Типи середовищ в електродинаміці.
Провідники і діелектрики
Вираз для густини повного струму (з використанням матеріальних рівнянь):
. (2.23)
Для ідеального діелектрика: 
; а для ідеального провідника: 
.У випадку 
: зникає перший член 
. У випадку 
: другий член стає неважливим, у порівнянні з першим. Тоді, якщо
– провідник, а якщо 
– ізолятор (або діелектрик).
Якщо поле E=Emcoswt – гармонійне, то можна отримати наступне співвідношення для амплітуд jm і 
: 
, (2.24)
де 
– циклічна (колова) частота 
. Тоді виконується така умова:
. (2.25)
Інші типи середовищ.
Якщо 
, 
і 
– скаляри, тоді таке середовище називають ізотропним, а вектори 
і 
, 
і 
, а також і 
є колінеарні. Якщо , і – матриці (тензори), тоді середовище – анізотропне і відповідні вектори не є колінеарними.
Зв’язок між векторами і , і для середовищ такого типу варто записати в більш загальному, ніж рівняння (2.16)-(2.18) , вигляді:
;
; (2.25а)
.
Індексами 1, 2, 3 тут позначені проекції векторів і на осі деякої системи координат. Вираз (2.25а) можна представити і в більш компактному вигляді типу:
, (2.25б)
|
|
|
де 
– тензор діелектричної проникливості. Аналогічно вводиться тензор магнітної проникливості 
і тензор питомої провідності 
. Тут необхідно пам’ятати, що тоді властивості такого анізотропного середовища характеризуються сукупністю дев’яти чисел – елементів тензора.
Середовище є однорідне в області V, якщо , і є постійними в V. Якщо , і є функціями координат, то середовище – неоднорідне (або кусково-однорідне).
Якщо ж , і не залежать від векторів поля, то середовище є лінійне. А нелінійним середовище може бути тільки в сильних полях.
Граничні умови
На границях розділу середовищ з різними параметрами 
поля 
терплять розрив. Тоді р-ня Максвела використати не можна, оскільки розривні функції не можна диференціювати.
Розглянемо так звані граничні умови. Але спочатку визначимо деякі поняття.
Нехай 
, а 
– співпадає з проекцією вектора 
на S (див. рис). 
Тоді 
(це є відповідно нормальна + тангенціальна складові). На межі розподілу середовищ можуть розміщуватись мікроскопічні носії заряду, як нерухомі так і утворюючі струм провідності. В мікроскопічній електродинаміці припускається, що заряди не займають об’єму, а є поверхневими. Тоді густиною поверхневого заряду називають величину:
|
|
|
(„дзета”) 
, [Кл/м 
], (2.26)
А поверхневий струм це є
(див. рис. справа):
(„ета”) 
(А/м).
Граничні умови електричного поля:
1). Вектор електричної індукції 
на границі розділу двох середовищ задовольняє такій умові:
або 
, (2.27)
тобто в граничних точках різниця нормальних компонент вектора в обох середовищах рівна густині поверхневого заряду. Якщо ж x =0, то нормальна компонента залишається неперервною.
2). Наступна гранична умова має вигляд:
або 
(2.28)
тобто, тангенціальна компонента вектора залишається неперервною.
Ще записують її так:
(2.29)
Граничні умови магнітного поля:
1). Вектор магнітної індукції 
підчиняється такій граничній умові:
або 
(2.30)
Тобто, нормальна компонента вектора магнітної індукції завжди неперервна.
2). Наступна гранична умова для магнітного поля (див. рис):
|
|
|
. (2.31)
Тобто, тангенціальна компонента вектора неперервна лише при відсутності на границі поверхневого струму.
Частіше використовується еквівалентна гранична умова:
. (2.32)
Вивід граничних умов – самостійно!
ПРИКЛАД 1. Нехай електромагнітна хвиля падає на границю двох середовищ із
|
(див. рис). Тоді 
або 
, звідки 
.
ПРИКЛАД 2. Якщо поле в іншому середовищі відсутнє, тобто
, то з (2.28) випливає: 
, тобто 
підходить до границі по нормалі (див. рис).
З (2.30) також випливає, що 
, тому вектор 
підходить до межі по дотичній. Подальше використання граничних умов (2.27) і (2.32) дає: 
тобто, існування поля в середовищі 1 при його відсутності в середовищі 2 зумовлено поверхневими зарядами і струмами.
__________________________________--------------------------------------------------
Енергія і потужність ЕМ-поля
Робота ЕМ-поля при переміщенні заряду q на відстань dl рівна:
, (2.33)
оскільки сила 
поперечна і робота не виконується.
