Приближенные формулы в схеме Бернулли
Локальная теорема Лапласа.
Если число испытаний n достаточно велико, то использование формулы Бернулли затруднительно. Для вычисления вероятности в этом случае используют асимптотическую формулу, которую дает локальная теорема Муавре - Лапласа
Теорема:
Если число испытаний n достаточно велико, эти испытания независимы и событие А происходит с постоянной вероятностью p,то вероятность того, что событие А произойдет ровно k раз, приближенно равно
где 
, 
(5)
Условие применения формулы (5) заключается в следующем: 
Функция 
называется функцией плотности вероятности нормального распределения. Ее значения занесены в таблицу.
Свойства .
1) - четная, т.е. 
= ;
2) точки 
- точки перегиба;
3) при 
Из свойств следует, что таблица значений составлена для значений 
Интегральная теорема Муавра – Лапласа
Теорема.
Если в n независимых испытаниях событие А происходит с постоянной вероятностью p, то при достаточно большом n вероятность того, что частота события А находится в интервале [a,b], приближенно равна:
(6)
где 
Функция 
называется функцией Лапласа.
Свойства функции Лапласа.
1) 
- нечетная;
2) возрастает на R;
3) при 
Значения функции Лапласа занесены в таблицу.
Вероятность отклонение относительной частоты от постоянной вероятности
|
|
|
Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна.
Вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превосходит положительного числа 
, то есть вероятность осуществления неравенства 
, определяется следующей формулой
(7)
где n число независимых испытаний, 
частота появления события А.
Пример. Вероятность появления события в каждом независимом испытании р=0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности может быть с вероятностью 0,9128, при 5000 повторений независимых испытаний по схеме Бернулли.
Решение: Имеем: 
,
или 
, отсюда: 
Формула Пуассона
Когда вероятность p появления события А близка к нулю, то формула Муавра – Лапласа дает значительную погрешность. Рассмотрим случай, когда при возрастании числа испытаний n вероятность уменьшается : 
Теорема (Пуассон). Если 
то
Pk, n= 
pkqn-k 
(8)
Доказательство. 
= 
Теорема доказана.
Если событие А происходит с достаточно малой вероятностью, то при достаточно большом числе испытаний вероятность p осуществления события А ровно k раз можно вычислить по формуле:
|
|
|
, где 
- формула Пуассона.
Условие, при котором применяется формула Пуассона - 
Вернемся к примеру
Пример. Вероятность, что изделие бракованное, равна 0,003. Чему равна вероятность того, что из 1000 наугад взятых изделий бракованных окажется а) ровно 5, б) хотя бы одно?
В нашем примере 
и по формуле получим P5,1000» 
,
1-P0,1000=1-e-3»0,95.
Простейший поток событий
Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.
Определение .
потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Примеры:
1) Поступление вызовов в скорую помощь;
2) Прибытие самолета в аэропорт.
Потоки обладают следующими основными свойствами:
1. Свойство стационарности. Это свойство характеризуется тем, что вероятность появления k событий за промежуток времени зависит только от числа k и длительности промежутка времени t, и не зависит от начала отсчета.
2. Свойство отсутствия последствий характеризуется тем, что вероятность появления k событий на каждом промежутке времени не зависит от того, появились или не появились события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка времени, то есть предыстории потока не сказываются на вероятности появления события в ближайшем будущем.
|
|
|
3. Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Иначе: вероятность появления одного события велика (намного больше), чем вероятность появления более одного события.
Выводы:
1. Если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления k событий за промежуток времени t есть функция, зависящая только от t и от k.
2. Если поток обладает свойством отсутствия последствий, то имеет место взаимная независимость того или иного числа событий в непересекающихся промежутках времени.
3. Если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.
Определение
Простейшим потоком называется поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последствия и ординарности.
Определение
Интенсивность потока 
есть среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона: 
где 
|
|
|
Эта формула отражает все свойства простейшего потока. Действительно, из формулы видно, что вероятность появления k событий за время t при заданной интенсивности , является функцией от k и t, что характеризуется свойством стационарности. Формула Пуассона не использует информацию о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка времени, что характеризует свойство отсутствия последствий. Формула отражает свойство ординарности, приняв k=0 и k=1, можно найти соответствующие вероятности не появления события А и появления события А один раз. При малых значениях t вероятность появления более одного события пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления одного события, что характеризует свойство ординарности.
Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 72; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!