Возможные перемещения. Принцип Лагранжа

ПРИНЦИП Д’АЛАМБЕРА (ПРИНЦИП КИНЕТОСТАТИКИ)

Пусть несвободная материальная точка  M массой m

движется под действием активной силы тогда:

P a (рисунок 8.1),

 

Рисунок 8.1 где (-ma ) = Ф

ma = P a + N .                        (8.1)

Запишем выражение (8.1) в виде:

P a + N + (-ma ) = 0 ,

– сила инерции, равная по модулю произведению массы

точки на ее ускорение (Ф = ma ) и направленная в сторону, противоположную ускорению.

Тогда получим принцип д’Аламбера для несвободной материальной точки:

P a + N + Ф = 0.                              (8.2)

В любой момент движения материальной точки, действующие на нее, активная сила и реакция связи уравновешиваются условно приложенной силой инерции.

 Для механической системы

При движении механической системы геометрическая сумма активных сил, реакций и условно приложенных сил инерций равна нулю:

åP a   + åN  + åФ  = 0 ,                             (8.3)

 

где

åP a

i                i             i

–

i

геометрическая сумма активных сил, под действием которых движется механическая система, Н;

å N i  – геометрическая сумма реактивных сил (реакций связей), возникающих от действия активных сил, Н;

åФ i

– геометрическая сумма условно приложенных сил инерций, Н.

Принцип д’Аламбера – это условный, формальный прием, позволяющий рассматривать задачи динамики методами статики.

Рисунок 8.2

 

 

При поступательном движении (рисунок 8.2 а) прикладывается только сила инерции Ф , равная по модулю:

Ф = ma .

 

При вращательном движении (рисунок 8.2 б), относительно оси проходящей через центр масс тела, прикладывается только момент сил

инерций

M Ф , направленный противоположно e и равный произведению

момента инерции тела ускорение e тела:

J O , относительно оси O его вращения, на угловое

 

O

M Ф = J e .

 

При плоскопараллельном движении (рисунок 8.2 в) прикладываются сила инерции (к центру масс тела) и момент сил инерций, направленные противоположно ускорениям и равные:

Ф = ma C ;

C

M Ф = J e ,

 

где

a C – ускорение центра масс тела,

м/с2 ;

J C  –  момент инерции тела относительно центральной оси,

перпендикулярной плоскости движения тела,

кг × м2 .

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ (ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА)

В общем случае на систему могут быть наложены внешние и внутренние связи. На практике эти связи реализуются в виде шарниров, нитей, стержней, поверхностей, направляющих и т.д., но их можно представить в виде геометрических линий, математических поверхностей, плоскостей, которые описываются уравнениями или неравенствами.

 

Классификация связей

1. Стационарные связи

Связи, которые не меняются с течением времени, называются стационарными. Уравнения этих связей не зависят явным образом от времени.

 

 

Рисунок 9.1

 

составить систему уравнений:

Пример. Кривошипно-шатунный механизм (рисунок 9.1).

Для определения произвольного положения КШМ необходимо определить положения трех точек ( O ,

A , B ), для этого необходимо

 

 

x1 = y1 = y3 = 0 ;

2     2

x2 + y2 - r2 = 0 ;

 

(x   - x   )2  + y2  - l2  = 0 .

3    2         2

 

В эти уравнения явно не входит параметр t , поэтому этот вид связи можно считать стационарным.

2. Удерживающие связи

Удерживающая связь – это связь, при которой в любой момент движения точка остается на поверхности связи. Уравнения удерживающих связей определяется равенствами, а неудержи- вающих связей – неравенствами.

Положение точки A (рисунок 9.2) при данном

Рисунок 9.2

виде связи определится неравенством:

1     1

x2 + y2 - r2 £ 0 ,

 

т.е. данная связь является неудерживающей.

 

3. Идеальные связи

Связи без трения (см. раздел I, тема 1, пункт 1.3).

 

4. Голономные и неголономные связи

Голономными называются связи, которые накладывают ограничение только на перемещение точек механической системы.

В уравнения этих связей входят только координаты точек системы и не входят производные от них (проекции скоростей).

Неголономными называются связи, которые накладывают ограничения на скорости точек механической системы.

В уравнения неголономных связей помимо координат точек системы входят их скорости.

 

Возможные перемещения. Принцип Лагранжа

Возможным перемещением (d r ) называется всякое воображаемое бесконечно малое перемещение точек системы, которое могли бы совершить эти точки, в данный момент из данного положения, не нарушая наложенных на них связей.

В виду малости перемещение d r

совпадает с приращением дуговой

координаты d s

(см. раздел II, тема 1, пункт 1.3 – скорость точки).

Понятие возможного перемещения точки или механической системы есть понятие чисто геометрическое и не зависит от действующих на точку или систему сил, а зависит только от характера наложенных связей.

Действительное перемещение это одно из возможных перемещений.

Перемещение, при котором точка или система покидает наложенные связи, не является «возможным».

 

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно чтобы сумма элементарных работ активных сил на возможных перемещениях механической системы равнялась нулю:

i

åd А a = 0 .                                     (9.1)

Возможные перемещения (виртуальные, бесконечно малые) – то, что можно совершить не нарушая связи.

 

---

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 46; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!