Связь частотной характеристики с передаточной функцией

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Сравним передаточную функцию с частотной характеристикой. Очевидна их взаимосвязь: Частотная характеристика (ЧХ) совпадает с передаточной функцией (ПФ) , если область значений переменной z на комплексной z-плоскости ограничена точками на единичной окружности :

Это позволяет при известной передаточной функции путём подстановки автоматически получить частотную характеристику в виде:

Основная полоса частот

Наименование «основная полоса частот» возникло в результате того, что при дискретизации аналогового сигнала его спектр по условию теоремы Котельникова ограничивается верхней частотой

вследствие чего спектры дискретных сигналов, а также частотные характеристики ЛДС имеет смысл рассматривать только в диапазоне , который и назвали основным диапазоном или основной полосой частот.

Напомним, что в зависимости от используемой шкалы частот основная полоса соответствует областям:

АЧХ и ФЧХ рассчитывают и изображают на графике в основной полосе частот, при необходимости их легко продолжить на любом интервале частот, учитывая свойства периодичности, а также чётности АЧХ и нечётности ФЧХ.

Единицы измерения частоты, которые используются в системах дискретного времени

Как правило, для описания частотной характеристики систем дискретного времени пользуются двумя единицами измерения частоты – (рад/с) и (Гц). Если частота измеряется в рад/с, частотная характеристика пробегает значения от до или, что эквивалентно, от до (поскольку если пользоваться стандартной единицей измерения частоты, которая выражается в герцах, частотный диапазон будет от 0 до или от 0 до 1/2Т. Обе эти единицы измерения частоты можно записать в нормированном виде, т.е. при Т=1 или, что эквивалентно, . Взаимосвязь между этими двумя единицами измерения частоты показана в таблице. Следовательно, представляющие интерес частотные интервалы можно выразить одним из следующих эквивалентных способов:

Измерение частоты в герцах больше привлекает (и меньше запутывает), если пользоваться графиками частотной характеристики или спецификацией системы дискретного времени. Однако при оценке численных математических формул в ЦОС удобнее пользоваться величинами, выраженными в рад/с.

Пример

Дано описание частной характеристики полосового фильтра дискретного времени в виде

Полоса пропускания 6 – 10 кГц,

Полосы подавления 0 – 4 и 12 – 16 кГц,

Частота дискретизации 32 кГц.

А. Выразите через нормированную частоту f.

Б. Переведите спецификацию из стандартных единиц (Гц) в рад/с.

В. Переведите спецификацию из рад/с (п.Б) в нормированную частоту .

Решение

1. Граничные частоты, которые измеряются в Гц, можно записать в нормированном виде, просто разделив каждую из них на частоту дискретизации. Таким образом, спецификация в нормированном виде будет выглядеть так:

Полоса пропускания 0,1875 – 0,3125,

Полосы подавления 0 – 0,125 и 0,375 – 0,5,

Частота дискретизации 1.

2. Поскольку , для того, чтобы перейти к рад/с, каждая граничная частота просто умножается на . Теперь спецификация частотной характеристики будет следующей: