Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ
Часть А)
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Линейные уравнения первого порядка. Решение типовых задач
Уравнение вида называется линейным.
Решение уравнение производится методом Бернулли. Представляем искомую функцию через произведение двух функций , на одну из которых накладываем определённое условие.
20.1.1. Решить уравнение
Решение. Перепишем уравнение в виде: Сделаем замену Подставив в уравнение, получим: На переменную накладываем условие: Разделяя переменные, имеем: .
Тогда от решаемого уравнения останется , откуда находим, что Окончательный ответ:
Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимую переменную.
Например, уравнение в котором является функцией от – нелинейное. Запишем его в дифференциалах: Так как в это уравнение и входят линейно, то уравнение будет линейным, если считать искомой функцией, а независимым переменным. Это уравнение может быть записано в виде и решается аналогично уравнению 20.1.1.
20.1.2. Решить уравнение
Решение. , и функции от переменной Имеем
Ответ:
20.1.3. Решить уравнение
Решение. Разделим уравнение на :
.
Это линейное уравнение относительно функции .
.
Откуда, получим .
Тогда .
Откуда .
При делении на потеряны корни , которые не могут быть получены из общего решения ни при каких значениях .
|
|
Ответ: , .
Задачи для самостоятельного решения
20.2.1. 20.2.2. 20.2.3. 20.2.4. 20.2.5. 20.2.6.
Ответы. 20.2.1. 20.2.2. 20.2.3. 20.2.4. 20.2.5. 20.2.6.
Уравнение Бернулли. Решение типовых задач
Чтобы решить уравнение Бернулли, которое имеет вид , надо обе его части разделить на и сделать замену После замены получается линейное уравнение, которое можно решить изложенным выше способом. Уравнение Бернулли можно также решать, как и линейное, заменой
20.3.1. Решить уравнение
Решение. Разделим уравнение на Получим .
Далее произведём замену
После замены получим линейное уравнение , решая которое получим: Находим . После обратной замены получим
20.3.2. Решить уравнение
Решение. Подставляя в исходное уравнение, получим или .
Выберем в качестве решение уравнения Тогда для получим уравнение . Общее решение уравнения исходного уравнения Бернулли равно .
Задачи для самостоятельного решения
Для части А)
Дистанционное обучение
20.4.1. 20.4.2. 20.4.3. 20.4.4. 20.4.5. 20.4.6.
Ответы. 20.4.1. . 20.4.2. 20.4.3. 20.4.4. 20.4.5. . 20.4.6.
|
|
ЧАСТЬ Б)
УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.
УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Уравнения в полных дифференциалах. Решение типовых задач
Уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е. , что имеет место, если В этом случае будет общим интегралом дифференциального уравнения (1). Решение уравнения можно определить по формуле: , где произвольная точка области, в которой функции непрерывны. |
21.1.1. Решить уравнение
Решение. Так как то исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдём функцию полный дифференциал которой был бы равен левой части уравнения, т.е. такую функцию что
Интегрируем по первое из уравнений системы, считая постоянным; притом вместо постоянной интегрирования надо поставить – неизвестную функцию от : Подставляя это выражение для во второе уравнение системы, найдём :
Следовательно, и общее решение исходного уравнения будет иметь вид
Иногда можно найти такую функцию , что будет полным дифференциалом, хотя может им не быть.
|
|
Такую функцию называют интегрирующим множителем.
Функция удовлетворяет условию
Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях:
1) , тогда ;
2) , тогда .
21.1.2. Решить уравнение .
Решение. Здесь , , следовательно, . Так как , то в этом случае , или , откуда . Умножив уравнение на , получим уравнение в полных дифференциалах , общий интеграл которого имеет вид .
21.1.3. Решить уравнение , если .
Решение. Здесь ; .
Имеем уравнение в полных дифференциалах. Воспользуемся формулой для общего решения , если .
где .
Решение уравнения имеет вид .
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Решение типовых задач
Дифференциальное уравнение го порядка имеет вид .
Если это уравнение решить относительно то оно может быть представлено в виде
Определение. Решением ДУ на интервале называется всякая функция , зависящая от произвольных постоянных и такая, что подстановка и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее на интервале в тождество по .
Задача Коши: задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , , …………. .
|
|
Теорема. Если функция непрерывна по совокупности аргументов, имеет непрерывные производные , , , …, в некоторой области, содержащей точку , то существует и притом единственное решение задачи Коши.
Определение. Пусть выполняются условия предыдущей теоремы.
Общим решением дифференциального уравнения в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши называется функция , зависящая от переменной и постоянных , такая, что:
а) при любых допустимых значениях постоянных функция является решением уравнения;
б) при заданных начальных условиях постоянные всегда можно подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям.
В процессе интегрирования дифференциального уравнения часто приходят к уравнению , неявно задающему общее решение уравнения. Уравнение называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных .
Уравнение , где некоторые значения постоянных называется частным интегралом дифференциального уравнения.
21.2.1. Уравнение вида Решение типовой задачи
21.2.1.1. Найти общее решение уравнения .
Решение. Этот вид уравнений решается последовательным интегрированием:
Интегрируя по частям, находим общий интеграл:
21.2.2. Уравнение не содержит переменной в явном виде. Решение типовых задач
Уравнение вида Понижение порядка ДУ производится путем замены .
21.2.2.1. Решить уравнение .
Решение. В уравнении отсутствует неизвестная функция , поэтому порядок уравнения можно понизить путем замены , где – новая неизвестная функция. Тогда и уравнение примет вид . Это уравнение с разделяющимися переменными:
.
Таким образом, . Подставляя сюда , имеем: . Значит, знак перед корнем должен быть «–», и . Интегрируем по
.
Подставим в это равенство :
– искомое частное решение.
21.2.2.2. Решить уравнение ; , .
Решение. Сделаем замену . Тогда
. Подставляя начальное условие , получим
. Тогда . Интегрируя уравнение по переменной , запишем . С учетом начального условия , определяем : . Получим частное решение: .
21.2.2.3. Найти общее решение уравнения
Решение. Делаем подстановку или получено линейное уравнение первого порядка. Полагая найдём: или окончательно
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 79; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!