Распределение Грамма-Шарлье А

Цель работы. Изучить особенности распределения Максвелла.

Задачи работы:

- Построить график эмпирического распределения.

- Рассчитать теоретические частоты, соответствующие распределению Грамма-Шарлье А.

- Сопоставить эмпирическое и теоретическое распределение Грамма-Шарлье А.

С помощью данного распределения описывают строение признаков близких к нормальным, встречающихся очень часто в биологических исследованиях [1]:

f(x) - , (21)

где f(x) – плотность нормального распределения.

Это «обобщенное нормальное распределение», использующее функцию нормального распределения и ее производные. Применение этого распределения требует знания четырех параметров (х_ср, σ, А, Е). Данная функция имеет ряд ограничений, особенно по показателям асимметрии и эксцесса. Достигнуть приемлемых результатов можно только при |А| <0,8.

На основе примера [6] выравнивания ряда распределения диаметра сосны 180-летнего возраста, выполняем необходимые расчеты при следующих исходных параметрах: x_ср=33,24 см; А= + 0,177; σ=7,42 см; Е=-0,120 (таблица 6).

Определенная сложность возникает при определении 3-ей и 4-ой производной величины: и .

Таблица 6 – Вычисление теоретических частот функции Грамма-Шарлье А

х_i_, _см	n_i_, _шт	=Z	f(z)	f³(z)	f⁴(z)			4+7+8 столбцы
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
12	1	-2,864	0,00660	-0,09839	0,13910	-0,00295	-0,00070	0,00295	0,6
16	5	-2,325	0,02674	-0,14953	-0,00572	-0,00449	0,00003	0,02228	4,9
20	20	-1,786	0,08093	-0,02743	-0,48282	-0,00082	0,00241	0,08252	18,2
24	43	-1,247	0,18333	0,33035	-0,71716	0,00991	0,00359	0,19683	43,3
28	69	-0,707	0,31071	0,54920	0,07793	0,01648	-0,00039	0,32680	71,9
32	88	-0,168	0,39335	0,19638	0,11371	0,00589	-0,00557	0,39367	86,6
36	79	0,372	0,37227	0,39628	0,81482	-0,01189	-0,00407	0,35631	78,4
40	55	0,911	0,26345	0,52081	-0,34003	-0,01562	-0,00170	0,24953	54,9
44	31	1,450	0,13943	0,18145	-0,72427	-0,00544	0,00362	0,13761	30,3
48	12	1,990	0,05508	-0,10523	-0,27970	0,00316	-0,00140	0,05964	13,1
52	4	2,529	0,01629	-0,13995	-0,08981	0,00420	-0,00045	0,02004	4,4
56	2	3,069	0,00359	-0,07081	0,12653	0,00212	-0,00063	0,00508	1,1
60	1	3,609	0,00059	-0,02138	0,05586	0,00064	-0,00000	0,00123	0,3

Задание. Построить график распределения исходного ряда. Вычислить теоретические частоты распределения Грама-Шарлье А. Построить и сопоставить эмпирическое и теоретическое распределение Грама-Шарлье А.

Лабораторная работа

(2 часа)

Гамма-распределение

Цель работы. Изучить особенности Гамма-распределения.

Задачи работы:

- Построить график эмпирического распределения.

- Рассчитать теоретические частоты, соответствующие Гамма-распределению.

- Сопоставить эмпирическое и теоретическое Гамма-распределение.

Гамма – распределение принадлежит к числу основных моделей, используемых при изучении распределений [1,7,4]. Это одна из основных статистических моделей для представления распределений случайных величин, ограниченных с одной стороны.

f(x)= , x>0 или

f(x) = , x>x₁; a>0; b>0 , (22)

где а – параметр масштаба;

b – параметр формы.

Если b<1, то плотность гамма-распределения убывающая кривая, если b>1, то распределение одновершинное с максимумом в точке (b-1)/а.

Среднее значение и дисперсия определяются по следующим формулам:

х_ср= ; σ²= .

Отсюда выборочные а и b будут устанавливаться по формулам:

а = = , (30); b = a*x_ср , (23)

где Г(b) – это интеграл Эйлера первого рода.

Обобщенное понятие факториала для какого-либо положительного числа. В практике используют lgГ(p) при р>2.

lgГ(p)=lg(p-1)+lg(p-2)+…+ lg(p-k)+lgГ(p-k)

При значениях примера [4] в «рабочих единицах» х_ср=3,0896; σ²=2,135. Тогда, а = =1,4448.

b = 1,4448*3,0896 = 4,4637.

X^,_i=(X_i-X_ср)/d_i X₁=6 см =>

f(x) = , (24)

n^,_I = f(x)*n*d_i , (25).

Для исходного ряда х_ср=18,36 см σ²=34,216 см².

Прологарифмируем функцию для определения её параметров:

lg f(x) = lg 558 + 4,4637*lg 1,4448 – lg Г(4,4637)+3,4637*lg x-1,4448*x*lg e = 2,4157+3,4637*lg x-0,6275*x.

lg Г(4,4637) = lg 3,4637 + lg 2,4637 + lg 1,4637 + lg Г (1,4637) = 0,5395+0,3916+0,1654+1,9472 = 1,0438.

