Призма, ее основные элементы. Виды призм. Поверхность и объем призмы
Двугранный угол
Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой (рис.1). Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями. Общая прямая a этих граней называется ребром двугранного угла.
рис.1
Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.
Выберем на ребре a двугранного угла произвольную точку C и проведём две пересекающиеся прямые AC ⊥ a и BC ⊥ a, а через эти прямые — плоскость γ перпендикулярно ребру a (рис.1а)
рис.1а
Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линии пересечения AC и BC полуплоскостей α и β с плоскостью γ образуют некоторый угол ∠ACB. Этот угол называется линейным углом двугранного угла и будет равен по величине двугранному углу.
Величина двугранного угла 0° < ∠ACB < 180°. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению.
Двугранный угол является острым, прямым или тупым, если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой (рис.3).
рис.3
Трёхгранный угол
|
|
|
Трёхгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости (рис.2).
Общая вершина S этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов a , b , c называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Грани трёхгранного угла образуют двугранные углы.
Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360°.
Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис.3).
Многогранник
Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, которые называются гранями.
Примеры многогранников:
Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами. По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д.
Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
Многогранник называется правильным, если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
|
|
|
Многогранник в трёхмерном пространстве - совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что
1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
2) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого в свою очередь - к смежному с ним, и т.д.
Вершины Ребра Грани
Призма, ее основные элементы. Виды призм. Поверхность и объем призмы
Призма – многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.
Основные элементы призмы:
1. Основания призмы - два плоских многоугольника, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых
параллельным переносом (ABCDE, KLMNP). Основания призмы являются равными многоугольниками.
2. Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP).
|
|
|
3. Боковые ребра – общие стороны боковых граней (AK, BL, CM, DN, EP). Боковые ребра призмы параллельны и равны.
4. Высота призмы - отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям (KR).
5. Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани (BP).
6. Диагональная плоскость - плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания (EBP).
7. Диагональное сечение - пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат (EBLP).
Виды призм
Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то призма называется прямой. В противном случае, призма называется наклонной. Все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники.
Поверхность и объем призмы
Основные обозначения:
V – объем
S полн. – площадь полной поверхности
S бок. – площадь боковой поверхности
|
|
|
S осн. – площадь основания
P осн. – периметр основания
h – высота
| Фигура | Площадь боковой поверхности Sбок. | Площадь полной поверхности S полн . | Объем V |
| Призма | Сумма площадей ее боковых граней. | Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, таким образом 
| 
|
| Прямая призма | Произведение периметра основания на высоту призмы, таким образом 
|
|
|
Параллелепипед
Параллелепипеды — особая группа призм.
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.
Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными (противолежащими), а имеющие общее ребро — смежными. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Различается несколько типов параллелепипедов:
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.
Свойства прямого параллелепипеда:
1. Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
3. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
4. Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
5. Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.
Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.
1. Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
3. Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. В прямоугольном параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
Ромбоэдр — параллелепипед, грани которого являются равными ромбами.
Куб — прямоугольный параллелепипед, грани которого являются квадратами.
| Фигура | Площадь боковой поверхности | Площадь полной поверхности | Объем |
Прямоугольный параллелепипед
(  - линейные размеры)
|  = 
|  = 
| V = 
|
Куб (  - ребро куба)
|  = 
|  = 
| V = 
|
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 80; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!