Електромагнітні властивості середовищ

ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛЯ

Заряди і струми

Поняття електричного заряду вважаємо не підлягаючим визначенню. Але відносно заряду зробимо декілька зауважень: заряд і електричне поле – це два фізичні об’єкти, що нерозривно пов’язані один з одним.

Одиничний заряд це є заряд електрона: Кл.

Рух зарядів утворює електричний струм; одиниця вимірювання – Ампер= .

Об’ємна густина заряду :                                                   (2.1)

Якщо не забувати про дискретність зарядів, то: .

Густина струму :                      ,                                 (2.2)

де  – елементарна площадка, орієнтована ^ руху зарядів,  – одиничний орт нормалі, що вказує напрям руху заряджених частинок через площадку  (потік  співпадає із напрямом руху позитивно заряджених частинок).

Закон збереження заряду: заряд не знищується і не створюється нічого. А всяка зміна заряду – це є рух заряду, тобто проходження струму, тому:

                                                                                                 (2.3)

Причому, струм, який виходить із S назовні, вважається додатнім, а який входить всередину – від’ємним. Диференціальна форма закону збереження заряду:

                                          .                                                 (2.4)

Його можна отримати так. З (2.1) і (2.2) випливає, що:  та . Підставимо ці вирази у (2.3) і використаємо теорему Остроградського-Гауса: . Тобто потік  замінимо на об’ємний інтеграл і отримаємо шукане:

                   .

Якщо у розглянутій області густина заряду  знижується ( 0), то при цьому div >0 – витік, тобто в цьому об’ємі є джерела (див. рис).

В противному випадку – в розглянутій області наявний стік.

Електричне і магнітне поля

Сила, з якою електромагнітне поле діє на точковий електричний заряд, залежить не тільки від розташування і величини заряду, але також і від швидкості його руху. Цю силу переважно розкладають на дві: електричну і магнітну.

Електрична сила не залежить від руху заряду і характеризується напруженістю електричного поля. Напруженість електричного поля  визначають як силу, з якою електричне поле діє на точковий додатній одиничний заряд. Відповідно, між вектором  і силою , яка діє на точковий заряд q, існує простий зв’язок:  .

Магнітна сила  залежить від величини і напряму швидкості  руху заряду і завжди перпендикулярна їй:                              .

Тут  – вектор магнітної індукції, який характеризує силову дію магнітного поля. Магнітна індукція  чисельно рівна силі, з якою магнітне поле діє на одиничний точковий додатній заряд, який рухається з одиничною швидкістю перпендикулярно до ліній вектора . Магнітне поле діє, звичайно, не тільки на окремі рухомі заряди, але і на провідники, по яких тече електричний струм. Наприклад, сила F, з якою однорідне магнітне поле діє на прямолінійний провідник довжиною l і струмом I,визначається експериментально встановленим законом:   ,

 де  – вектор, чисельно рівний величині струму I, напрямок якого співпадає з напрямком струму в провіднику, тобто з напрямком руху додатних зарядів.

Повне електромагнітне поле описують за допомогою наступних векторних функцій:

 – напруженість електричного поля;            

 – електрична індукція;

 – напруженість магнітного поля;                           

 – магнітна індукція,

де  – радіус-вектор: ; t – час. На точковий заряд в е/м полі діє сила:

                                                                                                                (2.5)

де q – величина заряду (точкового); v – швидкість руху заряду.

Звідки перший доданок  – основа для визначення вектора  (при v=0), а другий  – сила Лоренца, основа для визначенням вектора магнітної індукції .

Вектори  і  у вакуумі зв’язані з  і  такими „матеріальними” співвідношеннями:

                                          ,              ,                                    (2.6)

де  і  – константи, залежні тільки від вибору одиниць вимірювання, причому  називають електричною постійною, а  – магнітною постійною.

 – в системі CІ.

Лінії векторів  і  називають відповідно електричними і магнітними силовими лініями.

Табл.1. Одиниці виміру (в системі СІ) електромагнітних величин:

Назва величини	Позначення	Одиниця виміру
Заряд	q	Кулон,  Кл
Струм	I	Ампер, А
Густина заряду		Кулон на куб.метр, Кл/
Густина струму	j	Ампер на кв.метр,  А/
Напруженість електричного поля	E	Вольт на метр, В/м
Напруженість магнітного поля	H	Ампер на метр, А/м
Електрична індукція	D	Кулон на кв.метр,   Кл/
Магнітна індукція	B	Тесла,                      Т
Електрична постійна		Фарад на метр      Ф/м
Магнітна постійна		Генрі на метр          Гн/м

 

 м/с – швидкість світла у вакуумі.

