IV . «СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ»

- система m линейных уравнений с n переменными, где произвольные числа - коэффициенты при переменных, - свободные члены уравнений.

Решением такой системы называется совокупность значений переменных х₁, …, х _n , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются равносильными, если они имею одно и тоже множество решений.

Получают их с помощью элементарных преобразований:

1. изменение порядка уравнений в системе;

2. умножение или деление обеих частей любого уравнения системы на одно и то же неравное нулю число;

3. почленное сложение уравнений системы.

Рассматриваемую систему уравнений можно записать в матричной форме:

, где

А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы;

Х – матрица–столбец переменных;

В – матрица–столбец свободных членов, т.е.

; ; .

Мы будем рассматривать системы, где m=n, т.е. количество уравнений в системе и количество входящих в них переменных равны. Тогда матрица А системы квадратная и имеет определитель , который называют определителем системы.

Такие системы можно решить одним из трех следующих методов:

1. метод Крамера;

2. матричный метод;

3. метод Гаусса.

V . «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ »

1. «Метод Крамера».

Теорема Крамера: Пусть определитель матрицы системы D, а j – определители матриц, получаемых из данных заменой j-го столбца на столбец свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам КРАМЕРА: , где j=1; …;

Алгоритм метода Крамера		Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:
1. Записать матрицу системы и найти ее определитель D, если D = 0 , то система решений не имеет.	1. система имеет единственное решение.
2. Если , то находим j, заменяя j-й столбец столбцом свободных членов.		2.
3. По формулам Крамера находим х :		Ответ:

2. «Матричный метод».

Если определитель матрицы системы , то матрица системы невырожденная, а значит, имеет обратную матрицу . Умножим обе части матричного равенства на обратную матрицу слева, получим равенство: , или , откуда - равенство, выражающее суть матричного метода.

Алгоритм матричного метода	Пример: Решить систему матричным методом.
1. Записать матрицу системы и найти ее определитель. Если определитель равен нулю, то система не имеет решений.	-система имеет решение, матрица системы имеет обратную.
2. Ищем матрицу , обратную матрице системы по формуле , где связана с (нужно транспонировать матрицу ).	; Заменяем элементы транспонированной матрицы их алгебраическими дополнениями: Теперь запишем , и так и оставляем (для удобства последующих вычислений).
3. Ищем матрицу – столбец значений переменных системы по формуле	Ответ: .

3. «Метод Гаусса».

Или метод последовательного исключения переменных - заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данная система уравнений приводится к равносильной системе уравнений ступенчатого (треугольного) вида, из которой, последовательно, начиная с последней переменной, находятся все остальные переменные.

Системой треугольного (ступенчатого ) вида называется система вида

Получают такую систему с помощью следующих элементарных преобразований систем линейных неоднородных алгебраических уравнений:

1. изменение порядка уравнений системы,

2. умножение или деление обеих частей любого уравнения системы на одно и то же не равное нулю число,

3. почленное сложение уравнений системы.

Пример. Решить данную систему методом Гаусса.	Пояснения по ходу решения.
	Сделаем III-е уравнение системы I-м.
	Сделаем коэффициенты при х₁ равными нулю с помощью элементарных преобразований 2. и 3.
	Сделаем IV-е уравнение системы II -м.
	Сделаем коэффициенты при х равными нулю с помощью элементарных преобразований 2. и 3.
	Получили IV-е уравнение как уравнение с одной переменной, решая его, найдем значение переменной х
Ответ: .	Из последнего уравнения, подставляя найденное значение переменной х , находим значение переменной х₄ , подставляем его во II уравнение и находим из этого уравнения значение переменной х , затем с помощью подстановки в уравнение I находим значение переменной х₁.Записываем ответ.

Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 75; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!