Экспоненциальное распределение
Экспоненциальное распределение непрерывной случайной величины X описывается функциями плотности и распределения, представленными ниже и изображенными на рисунках 5, 6
,
.
Параметром распределения является значение λ – интенсивность (или обратный коэффициент масштаба), λ > 0. Соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной величины X определяется соотношениями
, .
Используем метод обратных функций и аналитическое описание функции распределения экспоненциального закона . Соответственно получим уравнение .
Рис. 5. Функция плотности экспоненциального распределения
Решив уравнение, получим аналитическое выражение для имитации значений равномерно распределенных случайных величин
или .
Рис. 6. Функция распределения экспоненциального распределения
Пример использования алгоритма для имитации экспоненциального распределения с параметром λ = 0,8.
Пусть сгенерированы значения квазиравномерной величины R: 0.43, 0.80, 0.29, 0.67, 0.19.
Ниже для выбранных в примере исходных установок представлены результаты имитации первых значений последовательности:
Гамма-распределение
Гамма-распределение представляет собой двухпараметрическое семейство непрерывных распределений (положительных значений случайной величины). Описывается функцией плотности, представленной ниже и изображенной на рисунке 7
|
|
Гамма-распределение задается двумя параметрами: параметром формы η и λ, где оба параметра вещественные положительные числа (η > 0 и λ > 0).
Если η принимает только целочисленные значения, то гамма-распределение сводится к распределению Эрланга η-го порядка.
Соответственно при η = 1 гамма-распределение сводится к экспоненциальному распределению.
Указанные параметры определяют характеристики случайной величины. Соответственно математическое ожидание и дисперсия определяется как
, .
Рис. 7. Функция плотности гамма-распределения
Вид функции распределения для некоторых значений параметра η представлен ниже:
.
Алгоритм имитации основан на следующем свойстве распределения. Сумма независимых экспоненциально распределенных случайных величин имеет асимптотически гамма-распределение. Соответственно имитационный алгоритм базируется на формуле
.
Пример использования алгоритма для имитации гамма-распределение с параметрами η = 3 и λ = 0,8.
Пусть сгенерированы значения квазиравномерной величины R: 0.43, 0.80, 0.29, 0.67, 0.19, 0.96, 0.02, 0.73, 0.50, 0.33 0.14, 0.71.
|
|
Ниже для выбранных в примере исходных установок представлены результаты имитации первых значений распределения:
.
Треугольное распределение
Произвольное треугольное распределение имеет функцию плотности соответствующего ”треугольного” вида и задается следующими параметрами: произвольными значениями a и b ( a < b ) , которые задают интервал распределения и параметром с – модой распределения.
В частном случае используется левостороннее, правостороннее, симметричное треугольное распределение случайной величины.
Математическое ожидание треугольного распределения составляет ( a + b + c ) / 3, а дисперсия ( a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc ) / 18.
Распределение Cимпсона.Распределение Симпсона или треугольное распределение описывается функцией плотности распределения, представленной ниже и изображенной на рисунке 8
Параметрами распределения являются произвольные значения a и b (a < b) , которые определяют интервал распределения и положение моды как a + b.
Рис. 8. Функция плотности распределения Симпсона
Математическое ожидание и дисперсия могут быть рассчитаны по вышеприведенным формулам. Например, значение математического ожидания здесь составляет ( a + b ).
|
|
Алгоритм имитации базируется на следующем свойстве распределения.
Сумма , где y и z независимые случайные величины, распределенные равномерно на интервале , имеет распределение Симпсона. То есть распределение Симпсона можно рассматривать как композицию двух одинаковых законов равномерного распределения.
Соответственно алгоритм имитации сводится к выполнению следующих операций:
1. Генерируется пара значений квазиравномерной случайной величины.
2. Генерируется пара значений, распределенный равномерно на интервале .
3. Вычисляется искомое значение как сумма двух равномерно-распределенных значений .
4. Возврат на пункт 1.
Пример использования алгоритма для имитации распределения Симпсона с параметрами a = 6 и b = 7.
Пусть сгенерированы значения квазиравномерной величины R: 0.6445, 0.0898, 0.9883, 0.8711, 0.5820, 0.4023, 0.4258, 0.6836.
Ниже для выбранных в примере исходных установок представлены результаты имитации первых значений последовательности:
“Левостороннее” треугольное распределение. В частном случае (когда мода совпадает с одной из границ интервала) треугольное распределение может представлять собой линейно нарастающее (левостороннее распределение) либо убывающее (правостороннее распределение) распределение случайной величины X и описывается функциями плотности, представленными ниже и изображенными на рисунке 9 (для левостороннего распределения)
|
|
и
.
Параметрами распределения являются произвольные значения a и b (a < b) , которые задают интервал распределения.
Рис. 9. Функция плотности треугольного распределения
Математическое ожидание и дисперсия могут быть рассчитаны по вышеприведенным формулам. Соответственно здесь их значения определяются выражениями
и .
Алгоритм имитации может быть построен на методе исключения И. Неймана.
Тогда для имитации треугольного распределения следует:
1. Генерировать пару квазиравномерных случайных чисел R1 и R2.
2. Проверить условие R2 < R1. Если условие выполняется, то искомое значение находится по формуле . В противном случае пара R1 , R2 отбрасывается.
3. Повторяется шаг 1.
Для имитации треугольного распределения с функцией плотности, заданной второй формулой, следует:
1. Генерировать пару квазиравномерных случайных чисел R1 и R2.
2. Проверить условие R1 < R2. Если условие выполняется, то искомое значение находится по формуле . В противном случае пара R1 , R2 отбрасывается.
3. Повторяется шаг 1.
Альтернативный алгоритм имитации основан на использовании формул:
,
.
Пример использования алгоритма для имитации “левостороннего” треугольного распределения с параметрами a = -3 и b = 7.
Пусть сгенерированы значения квазиравномерной величины R: 0.43, 0.80, 0.29, 0.67, 0.19, 0.96, 0.02, 0.73, 0.50, 0.33 0.14, 0.71.
Ниже для выбранных в примере исходных установок представлены результаты имитации начальных значений:
.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1490; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!