Рівняння Максвела

 

Всі електромагнітні процеси, які відносяться до макроскопічної електродинаміки, описуються законами, вперше сформульовані та опубліковані в 1873 р. у виді диференціальних рівнянь Дж. К. Максвелом. Ці рівняння були отримані в результаті обробки отриманих до того часу експериментальних даних і називаються „рівняннями Максвела”. Існує дві взаємозв’язані форми представлення чотирьох рівнянь Максвела, які потрібно просто запам’ятати:

 

    1). диференціальна форма:           2). інтегральна форма:

                                             (2.7)

Також наведемо тут матеріальні рівняння, які показують взаємозв’язок між величинами електричного і магнітного полів:

                                     .                                            (2.8)

Більш детальніше про рівняннями Максвела і матеріальні рівняння буде описано нижче.

Перше рівняння Максвела  (повний струм і магнітне поле)

Перше рівняння Максвела узагальнює закон Ампера, який визначає взаємозв’язок між електричним і магнітним полями.

Максвелом цей закон був сформульований у диференціальній формі: ,     а в інтегральній формі:        .

Виходячи з основі фізичної суті першого р-ня Максвела можна зробити висновки:

1). Для стаціонарного процесу:

                                 ,                                      (2.9)

Це є зв’язок магнітного поля з постійним струмом, якщо , то завжди , тобто

 

Приклад:

Розрахуємо величину напруженості магнітного поля  на відстані  від провідника, по якому тече струм  (див. рис). Для цього візьмемо циркуляцію  вздовж кола, тоді::                         , тоді, згідно (2.9)циркуляція рівна струму , звідки , або у векторній формі: .

Фактично  – закон повного струму або закон Ампера

 

2). Розглянемо випадок, коли :

                                 – струм зміщення,           (2.10)

тоді  – густина струму зміщення. Струм зміщення у вакуумі ніяк не зв’язаний з рухом зарядів.

3). Використовуємо тотожність . Візьмемо дивергенцію від першого рівняння Максвела у диференціальній формі, тобто:    .

Тоді:                            .                                                   (2.11)

Тут  – густина узагальненого струму. Тоді вектор густини узагальненого струму не має ні джерел, ні стоків.

Для знаходження вектора узагальненого струму використаємо теорему Остроградського-Гауса:

                            .        (2.12)

 

Звідки важливий висновок: узагальнений струм через будь-яку замкнуту поверхню S рівний нулю.

Максвел дав загальне формулювання закону повного струму. Він ввів фундаментальні поняття струму зміщення і, базуючись на роботах Фарадея, дійшов висновку, що у випадку змінних полів струм зміщення з точки зору створення магнітного поля рівноцінний струму провідності. Прикладом електричної системи, в якій наявні струми зміщення, може служити конденсатор в ланці змінного струму.

 

конденсатор

Схематичне представлення структурного відношення між зміною узагальненого струму і магнітним полем може мати наступний вигляд:

Фізична суть першого рівняння Максвел наступна:

1. Джерелом магнітного поля являється як струм провідності (направлений рух зарядів), так і електричне поле, яке змінюється в часі.

2. Рівняння встановлює взаємозв’язок часових змін електричного поля з просторовими змінами магнітного поля (тому що ротор визначається через просторові похідні компонентів поля).

3. В діелектричному середовищі чи вакуумі електричне поле, яке змінюється в часі, викликає вихрове магнітне поле.

4. При наявності струмів провідності чи зміщення магнітне поле, яке створюється ними, має вихровий характер (лінії вектора  замкнені).

5. Замкнені магнітні лінії вектора  охоплюють вектори густини струму провідності, струму зміщення чи їх суму.

6. Розбіжність вектора густини повного струму рівна нулю, тобто лінії вектора повного струму неперервні.

Друге рівняння Максвела (узагальнений закон електромагнітної індукції)

Друге рівняння Максвела узагальнює закон індукції Фарадея (закон електромагнітної індукції для електромагнітного поля в просторі), який формулюється наступним чином: якщо замкнений контур пронизується змінним потоком Ф, то в контурі виникає електрорушійна сила (ЕРС) е, яка рівна швидкості зміни магнітного потоку: . Знак мінус в правій частині формули означає, що ЕРС, яка виникає в контурі завжди, ніби намагається протидіяти зміні потоку, який пронизує даний контур. Це визначення відомо під назвою ”правило Ленца”.

Друге рівняння Максвела в інтегральній формі має такий вигляд:

                                          .      

У диференціальній формі друге рівняння Максвела має вигляд: .

Можемо зробити наступні висновки:

1). Якщо електричне поле відсутнє, тобто , звідки , тобто магнітне поле, яке існує без електричного, може бути тільки стаціонарним. Будь-яка зміна магнітного поля обов’язково викликає появу електричного поля, тоді , а отже .

2). В інтегральній формі друге рівняння Максвела співпадає із узагальненим законом електромагнітної індукції Фарадея (див. рис).

Дійсно, нехай: – магнітний потік (Вб) і  – електрорушійна сила (В), тоді:            (2.13)

 

Закон Фарадея встановлено для провідних контурів. Та все ж, не має значення, які саме матеріальні об’єкти опинились в області побудови. Це виходить за межі фактів, отриманих експериментальним шляхом. Тому друге рівняння Максвела можна розглядати як узагальнений закон електромагнітної індукції. (до Максвела вважалось, що закон електромагнітної індукції є справедливим лише для провідних контурів. А Максвел показав, що цей закон є справедливим і для тих контурів, які не є провідними).

