой части нет , то его коэффициент равен 0 .
.
Таким образом, решив систему, получим:
.
Тогда
;
.
Задача 5. Найти интеграл методом неопределенных коэффициентов:
.
Решение. 1. Дробь правильная.
2. Разложим знаменатель на множители:
.
3. Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух простейших дробей:
.
4. Найдем коэффициенты А, В, С:
Приравниваем коэффициенты при и свободные члены. Так как в левой части нет , то их коэффициенты равны 0.
|
|
.
Таким образом:
.
Тогда
.
Задача 6. Найти интегралы методом неопределенных коэффициентов:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) .
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 535; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!