Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Указанные в теореме разложения выглядят следующим образом:

а) по элементам i строки , i=1,…, n:

б) по элементам j столбца, j=1,…, n:

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что эта теорема позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению более простых определителей (n-1) –го порядка.

Пример: Вычислить определитель четвертого порядка по теореме Лапласа

Решение:

Замечание: С помощью теоремы Лапласа можно вычислять и определитель третьего порядка.

Пример: Вычислить по теореме Лапласа определитель матрицы третьего порядка

Решение:

Свойства определителей.

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей.

1) Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

Пример:

2) Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то и определитель матрицы умножится на это число .

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца.

Примеры: ;

3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:

Пример:

; .

4) При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет свой знак на противоположный.

Пример:

; ; .

5) Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

Пример:

6) Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

Пример: Воспользуемся при вычислении свойствами 2) и 5) определителей:

7) Определитель матрицы не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Пример: Вычислить определитель матрицы С и матрицы С , полученной из матрицы С прибавлением ко второй строке матрицы С ее первой строки, умноженной на число -2:

Воспользуемся уже полученным результатом определителя матрицы С:

Преобразуем матрицу С согласно свойству:

Теперь вычислим определитель получившейся матрицы:

Решение:

III . «ОБРАТНАЯ МАТРИЦА».

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении матрицы на матрицу как справа, так и слева, получается единичная матрица:

Замечание: Только квадратная матрица имеет обратную. Матрица, обратная данной, тоже квадратная.

Определения: 1. Если определитель матрицы ≠ 0, то матрица называется невырожденной или неособенной.

Если определитель матрицы =0, то матрица называется вырожденной или особенной.

2. Присоединенная матрица , получается из матрицы , транспонированной по отношению к матрице , заменой элементов матрицы на их алгебраические дополнения.