Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Схема Бернулли.

⇐ ПредыдущаяСтр 25 из 31Следующая ⇒

Пусть -пространство элементарных исходов (множество единственно возможных неразложимых исходов случайного эксперимента).

Пусть F- некоторая -алгебра подмножеств пространства , т.е.

1) F- алгебра: а) ÎF,ÆÎF

б) если A,BÎF, то A BÎ F, A\BÎ F, ABÎ F

Событием называется произвольное подмножество A пространства W, входящее в -алгебру F.

Любому событию A, ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью события A так, что при этом выполняются следующие 3 аксиомы:

1) Аксиома неотрицательности

P(A)³0 "AÎF

2) аксиома нормированности

P(W)=1

3) аксиома счётной аддитивности

" , где

An несовместимы попарно, т.е. AiÇAi-1=Æ

(W,F,P), где W-пространство элементарных исходов, F-некотарая фиксированная -алгебра подмножеств W, P- вероятность, определённая на -алгебре F называется вероятностным пространством.

Рассмотрим частный случай. Предположим что W-дискретное пространство элементарных исходов. F={A½AÌW}, {w}ÌF, P({w})-вероятность этого события (элементарный исход-ЭИ).

1) Вероятность ЭИ P({w})=p(w)³0 "wÎW

2) Всё пространство W можно представить в виде суммы конечного или счётного одноточечных множеств из W, т.е.

W= 1 т.е. =1

AÌW; A= В силу свойства III Þ

Чтобы получить вероятность события A необходимо подсчитать вероятность элементарных исходов, благоприятствующих этому событию.

Классическое определение.

Если пространство элементарных исходов конечно, а все исходы равновероятны, то вероятностью события A называется отношение числа исходов благоприятствующих A к числу всех возможных исходов.

Схема Бернулли.

Формула Бернулли имеет вид , где p-вероятность удачи, q- вероятность неудачи.

Различные виды ур-ний прямой на пл-ти (общее; по двум точкам; по угловому коэффициенту и точке; каноническое; параметрические; в отрезках по осям).

Ур прямой с угл коэф-том.

Опр. Угл коэф-т прямой на пл-ти наз тангенс угла, кот образует эта прямая с положительным направл-ем оси ОХ. т.е. если к -угл коэф-нт, то по опр. tga=к.

Пусть положение прямой в пл-ти (ХУ) определяется её угл.коэф. и отрезком ОВ, кот. Она отсекает по оси ОУ. Пусть М(х,у)- любая т. этой прямой.

a) y=kx+b (1)—ур прямой с угл коэф-м.

Частные случаи:

1. к¹0, b=0, y=kx –ур прямой , проходящей ч/з начало координат.

2. к=0,b¹0, y=b – ур прямой оси ОХ.

3. к=b=0 у=0 –это ур оси ОХ.

b) Ур прямой по угл коэф и точке.y-y₁=k(x-x₁)

c) Ур прямой по 2 точкам.

d) Ур прямой в отрезках по осям.

e) Параметрическое ур прямой.

Опр. Направляющим вектором пряой явл "ненулевой вектор, кот коллинеарен данной прямой.

a(a₁, a₂)-направляющий вектор, M₀M= t, t – некоторое число.

f) Общее ур прямой.

Теорема.Всякому ур вида Ax+By+C=0 (6), где А²+В²¹0 в пл-ти (Х, У) соответствует некотор прямая (А²+В²¹0 означает, что коэф-ты А и В одновремено ¹0).

Док-во: пусть дано ур 6, где А²+В²¹0. Допустим, что В=0, тогда А¹0 и ур принимает вид Ах+С=0, Þ Этому ур удовлетворяет множ-во точек, каждая из которых имеет одну и ту же абсциссу. т.е. все это точки будут расположены на прямой оси ординат.