 

 

Структурні відношення між зміною магнітного потоку і електричним полем:

Фізична суть другого рівняння Максвела наступна:

1. Зміна в часі магнітного поля, пронизуючого поверхню, яка опирається на довільний контур, породжує електричне поле, циркуляція напруженості якого по цьому контуру, рівна швидкості зміни магнітного потоку в часі, яка береться з протилежним знаком.

2. Електричне поле, яке створене змінним магнітним полем, має вихровий характер. Вихором (ротором) вектора напруженості електричного поля являється швидкість зміни вектора магнітної індукції.

3. Замкнені лінії електричного поля  охоплюють вектор швидкості зміни індукції магнітного поля.

4. Рівняння встановлює взаємозв’язок просторових змін електричного поля і часових змін магнітного поля.

Третє рівняння Максвела (електричне поле і заряди)

Третє рівняння Максвела є узагальненням закону Гауса у випадку змінних процесів. Закон Гауса зв’язує потік вектора електричної індукції через довільну замкнену поверхню S із зарядом q, який зосереджений всередині цієї поверхні:

      або в диференціальній формі:: .

З фізичної суті третього рівняння Максвела можна зробити такі висновки.

1).  означає, що лінії вектора  починаються на додатних і закінчуються на від’ємних зарядах.

2).  – також відома як теорема Гауса.

Потік  через замкнуту поверхню S переходить в нуль не тільки при відсутності зарядів всередині S, але і при їх нейтралізації, коли повний додатній заряд зрівноважується від’ємним.

Приклад практичного використання 3-го закону Максвела. Знайдемо поле точкового заряду q :

              ,

тобто:    або , звідки              (2.14)

Четверте рівняння Максвела

 

Четверте рівняння Максвела в інтегральній формі співпадає із законом Гауса для магнітного поля, який можна сформулювати наступним чином. Потік вектора  через будь-яку поверхню S рівний нулю: . Це означає, що не існує ліній вектора , які тільки входять в замкнуту поверхню S (чи навпаки, тільки виходять із поверхні S): вони завжди пронизують її. Це є четверте рівняння Максвела в інтегральній формі. В результаті перетворень можемо отримати диференціальну форму:                 .

Це показує, що в природі відсутні магнітні заряди. З цього рівняння також слідує, що лінії вектора  (силові лінії магнітного поля) являються завжди неперервними.

Резюме:

1). Максвел ввів струм зміщення.

2). Результатом 1 і 3 рівнянь Максвела є закон збереження заряду – вивести.

 

Електромагнітні властивості середовищ

 

Вектори електричної та магнітної індукцій  і , а також густина струму провідності  зв’язана з напруженостями поля  і  співвідношеннями, які залежать від властивостей середовища. Зазвичай існують зв’язки:

                       , ,                (2.15)

 

Найчастіше процеси в середовищі вважаються локальними і безінерційними, для яких:

 –матеріальні рівняння,       (2.16-2.18)

де  – відносна діелектрична проникливість;  – відносна магнітна проникливість;

 – питома провідність.

Тут j=σE – закон Ома в диференціальній формі.

Поляризація і намагнічування

Нехай електромагнітне поле вакууму має  і . Тоді  і .

Якщо ж поле існує в деякому середовищі, то:

                                 ,                        (2.19)

де  – поляризованість;  – намагніченість. Звичайно, що  і . В більшості випадків цим співвідношенням можна надати простої форми:

                                 ,            ,                  (2.20)

де  і  – безрозмірні коефіцієнти: електрична і магнітна сприйнятливості середовища. Тоді

                                 =1+        =1+ .                                  (2.21)

Розрізняють випадки, де зустрічається лише намагнічування чи поляризація, це є:

 – магніти, що характеризуються самостійним намагнічуванням та

 – електрети, що характеризуються самостійною поляризованістю.

Для більшості середовищ . Але існують і такі, для яких магнітна проник-ливість не відповідає цій умові. В залежності від  усі метали поділяють на:

1. Діамагнетики: , наприклад, мідь: =0.99999044;

2. Парамагнетики: , наприклад, алюміній: =1.00002227;

3. Феромагнетики: , наприклад, залізо: >1000.

 

Електропровідність

Виділимо елементарний об’єм V . Візьмемо закон Ома в диференціальній формі:    .

Проінтегруємо цей вираз за малим об’ємом V:

                       .

Тут величина  – струм провідності;  – падіння напруги на відстані l. Тоді отримаємо:

                 I·R=U.                           (2.21)

Це є закон Ома для ділянки кола, де R=l/ s S – електричний опір виділеної ділянки кола (або середовища). R вимірюється в Омах [Ом], а питома провідність s – у Сіменсах/метр [См/м].

Нехай носії додатного заряду переміщуються зі швидкістю . При цьому існує струм із густиною j, який направлений як і . Тоді справедлива така формула:

                                              .                                            (2.22)

Довести формулу.

---

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!