Проверка гипотез о числовых значениях математических ожиданий
Для решения вопроса о соответствии произведенной продукции определенным требованиям (например, ГОСТ или ТУ), или выявлении преимуществ новой разработки по сравнению с существующими аналогами, возникает необходимость по выборочным средним значениям исследуемых случайных величин делать вывод о соответствующих им генеральных значениях математических ожиданий.
При этом может возникнуть задача (1) сравнения неизвестного математического ожидания 
, для которого получена оценка через выборочное среднее 
с конкретным числовым значением М (например, с известным математическим ожиданием) или задача (2) сравнения двух математических ожиданий и 
, оцененным по двум выборочным средним и 
.
В первом случае в качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение о том, что оцененное математическое ожидание равно известному математическому ожиданию М ( 
). В качестве альтернативной примем 
Если генеральная дисперсия 
неизвестна и для нее сделана оценка 
, то используется t-критерий (распределения Стьюдента). t-статистика имеет вид: 
. Как и при построении доверительного интервала для математического ожидания, выбирается уровень значимости 
Для числа степеней свободы 
(c которым сделана оценка дисперсии) устанавливаются границы критической области по табличным значениям квантилей t-распределения. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что 
при выполнении неравенства: 
|
|
|
В задаче (2), где сравниваются два неизвестных математических ожидания и , прежде всего необходимо убедиться, что исследуемые выборки независимы между собой. После чего, для двух нормально распределенных генеральных совокупностей с неизвестными параметрами 
которые характеризуются независимыми выборками объемом, соответственно, 
, для сравнения выборочных средних 
выдвигается нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий: 
Альтернативную можем сформулировать как 
Как и в предыдущей задаче, используем t-критерий. Вид t-статистики зависит от того, равны 
, либо не равны 
между собой генеральные дисперсии (для ответа на этот вопрос можно воспользоваться критерием Фишера).
В первом случае (когда дисперсии не имеют значимого отличия) статистика принимает вид
двухвыборочный t-критерий с равными дисперсиями, где S – обобщенное среднее квадратичное отклонение.
Во втором случае, когда дисперсии значимо отличаются друг от друга, статистика имеет вид:
двухвыборочный t-критерий с неравными дисперсиями.
В зависимости от условия решаемой задачи выбирается необходимый уровень значимости α. Границы критической области устанавливаются по табличным значениям квантилей t-распределения. При этом число степеней свободы рассчитывается как 
.
|
|
|
Нулевую гипотезу принимают при выполнении неравенства
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 46; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!