Аксіоматичне означення імовірності. Властивості імовірностей
Нехай є простір елементарних подій, σ(сігма)-алгебра і імовірність для них (Ω, ,Р)
- сукупність підмножин простору елементарних подій Ω
1). ∀ А є Р(А)≥0;
2). Р(Ω)=1 (аксіома одиниці);
3). Аксіома зліченої адитивності:
А і є , Аі ∩ Аj = Ø, і ≠ j
P( ) =
Властивості імовірностей:
1.1) Р(А) = 1 – Р(Ᾱ) 2) Ω = А ∪ Ᾱ 3) Р(Ω) = Р(А ∪ Ᾱ) = Р(А) + Р(Ᾱ)
2. Р(Ø) = 0 Ø є Ω , Р(Ø) = Р( ) = 1 – Р(Ω) = 1-1 = 0
3. А с В Р(В \ А) = Р(В) – Р(А) В \ А = В \ (А ∩ В) = В ∩ В = (В \ А) ∪ А Р(В) = Р(( В \ А) ∪ А) = Р(В \ А) + Р(А) Р( В \ А) = Р(В) – Р(А)
4. А с В Р(А) < Р(В) Р(В \ А) = Р(В) – Р(А)
Р(В \ А) ≥ 0 ,=> Р(В) – Р(А) ≥ 0 Р(В \ А) ≥ 0 ,=>
Р(В) – Р(А) ≥ 0 => Р(В) ≥ Р(А)
5. ∀ А є Р(А) ≤ 1 А с Ω Р(А) ≤ Р(Ω) =1
6. ∀ А, В є Р(А ∪ В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В) А ∪ В = А ∪ (В\(А ∩ В)) Р(А ∪ В) = Р(А) + Р(В\(А ∩ В)) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В)
7. А1 , А2 ,…Аn є Р(В ∪ Аn) = Р(Аn) + Р(В) – Р(Аn ∩ В) Р ( ) = + )+…+ (-1)n P(A1 ) Р(А ∪ В) = Р(А1) + Р(A2) – Р(А1 ∩ A2)
P( ) = P( ∪ An) = P(B ∪ An) = P(B) + P(An) – P(B ∩ An)
P(B) =
P(B ∩ An) = P(( )∩ B) = P( ∩ An)) = P( = 8. Теорема неперервоності для ймовірностей
Послідовність подій: - монотонно зростаюча, якщо
А1≤ А2≤ А3≤ А4≤….. Аn≤ Аn+1≤…
- монотонно спадна, якщо А1≥ А2≥ А3≥ А4≥….. Аn≥ Аn+1≥…
Умовні ймовірності.Приклади
Властивості:
1. P(A/A)=1 2. P(A/Ω)=P(A) 3.P(Ω/A)=1 4. P(A/B)>=0
|
|
5.
Теорема множення ймовірностей подій
(*)
Узагальнена ф-ла множення ймовірностей
….
Якщо покласти ( , отримаємо (*)
Дві події А і В наз. незалежними,якщо
Дві події А і В незалежнi,якщо
Приклад1. 2 гр.кубика , якщо на 1-му випала 1-ця?
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
Позн , P(B)>0
,P(A)>0
\ P(A)>0,P(B)>0
Приклад2 2 гр. кубика
А-парна кількість очок, В – непарна. Незал?
Події незалежні.
Формула повної імовірності та формула Байєса.
Формула Байєса.
Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій . Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез . Для цього застосовують формулу Байєса. Нехай - усі гіпотези та несумісні події. (i = 1, 2,…n). Подія А відбувається хоча б з однією із подій, тоді:
– це апріорна ймовірність;
– це апостеріорна ймовірність;
Доведення:
Формула повної ймовірності:
Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i=1,2,…,n), які утворюють повну групу.
Тоді ймовірність події А подається формулою:
|
|
Доведення:
Незалежні події
Def. Дві події А і В називаються незалежними якщо ймовірність добутку дорівнює добутку ймовірностей ( теорема множення незалежних подій):
P(A*B) =P(A)*P(B) або P(A∩B)=P(A)*P(B)
Тоді P(A/B) = P(A*B)/P(B) = P(A)*P(B)/P(B) = P(A);
P(B/A) = P(B*A)/P(A) = P(A)*P(B)/P(A) = P(B);
Властивості незалежних подій:
1Якщо А і В – незалежні події то А і В̅ , Ᾱ і В, Ᾱ і В̅ - незалежні події:
Р(А∩В̅) = Р(А) ∩ Р(В̅)
Р(А∩В̅) = Р(А) ∩ Р(В̅)=Р(А\(А∩В))=Р(А)-P(A)*P(B)=P(A)*(1-P(B))= P(A)*P(В̅ )
P(Ᾱ ∩ В̅ )=P(A U B)=1-P(A U B)=1-(P(A)+P(B)-P(A ∩ B))=1-P(A)-P(B)+
P(A)*P(B)=(1-P(B))-P(A)+ P(A)*P(B)=(1-P(B))-P(A)*(1-P(B))= (1-P(A))(1-
P(B))=P(Ᾱ)P(В̅ )
2Якщо А і В1, А і В2 – незалежні події , причому В1∩ В2 =порожня множина,
то незалежними є події А і В1+В2
P(A∩( В1U В2))=P((A∩В1) U (A∩В2))= P((A∩В1) + (A∩В2))= P(A)P(В1) +
P(A)P(В2)= P(A)(P(В1) + P(В2))= P(A)P(В1 U В2)
Def. події А1, А2,…..Аn називаються попарно незалежними, якщо Р(Аi) P(Аj) для i≠j
Def. події А1, А2,…..Аn називаються незалежними в сукупності, якщо незалежна кожна пара, кожна тріка, кожна четвірка, ….:
P(Ai1 *Ai2*… Air)=P(Ai1)*P(Ai2)*….*P(Air)
Попарна незалежність слідує з незалежності в сукупності. Незалежність в сукупності не слідує з попарної незалежності.
|
|
9.Дискретні випадкові величини. Їх характеристики.
Нехай (Ω, ζ, Р) — ймовірнісний простір. Дискретною
випадковою величиною називається функція ξ(w) на Ω, яка набуває скінченне або зліченне число значень x1, x2..., xn, ... і є вимірною.
Розподіл дискретної випадкової величини.Нехай ξ(w) — дискретна випадкова величина, яка набуває значення x1, ..., x i,....
Набір чисел P{w: ξ (w)=xi}=pi (i=1, 2,....) називають розподілом випадкової величини ξ. pi≥0,
= 1.
Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді таблиці, в якій
перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними ймовірностями:
Значення | x1 | … | xi | … |
Ймовірність | p1 | … | pi | … |
Функція розподілу випадкової величини ξ(w) визначається рівністю:
P{w: ξ(w)<x}=
Сумісний розподіл випадкових величин.Нехай ξ(w) — дискретна величина, що набуває значень x1, x2, …, xi, …, η(w) — дискретна величина, що набуває значень y1, y2, …, yj, ….
Набір чисел P{w : ξ(w) = xi, η (w) = yj }=pij, (i =1,2…;j = 1,2…) називається сумісним розподілом випадкових величин ξ та η. Справджуються такі твердження:
а) pij≥0 , = 1
б) = pi, =qj , де {рi} — розподіл ξ(w), {qj} — розподіл η(w).
Незалежні випадкові величини.Випадкові величини ξ та η називаються незалежними, якщо для будь-яких i та j
|
|
P{ ξ(w) = xi , η(w) = yj } = P{ξ(w) = xi } P{η(w) = yj }.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 718; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!