Наиболее вероятное число успехов
Лекция №5
Вопросы:
- Схема Бернулли. Формула Бернулли.
- Приближенные формулы в схеме Бернулли
- Простейший поток событий.
Схема Бернулли. Формула Бернулли
Будем считать, что опыт (испытание) имеет только два исхода: успех, неудача. Рассмотрим серию (последовательность) из n таких испытаний. Например, n выстрелов по мишени, успех – попадание в мишень, неудача – промах. Рассмотрим самую простейшую последовательность испытаний, когда вероятность успеха р не меняется от испытания к испытанию, а сами испытания являются независимыми. Такие испытания называются испытаниями Бернулли.
В нашем примере это означает, что стрельба ведется без коррекции (испытания независимые) и в неизменных условиях. Если условия проведения испытаний меняются (например, стрельба по удаляющейся мишени), то вероятность успеха pi будет зависеть от порядкового номера испытания, хотя сами испытания могут оставаться независимыми. Если стрельба ведется с коррекцией (испытания зависимые), то условная вероятность успеха будет зависеть от результатов всех предыдущих успехов и неудач. Как правило, стрелок реагирует только на результат одного предыдущего (i-1)-го выстрела. Такие последовательности испытаний называются простой цепью Маркова, т. е. в простой цепи Маркова условная вероятность исхода i-го опыта зависит только от результата (i-1)-го опыта.
Вернемся к испытаниям Бернулли. Пусть событие Bk означает, что в n независимых испытаниях успех выпал ровно k раз, а неудача, соответственно, (n-k) раз. Это событие может осуществиться с одним из следующих благоприятных событий.
|
|
|
,
, (1)
…………………………….
.
Здесь Ai – успех в i-ом испытании, 
- неудача. При этом Р(Ai)=р, Р( )=1-р=q. Можно доказать, что число всех благоприятных событий N= 
. Сомножители в событиях wi независимые, поэтому по теореме умножения найдем
P(wi)=pkqn-k. (2)
Очевидно,
(3)
Слагаемые wi в (3) несовместные, поэтому по теореме сложения и с учетом (2), получим
P(Bk)=Pk,n= pkqn-k (4)
Равенство (4) называется формулой Бернулли.
| Рассмотрим формулы, применяемые в схеме Бернулли. Найдем вероятность наступления события А, используя теорему сложения несовместных событий: |
| Менее k-раз Рn(0)+ Рn(1)+…+ Рn(k-1) |
| Более k-раз Рn(k+1)+ Рn(k+2)+…+ Рn(n) |
| Не более k-раз Рn(0)+ Рn(1)+…+ Рn(k) |
| Не менее k-раз Рn(k)+ Рn(k+1)+…+ Рn(n) |
| Хотя бы один раз 1- Рn(0) |
Пример . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.
|
|
|
Решение. Поскольку 
, то 
. По условию 
по формуле Бернулли находим:
Пример. Вероятность, что изделие бракованное, равна 0,003. Чему равна вероятность того, что из 1000 наугад взятых изделий бракованных окажется а) ровно 5, б) хотя бы одно?
Решение. а). Р5,1000= 
(0,003)5×(0,997)995.
б). Пусть В0 означает ни одного бракованного изделия. Тогда Р(В0)=Р0,1000= 
p0×q1000=(0,997)1000.
Событие 
означает хотя бы одно изделие бракованное.
Р( )=1-Р(В0) =1-(0,997)1000.
Как видно, задача решается просто, но вычисления в данном случае трудно выполнить. В таких случаях пользуются приближенными, но более удобными для вычислений формулами.
Наиболее вероятное число успехов
По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в n испытаниях» имеет вероятность qn , 1 успех — вероятность n p qn и т.д. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком k достигается максимум P(vn = k)?
|
|
|
Чтобы выяснить это, сравним отношение P(vn = k)и P(vn = k -1)с единицей.
 |
Видим, что
(a) Р( vn = k ) > Р( vn = k -1) при np + p – k > 0, то есть при k < np + p;
(b) Р( vn = k ) < Р( vn = k -1 )при np + p – k < 0, то есть при k > np + p;
(c) Р( vn = k ) = Р( vn = k -1) при np + p – k = 0, что возможно лишь если np + p — целое число.
Рассмотрим два случая: np + p –целое число и np + p – дробное число. В первом случае пусть k 0 = np + p. Из полученных выше неравенств, сразу следует, что
 |
Во втором случае пусть k 0 = [np + p] (целая часть числа np + p, то есть наибольшее целое число, не превосходящее np + p). Из неравенств (a), (b) следует,
 |
Действительно, неравенство Р( vn = k 0 ) > Р( vn = k 0 +1), например, следует из (b), примененного для k = k 0 +1 > np + p.
Видим, что в зависимости от того, является число 1 > np + p целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k 0 = np + p и k 0 –1 > np + p - 1,либо одно «наиболее вероятное» число успехов k 0 = [np + p].
Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.
Теорема. В n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является
|
|
|
a) единственное число k 0 = [np + p], если число np + p не целое;
б) два числа k 0 = np + p и k 0 -1= np + p -1, если число np + p целое.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 126; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!