Рівномірний, показниковий та нормальний розподіли, їх характеристики.

Класичні неперервні розподіли:

1) Рівномірний розподіл на [a;b]

2) Показниковий (експоненціальний)

3) Нормальний розподіл (Карла-Гаусса)

N(a,σ²)- параметри розподілу


	Дзвіноподібна функція

N(0,1) – стандартний нормальний розподіл

P(x)= - функція Лапласса

Функції від неперервних випадкових величин

ƺ F _ƺ (x) p _ƺ (x) ɳ = f(ƺ )

1) f(x) ↑ F_ɳ(x)= P ^-1(x)}=F_ƺ(f^-1(x))

y=x²y=1/xy=e^x

y= y=1/x y= ln x

Приклад:

ƺ має показниковий розподіл з параметром ƛ:

^F_ƺ(x) = 1-e^-ƛ^x, x>0

ɳ=ƺ²

f(x)= x²

f^-1(x)=

F_ɳ(x)=F_ƺ( )=1- e^-ƛx x>0

p(x)= x>0

2) f(x)↓

F_ɳ(x)= P ^-1(x)}=1-F_ƺ(f^-1(x))

^F_ƺ(x) = 1-e^-ƛ^x, x>0

ɳ=1/ƺ

f^-1(x)=1/x

F_ɳ(x)=1-(1- e^-ƛ/x)= e^-ƛ/x x>0

p(x)= e^-ƛ^/x _* x>0

3) f(x) ↑↓

F_ɳ(x)= P

Приклад

ƺ [-1;1]

F_ƺ(x)=

ɳ=|ƺ|

P_ɳ(x)=P{|ƺ|<x} = [0;1]

= {-x<ƺ<x} = F_ƺ(x)- F_ƺ(-x)= - =x

[-a;a] |ƺ| [0;a]

Багатовимірні розподіли.

Вектор, у якого компоненти випадкові величини – випадковий.

(x1,x2…xn)=P{

Властивості багатовимірної функції розподілу:

1. По кожній координаті функція неперервна зліва;

2. По кожній координаті функція неспадна;

3. ;

-частинна похідна

B-строчка, Т- стовпчик

P(x1,x2…xn)=

(багатовимірна функція = добутку одновимірних.

Нерівність Чебишева

Нерівність Чебишова — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової змінної із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного сподівання. Нерівність Чебишова дає кількісні характеристики цієї властивості.

Теорема:

Нехай існує величина із математичним сподіванням і дисперсією . виконується нерівність

Доведення:

Звідси , отже

Наслідок нерівності Чебишева(правило 3-х ксі):

Модифікації нерівностей Чебишева:

При k=1 при . Це найпростіша модифікація.

Типи збіжності випадкових величин

Озн1.: ξ₁, ξ₂, … , ξ_n – слабо збігаються до випадкової величини ξ (позн: ξ_n => ξ), якщо відповідна функція розподілу F₁(x), F₂(x)… збігається до ф-ції розподілу F_ξ(x) у всіх точках непрерервності F(x)

Озн2.:Послідовність випадкових величин ξ₁, ξ₂, … , ξ_n збігається за ймовірностю (позн ) до випадкової величини ξ, якщо для будь-якого ε>0

Озн3.:Послідовність ξ₁, ξ₂, … , ξ_n збігається до ξ при n->+∞ в середньоквадратичному (позн ), якщо

(*)

Озн4.: ξ₁, ξ₂, … , ξ_n збігається за ймовірністю 1 до випадкової величини ξ (позн

) (“майже напевно”), якщо

(*) за нерівністю Чебишева:

Const: якщо ξ_n=>const

Генератриси, їх властивості.

приймає цілі невід’ємні значення.

P( =k)=p_k. , k=0, 1, 2…

Генератриса:

A(s)=Ms^ксі= ^kp_k. |s|<=1

1) A(1)= p_k =1

2)|A(s)|<=1, |A(s)|<= p_k <= p_k =1.

3)A’(1)<=M

A’(s)= * p_k|_s=1= p_k= M

4)A”(1)= p_k= p_k- p_k=M ²- M

D = M ²– (M )²=A’’(1)+A’(1) – (A’(1))².

5)A(0) = p₀=p( =0).

6) і – незалежні події. A_{ксі+ета}(s)=A_ксі(s) * A_ета(s).

A_{ксі+ета}(s)=Ms^{ксі+ета} = Ms^ксі *s^ета = Ms^ксі*Ms^ета = A_ксі(s)*A_ета(s).

p_k A(s) – бієкція (кожному розподілу відповідає своя генератриса, кожній генератрисі – свій розподіл)

p_k = . A(s) = ^k* = = = .

A_{ксі+ета}(s)=A(s)_ксі*A_ета(s) = * = .

Перша теорема Хелі

Лема: Для того, щоб послідовність F₁(x), F₂(x)…F_n(x) слабо збігалась до достатньо збіжності цієї послідовності на всюди щільній множині D. D – яку б точку із R ми не взяли, якмй би окіл (x- ,x+ ) не взяли, точка d завжди буде потрапляти в D.