Розмірність роботи при переміщенні заряду: [Джоуль] = [Ньютон]∙[метр].
Тоді потужність взаємодії поля і заряду:
|
|
|
. (2.34)
Розмірність потужності: [Ват]= [Джоуль]/[с].
Якщо ж заряд у просторі неперервно розподілений, то: 
. (2.35)
Звідси потужність, яка виділяється в одиниці об’єму – густина потужності:
. [Вт/м 
] (2.36)
В залежності від напрямку руху зарядів p може бути як додатною так і від’ємною. Заряди можуть прискорюватись полем, при цьому і паралельні, тоді p>0 і енергія в поля відбира-ється. Якщо p<0, то і антипаралельні, заряди гальмуються і енергія віддається полю.
Якщо струм зумовлений струмом провідності, то:
. (2.37)
Тут 
– потужність теплових втрат. Це є закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі.
Таблиця 2. Енергетичні величини ЕМП
| Назва величини | Познач. | Одиниці вимір. в СІ |
| Енергія ЕМП | W | Джоуль Дж |
| Електрична енергія | 
| Джоуль Дж |
| Магнітна енергія | 
| Джоуль Дж |
| Потужність | Р | Ват Вт |
| Потужність поглинання (потужність втрат) | 
| Ват Вт |
| Потужність сторонніх сил (потужність джерела) | 
| Ват Вт |
| Густина енергії ЕМП | w | Джоуль на куб.м Дж/ 
|
| Густина електричної енергії | 
| Джоуль на куб.м Дж/
|
| Густина магнітної енергії | 
| Джоуль на куб.м Дж/
|
| Густина потужності сторонніх сил | 
| Ват на куб.м Вт/
|
| Густина потужності поглинання | 
| Ват на куб.м Вт/
|
| Потік енергії | 
| Ват Вт |
| Густина потоку енергії | П | Ват на квадр.м Вт/ 
|
Баланс енергії поля
Помножимо перше рівняння Максвела на , а друге рівняння Максвела на :
,
.
Почленно віднімемо ці рівняння, тоді отримаємо:
. (2.38)
Використовуємо тотожність: 
, тоді
. (2.39)
Проінтегруємо останню рівність по об’єму V і використовуючи теорему Остроградського-Гауса запишемо цю рівність в інтегральній формі:
. (2.40)
Це є рівняння балансу енергії поля в об’ємі V.
Для ізотропного середовища можна записати:
, аналогічно для другого доданку: 
.
Тоді отримаємо:
, (2.41)
де 
– вектор Умова-Пойтинга. [Вт/м ]; 
– потік вектора Умова-Пойтинга, який рівний потоку потужності через S з V (чи у V!) [Вт].
У відповідності з законом збереження енергії: 
, де W – енергія, запасена у V, звідки випливає, що енергія, запасена у електромагнітному полі, рівна:
W= 
. [Дж] (2.42)
Тоді величини: 
і 
– питомі (або густина) енергії електричного і магнітного полів відповідно.
Кінцевий результат: 
. (2.43)
Якщо 
, тоді це є потужність випромінювання, якщо 
– потужність поглинання.
З густиною потоку потужності (енергії) зв’язана швидкість переносу енергії vE:
, (2.44)
де 
– питома енергія (або густина енергії)ЕМ-поля.
ПРИКЛАД:
Знайдемо потік через поверхню провідника зі струмом I:
Тут 
– поле на поверхні провідника, 
– поле на поверхні, тоді: 
.
Вектор Умова-Пойтинга спрямований всередину провідника. Це означає, що зі зовнішнього простору у провід входить потік енергії 
. Можна показати, що на проміжку l рівний:
,
тобто, вхідний потік енергії рівний потужності, яка поглинається згідно закону Джоуля-Ленца.
Оскільки потік вектора можна виміряти числом векторних ліній, то, побудувавши різні можливі картини ліній вектора Пойтинга 
, можна отримати наглядні ілюстрації різних варіантів балансу енергії, а саме.
1). Активний баланс (існує випромінювання):
 | |||
 | |||
Баланс буде називатися активним, коли 
, тобто буде віддача енергії у зовнішнє середовище. Тут Q = 
= - або в диференціальній формі: 
.
2). Нейтральний баланс (немає випромінювання):
Для нейтрального балансу енергії 
. Потік енергії у даному випадку може проходити наскрізь, так, що число вхідних ліній вектора Пойтинга рівне числу вихідних; він також може не входити в межі V чи взагалі бути відсутнім.
3). Пасивний баланс (переважає поглинання):
Пасивний баланс, коли поглинання переважає над випромінюванням. Оскільки , то 
: поглинання зовнішнього випромінювання приводить до росту запасу енергії.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 59; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!