Вероятностная интерпретация волн де Бройля
Международный государственный экологический
институт им. А.Д. Сахарова. БГУ
Факультет мониторинга окружающей среды
Кафедра общей и медицинской физики
Лабораторная работа № 5.1 (К)
ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ НА КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
Минск
2018
ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ НА КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
Цель работы:изучение статистических закономерностей процесса дифракции электронов с помощью компьютерной модели явления; проверка соотношения де Бройля; знакомство с принципами электронографии; определение межплоскостных расстояний и индексов Миллера кристаллической решетки по компьютерным электронограммам.
Волны де Бройля
В 1905 г. А. Эйнштейн показал, что целый ряд явлений (прежде всего, фотоэффект) можно объяснить, рассматривая электромагнитное излучение как поток квантов света (названных позже фотонами), во многих отношениях похожих на частицы. Фотоны взаимодействуют с веществом как целое, а при частоте излучения ν они обладают энергией Еф и импульсом pф:
, (1.1)
, (1.2)
где h – постоянная Планка, c – скорость света, λ – длина волны. В то же время, в явлениях интерференции и дифракции проявляются волновые свойства света. Была выдвинута концепция корпускулярно-волнового дуализма – сосуществования корпускулярных и волновых свойств у одного объекта – электромагнитного излучения.
|
|
|
В 1923 г. французский физик Луи де Бройль высказал предположение, что корпускулярно-волновой дуализм присущ также и всем без исключения частицам вещества: электронам, протонам, атомам, молекулам и т. д. Иначе говоря, частице ставится в соответствие некоторый волновой процесс – волна де Бройля, причем длина волны λБр связана с импульсом частицы p тем же соотношением (1.2), которое имеет место для фотонов:
. (1.3)
Найдем длину волныде Бройля для электронов, ускоренных электрическим полем. Пройдя разность потенциалов V , электроны приобретают кинетическую энергию T
(1.4)
и импульс p , равный в нерелятивистском приближении
(1.5)
где е и m – заряд и масса электрона. Подставив (1.5) в (1.3), получаем выражение для длины волны де Бройля электрона, применимое в нерелятивистском случае
. (1.6)
|
|
|
Из этой формулы следует, что для электронов с энергиями от 1 до 1000 эВ длина волны де Бройля лежит в пределах от 10 Å до 0,1 Å, т. е. в интервале длин волн рентгеновских лучей (1ангстрем = 1 Å = 10–10 м). Поэтому в тех случаях, когда наблюдается дифракция рентгеновских лучей, например, при их рассеянии на кристаллах (играющих роль естественной дифракционной решетки) следует ожидать проявления волновых свойств и у электронов соответствующих энергий. Действительно, вскоре после предсказания де Бройля дифракция электронов на кристаллах была обнаружена экспериментально американскими физиками Дэвиссоном и Джермером, а также независимо от них англичанином Томсоном. Несколько позже наблюдалась дифракция нейтронов, атомов и молекул.
В данной работе исследуется дифракция электронов при энергиях в десятки КэВ, когда их скорость нельзя считать пренебрежимо малой по сравнению со скоростью света. В этих условиях импульс следует вычислять по релятивистским формулам:
(1.7)
(1.8)
где E – полная (т.е. включающая энергию покоя) энергия электрона. Исключив E из (1.7) и (1.8) и учитывая соотношение (1.4), находим
|
|
|
(1.9)
Подставив (1.9) в (1.3), получим точное релятивистское выражение для длины волны де Бройля
(1.10)
Выражая длину волны де Бройля в ангстремах, а напряжение – в киловольтах, запишем формулу (1.10) в виде
(1.11)
где введены две константы
; 
. (1.12)
Отметим, что фундаментальные постоянные e , m и с в (1.12) выражены в единицах СИ
Вероятностная интерпретация волн де Бройля
Теоретическое объяснение опытов по дифракции электронов (как и других частиц) сопряжено с проблемами принципиального характера. Их разрешение, в конечном счете, привело к созданию квантовой механики, являющейся основой современной физики.
Прежде всего, необходимо дать ответ на вопрос: как совместить между собой существование неделимого электрона и явление дифракции? Можно предположить, что интерференция и дифракция связаны с взаимодействием большого количества электронов, одновременно участвующих в процессе. Но тогда вид дифракционной картины зависел бы от интенсивности электронного пучка и при интенсивности настолько малой, что электроны проходили бы через дифракционное устройство поодиночке, дифракция вовсе исчезла бы. Однако эксперименты показали, что как бы ни была мала интенсивность падающего пучка электронов, дифракционная картина остается одной и той же при условии, что время экспозиции берется достаточно большим. Это означает, что каждый электрон, участвует в явлениях интерференции независимо от остальных. Можно сказать, что каждый электрон интерферирует сам с собой !
|
|
|
Волновая теория, распространенная на волны де Бройля, определяет положение светлых и темных полос в предположении, что количество электронов распределяется в пространстве пропорционально интенсивности этой волны, которая равна квадрату ее амплитуды. Поэтому, учитывая независимость процесса интерференции от количества участвующих в нем электронов, следует считать, что интенсивность волны де Бройля в данном месте пропорциональна вероятности того, что электрон окажется именно там. Другими словами,в волне де Бройля изменяется во времени и пространстве некоторая величина, квадрат которой пропорционален вероятности нахождения частицы в том или ином месте.
Созданная к 1927 г. квантовая (волновая) механика придала представ-лениям о волнах де Бройля точный смысл. В квантовой механике состояние частицы описывается волновой функцией Y(x, y, z, t) – вообще говоря, комплексной функцией координат и времени. Эта функция подчиняется волновому уравнению (уравнению Шредингера) и позволяет вычислить вероятность dW нахождения частицы в объеме dV возле точки с координатами x, y, z:
(1.13)
Таким образом,
(1.14)
так что квадрат волновой функции имеет смысл плотности вероятности.
Дифракция электронов
Как уже говорилось, электроны, подобно рентгеновским лучам, испытывают дифракцию на кристаллах. Дифракция проявляется в том, что электроны отражаются от кристалла не в любых, а в строго определенных направлениях, которые можно найти с помощью формулы Вульфа-Брэгга
(1.15)
Рис. 1.1. поясняет эту формулу. Угол q есть угол скольжения, т.е. угол между направлением падающего пучка электронов и кристаллографической плоскостью, d – межплоскостное расстояние, т. е. расстояние между соседними параллельными кристаллографическими плоскостями. Целое число n носит название порядка дифракции. Из рис. 1.1. видно, что отраженный пучок отклоняется от направления падающего пучка на угол 2q.
Рис. 1.1
Существенно, что в кристалле имеется не одно, а целый набор разных межплоскостных расстояний, величина которых зависит от положения соответствующих кристаллографических плоскостей (рис. 1.1). Каждое из этих межплоскостных расстояний может проявить себя в явлении дифракции.
Будучи электрически заряженными, электроны взаимодействуют с веществом в сотни тысяч раз сильнее, чем рентгеновские лучи. Поэтому образцами для наблюдения дифракции электронов обычно служат тонкие пленки толщиной 10-6 - 10-5 см, тогда как для наблюдения дифракции рентгеновских лучей используют образцы толщиной порядка миллиметра.
Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 106; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!