Расчет выравнивающих частот приведен в таблице 7.

Таблица 7 – Вычисление выравнивающих частот по кривой гамма-распределения

Х_i , см	n_i , шт	Х^,_i	-0,6275* Х^,_i	lg Х^,_i	3,4637*lg Х^,_i	lg n_i=2,4159+(4)+(6)	n^,_i
8	11	0,5	-0,3138	-0,3010	-1,0426	1,061	11,7
12	118	1,5	-0,9412	0,1761	0,6099	2,084	121,4
16	181	2,5	-1,5688	0,3979	1,3783	2,225	168,0
20	124	3,5	-2,1962	0,5441	1,8845	2,104	127,1
24	67	4,5	-2,8238	0,6532	2,2625	1,854	71,5
28	31	5,5	-3,4512	0,7404	2,5644	1,529	33,8
32	17	6,5	-4,0788	0,8129	2,8157	1,153	14,2
36	5	7,5	-4,7062	0,8751	3,0309	0,740	5,5
40	3	8,5	-5,3338	0,9294	3,2192	0,301	2,0
44	1	9,5	-5,9612	0,9777	3,3865	1,841	0,7
	558						555,9

Задание. Построить график распределения исходного ряда. Вычислить теоретические частоты гамма распределения. Построить и сопоставить эмпирическое и теоретическое гамма распределение.

Лабораторная работа

(2 часа)

Распределение Вейбулла

Цель работы. Изучить особенности распределения Вейбулла.

Задачи работы:

- Построить график эмпирического распределения.

- Рассчитать теоретические частоты, соответствующие распределению Вейбулла.

- Сопоставить эмпирическое и теоретическое распределение Вейбулла.

Распределение Вейбулла названо в честь шведского исследователя (Waloddi Weibull), применявшего это распределение для описания времени отказов разного типа в теории надежности [7].

Функция распределения Вейбулла и плотности вероятности имеют следующий вид:

f(x)= , (26)

f(t)= , (27)

где a– параметр масштаба;

b – параметр формы.

В случаях, когда случайные величины начинаются не с нуля, а имеют сдвиг (с) используют трехпараметрическую функцию:

f(x)= , (28)

f(t)= , (29).

Преимуществом использования данной функции при биологических исследованиях являлись [8]:

- описание максимального разнообразия кривых, как инверсионной формы, так и распределений с правосторонней и левосторонней асимметрией;

- коэффициенты модели изменяются в зависимости от строения биологического объекта;

- параметры функции имеют биологическую интерпретируемость;

- простой математический аппарат вычисления.

По данным [9] при указанных ниже значениях коэффициента формы функция имеет следующий вид:

b > 1- кривая колоколообразная;

1 < b < 3,6 - положительная асимметрия;

b > 3,6 - отрицательная асимметрия.

Теоретические частоты распределения Вейбулла определяют по формуле [10]:

n^,_I= , (30)

где а – параметр масштаба;

af ( ) - табулированная функция.

a = или а = , (31)

где х_ср – среднее значение;

К_b - вспомогательный коэффициент масштаба.

В таблице 8 приведены параметры функции Вейбулла.

Таблица 8 – Параметры и коэффициенты распределения Вейбулла

V	b	K_b	S_b
1	2	3	4
1,26	0,8	1,13	1,43
1,11	0,9	1,07	1,20
1,00	1,0	1,00	1,00
0,91	1,1	0,97	0,88
0,84	1,2	0,94	0,79
0,78	1,3	0,92	0,72

Продолжение таблицы 10

1	2	3	4
0,72	1,4	0,91	0,66
0,68	1,5	0,90	0,61
0,64	1,6	0,90	0,57
0,61	1,7	0,89	0,54
0,58	1,8	0,89	0,51
0,55	1,9	0,89	0,49
0,52	2,0	0,89	0,46
0,50	2,1	0,89	0,44
0,48	2,2	0,89	0,43
0,46	2,3	0,89	0,41
0,44	2,4	0,89	0,39
0,43	2,5	0,89	0,38
0,41	2,6	0,89	0,37
0,40	2,7	0,89	0,35
0,39	2,8	0,89	0,34
0,38	2,9	0,89	0,34
0,36	3,0	0,89	0,33
0,35	3,1	0,89	0,32
0,34	3,2	0,90	0,31
0,33	3,3	0,90	0,30
0,32	3,4	0,90	0,29
0,32	3,5	0,90	0,29
0,31	3,6	0,90	0,28
0,30	3,7	0,90	0,27
0,29	3,8	0,90	0,27
0,29	3,9	0,90	0,26
0,28	4,0	0,90	0,25

В качестве исходного примера возьмём распределение деревьев по диаметру со следующими статистическими характеристиками:

d_i = 4 см, n = 558 шт, Х_ср = 18,36 см, σ = 5,85 см, V = 032. По таблице 10 определяем b = 3,5 и K_b = 0,90; S_b = 0,29.

