Свойства чатотных характеристик

Практическая работа № 7.

Описание линейных дискретных систем в частотной области.

Цель работы

Исследование линейных дискретных систем в частотной области, изучить методы нахождения КЧХ.

Задание

1. Вычислить и построить графики частотных характеристик звеньев первого, второго порядка, минимально-фазового и неминимально-фазового звеньев.

1.1.Методом прямой подстановки

1.2.С помощью БПФ.

2. Сравнить частотные характеристики звеньев, полученные методом подстановки и с помощью БПФ.

3. Сделать экспрес-анализ рассматриваемого звена

4. Изучить единицы измерения частоты, которые используются в системах дискретного времени.

Теоретические сведения

В чатотной области основной характеристикой ЛДС является фурье-изображение импульсной характеристики , которое определяется с помощью преобразования Фурье и называется комплексной частотной характеристикой КЧХ или частотной характеристикой формулы.

или для нормированных времени и частоты:

Частотной характеристикой линейной дискретной системы называется частотная зависимость отношения реакции к дискретному гармоническому воздействию в установившемся режиме.

Поясним, почему введено ограничение в установившемся режиме. Теоретически, гармонические сигналы – воздействие и реакция – существуют в области нормированного времени . Однако на практике имеют дело с условно гармоническим воздействием в области , где время соответствует началу воздействия. Как известно, в течение некоторого времени после возникновения воздействия ЛДС работает в режиме переходных колебаний, когда реакция не является периодическим сигналом. Спустя время процесс устанавливается и реакция становится периодическим сигналом: число отсчётов на периоде. Поэтому в данном случае имеет смысл говорить о реакции как о гармоническом сигнале в установившемся режиме.

Амплитудно-частотной характеристикой линейной дискретной системы называется частотная зависимость отношения амплитуды реакции к амплитудедискретного гармонического воздействия в установившемся режиме:

Фазочастотной характеристикой линейной дискретно системы называется частотная зависимость разности фаз реакции и дискреного гармонического воздействия в установившемся режиме:

Комплексную функцию можно выразить через её модуль и аргумент:

Модуль частотной характеристики называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ):

а аргумент – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) ЛДС:

Частотную характеристику ЛДС можно определить как отношение фурье-изображений реакции и воздействия при нулевых начальных условиях

Свойства чатотных характеристик

1. Непрерывность.

ЧХ, АЧХ, и ФЧХ – непрерывные (или кусочно-непрерывные) функции частоты по определению.

2. Периодичность.

ЧХ, АЧХ, и ФЧХ – периодические функции частоты с периодом, равным частоте дискретизации .

3. Четность АЧХ и нечётность ФЧХ.

Если коэффициенты [1Ф – вещественные числа (а другие случаи мы и не рассматриваем), то модуль частотной характеристики (АЧХ)является чётной, а аргумент (ФЧХ) – нечётной функцией частоты:

;

Напомним, что чётной называется функция, которая не изменится при изменении знака аргумента. Если же при изменении знака аргумента изменяется знак функции, но её абсолютное значение сохраняется неизменным, функция называется нечётной.

Доказательство.

Запишем частотную характеристику в виде: