Распределение Эрланга k-го порядка
Распределением Эрланга k-го порядка называется распределение, описывающее непрерывную случайную величину X, принимающую положительные значения в интервале (0; + ∞) и представляющую собой сумму k независимых случайных величин, распределенных по одному и тому же экспоненциальному закону с параметром λ.
При k = 1 распределение Эрланга вырождается в экспоненциальное, а при k -> ∞ – приближается к нормальному распределению.
Распределение Эрланга представляет собой частный случай гамма-распределения при целочисленном значении параметра формы k (см. § 2.4). Функция плотности распределения представлена ниже
.
Здесь параметры: k ≥ 1 – целое число, λ > 0 - интенсивность (или обратный коэффициент масштаба). Математическое ожидание и дисперсия .
Алгоритм имитации основан на использовании формулы
Пример использования алгоритма для имитации распределения Эрланга с параметрами к = 3 и λ =1,3.
Пусть сгенерированы значения квазиравномерной случайной величины R на интервале: 0.43, 0.80, 0.29, 0.67, 0.19, 0.96, 0.02, 0.73, 0.50, 0.33 0.14, 0.71.
Ниже для выбранных в примере исходных установок представлены результаты имитации первых значений последовательности:
Гиперэкспоненциальное распределение
Гиперэкспоненциальное распределение непрерывной случайной величины, принимающей неотрицательные значения, представляет собой аддитивную композицию разных экспоненциальных распределений. Характерной особенностью распределения является то, что коэффициент вариации принимает значения большие единицы.
|
|
Описывается функцией плотности, представленной ниже
Соответственно гиперэкспоненциальное распределение задается параметрами:
.
Здесь n - количество “смешиваемых” экспоненциально распределённых случайных величин с отличающимися параметрами , а вектор задает вес каждой случайной величины в виде вероятности использования ее значения.
Математическое ожидание и дисперсия распределения определяются соответственно выражениями
и .
Алгоритм имитации случайных величин с гиперэкспоненциальным распределением.
Пусть имеется n генераторов экспоненциально распределённых случайных величин с отличающимися параметрами , и пусть вероятность взятия числа с i-го генератора задается распределением вероятностей .
Тогда в результате одного опыта с вероятностью αi вырабатывается только одна случайная величина, а именно - полученная i-м генератором. Совокупность таких случайных величин, полученных в результате проведения множества опытов, и будет подчиняться гиперэкспоненциальному закону:
|
|
Соответственно:
- по равномерному закону “разыгрывается” номер генератора (см. § 2.1);
- генерируется экспоненциально-распределенное значение с использованием параметра выбранного генератора (см. § 2.3);
- полученное число является искомым, а процесс повторяется сначала.
ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Результаты имитационного моделирования, как правило, представляют собой наборы случайных чисел - реализаций случайных процессов, описывающих качество функционирования моделируемого объекта.
К типовому набору обычно оцениваемых характеристик относят статистические оценки точечных характеристик, моментов случайных величин.
В качестве статистической оценки измеряемой величины используют результаты вычислительных процедур, формул, обладающих свойствами несмещённости, состоятельности и эффективности.
Несмещённость означает, что оценка не содержит методическую ошибку. Состоятельность означает, что точность оценки растет с увеличением числа опытов, а эффективность, что оценка обладает лучшей “сходимостью” - минимальным разбросом значений по сравнению с другими оценками той же величины.
|
|
Оценка математическиго ожидания. Математическое ожидание относится к числу наиболее важных и часто используемых точечных характеристик случайных величин. Если в результате наблюдений, проведения экспериментов, в ходе имитационного моделирования получена совокупность N численных значений случайной величины Х - x1, x2, …, xN, то в качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическое наблюдаемых значений (выборочное среднее)
.
Эта оценка является несмещенной, так как ее математическое ожидание в точности совпадает с реальным значением m
.
Оценка дисперсии. Другой важной точечной характеристикой случайных величин является дисперсия, позволяющая оценивать степень рассеивания возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания (средне взвешенного значения). В качестве оценки дисперсии принимается значение, определяемое формулой
.
Рекуррентное вычисление оценок. В ряде случаев необходимо вычислять текущие значения оценок, например, прямо в ходе проведения моделирования, и уточнять их по мере появления новых значений. Для “скользящей” оценки математического ожидания и дисперсии используют следующие рекуррентные формулы
|
|
, .
Здесь значение представляет собой оценку математического ожидания, полученную по выборке из N первых значений случайной величины.
Доверительные интервалы. При работе со статистическими оценками необходимо располагать данными о их надежности, точности. Такие данные в виду случайного поведения самих оценок могут иметь только предсказательный, вероятностный характер. В математической статистике в их качестве применяют доверительные интервалы I = ( a*-ε, a*+ε ) и соответствующие доверительные вероятности β.
Здесь a* - статистическая оценка искомой характеристики а, величина ε - погрешность вычисления характеристики, а вероятность β характеризует степень доверия к оценке и ее погрешности. Соответственно указанные величины связаны соотношением
.
Указанное означает, что реальное значение a оцениваемой характеристики окажется в пределах доверительного интервала I = ( a* - ε, a*+ ε ) с вероятностью β. Здесь значение вероятности α = 1 - β называется уровнем значимости.
Для полученной в результате наблюдений оценки среднего m* доверительный интервал вычисляется как , где значение погрешности в зависимости от требуемого уровня доверия - выбранного значения вероятности β рассчитывается как значение ε = σ*m* ∙ t .
Аналогичным образом рассчитывается доверительный интервал для оценки дисперсии, где значение ε = σ*D*∙t .
Параметр t для выбранной доверительной вероятности β рассчитывается по формуле через функцию Лапласа F. Табличные значения параметра приведены в таблице 1.
Таблица 1. Значения параметра t(β)
β | t | β | t | β | t | β | t |
0.8 | 1.282 | 0.86 | 1.475 | 0.92 | 1.750 | 0.98 | 2.325 |
0.81 | 1.310 | 0.87 | 1.513 | 0.93 | 1.810 | 0.99 | 2.576 |
0.82 | 1.340 | 0.88 | 1.539 | 0.94 | 1.880 | 0.998 | 3.000 |
0.83 | 1.371 | 0.89 | 1.592 | 0.95 | 1.960 | 0.999 | 3.290 |
0.84 | 1.404 | 0.90 | 1.643 | 0.96 | 2.053 | ||
0.85 | 1.439 | 0.91 | 1.694 | 0.97 | 2.169 |
Пример.
Пусть требуется обработать выборку из 30 значений случайной величины Х: 10.5, 10.8, 11.2, 10.9, 10.6, 11.0, 10.8, 11.0, 11.6, 10.9, 10.5, 11.8, 10.2, 9.2, 10.2, 11.2, 10.3, 11.1, 11.8, 10.3, 10.7, 10.8, 11.2, 10.9, 10.1, 11.7, 10.8, 11.3, 11.0, 11.9.
Значения оценок математического ожидания, дисперсии, квадратического отклонения
, , .
Зададимся доверительной вероятностью β = 0,8 и по таблице определим значение параметра t как 1,282.
Вычислим доверительный интервал оценки математического ожидания. Значение . Тогда границы доверительного интервала составят и . А сам доверительный интервал .
Рассчитаем доверительный интервал оценки дисперсии. Для этого вычислим оценку центрального момента четвертого порядка и среднеквадратическое отклонение D* как
и .
Значение . Тогда границы доверительного интервала составят и . А сам доверительный интервал .
В качестве приближенного значения оценки можно использовать .
ЛИТЕРАТУРА
1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Изд. 4-е. – М.: Высш. школа, 2005. – 343 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк., 2000. – 479 с.
3. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундалевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономических специальностей вузов. – М.: Высш. шк., 1991. – 400 с.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1397; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!