Вычисляем параметр масштаба

a =

Выравнивание частот производим в таблице 9.

Таблица 9- Выравнивание частот по кривой Вейбулла

X_i, см	n_i, шт		f(x)	d_inf(x) без округления		n_i^, с округлением
8	11	0,0159	0,0197	35,5		36
12	118	0,0390	0,2115	87,0		87
16	181	0,0610	0,3244	136,2		137
20	124	0,0642	0,2222	143,2		144
24	67	0,0440	0,1201	98,2		99
28	31	0,0183	0,0556	40,8		41
32	17	0,0042	0,0305	9,3		10
36	5	0,00048	0,0090	1,1		2
40	3	2,4*10^-5	0,0054	0,05	1
44	1	4,67*10^-7	0,0018	0	1
Σ	558		1,0		558

Второй способ определения значение функции Вейбулла.

Для трёхпараметрической функции параметр сдвига (с) [19] определяется при следующих условиях: с^, = x_ср – а*K_b.

Если c^, < x_min => c=c^, ; c^, > x_min => c = x_min ; c^, < 0 => c=0.

При отсутствии таблиц распределения Вейбулла, параметры можно определить по приближённым формулам: V = 0,30-0,72 , b= , a ≈ 1,11*(х_ср-х_min) , c = x_min.

В.Каплунов [12] установил наличие следующих связей при изучении строения по диаметру:

a ≈ 1,11*х_ср ;

b ≈ 130,7/V_d .

Считаем: c^, = x_ср-а*К_b = 18,36-20,4*0,90 = 0

Таким образом, сдвиг равен нулю.

b ≈ ≈ 3,346; a = 1,11*18,36 = 20,38; c=0.

С помощью стандартной функции Excel определяем значение дифференциальной функции Вейбулла (t=0).

Задание. На основе исходной выборки построить сгруппированный вариационный ряд. Вычислить статистические показатели. Определить возможности по применению функции Вейбулла. Установить параметры функции. Вычислить теоретические частоты. Определить степень соответствия эмпирического ряда теоретическому распределению по критерию χ² .

Лабораторная работа

(2 часа)

Функции роста

Цель работы. Изучить показатели роста.

Задачи работы:

- Рассчитать оптимальную степень полинома n -порядка.

- Построить графики визуализации.

Введение. Рост растительных организмов зависит от многих составляющих [14]: обмен энергией и веществом между компонентами фитоценоза, изменение структуры и состава популяций, входящих в сообщество; фитовзаимовлияние; реакция на хозяйственные воздействия; изменение погоды и климата и т.д.

В самом простом биометрическом представлении рост древесных растений рассматривается как изменение их размеров во времени, т.е. как функция времени:

М = f(t) , (32)

где М – размеры растений;

t- время.

Ход роста отдельных деревьев, их совокупности и насаждения в целом может быть выражен различными уравнениями.

Скорость роста [14]. Может быть подставлена как первая производная функция роста:

M^, = f(t) = ΔM/Δt , (33).

В дискретном представлении скорость роста отождествляется с приростом (Z):

ΔM/Δt = Z , (34).

Скорость изменения размеров растений в единицу времени.

Первыми функциями и наиболее часто употребляемыми являются степенные полиномы различного порядка:

y = a + b*t + c*t² + d*t³ + …+ k*tⁿ , (35)

где у - размер дерева, древостоя, лесного массива;

а, b, с, d… , к – коэффициенты полиномиальных функций.

Для практических целей в лесном хозяйстве широко применяют многочлены от 1-ой (прямая линия) до 4-ой степени. Иногда используют многочлены более высоких степеней.

Применение данных функций ограничивается задачами сглаживания кривых роста без биологической интерпретации в росте.

Коэффициенты полинома определяют методом наименьших квадратов. Для выбора степени многочлена, отражающего изучаемую зависимость можно использовать табличные разности функций.

Пример [1]. Установим степень полинома для отражения роста в высоту насаждений с относительно быстрым ростом в молодом возрасте для 2 бонитета (таблица 10).

Таблица 10 - Вычисление табличных разностей

Показатель	Возраст, лет
Показатель	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110
Н	5,0	9,0	12,6	15,4	17,8	19,7	21,3	22,7	23,8	24,9	25,9
ΔН^,	4,0 3,6 2,8 2,4 1,9 1,6 1,4 1,1 1,1 1,0
ΔН²	-0,4 -0,8 -0,4 -0,5 -0,3 -0,2 -0,3 0 -0,1
ΔН³	-0,4 -0,4 -0,1 +0,2 +0,1 -0,1 +0,3 -0,1
ΔН⁴	0 -0,5 +0,3 -0,1 0 +0,4 -0,4

Поскольку для 4-ой степени начинают возрастать табличные разности, следует ограничиться полиномами 3-ей степени.

Задание. Выполнить расчёт степени полинома для исходного примера в Excel. Построить графики визуализации изменения вида кривой Н= f(А) в зависимости от степени полинома от 1-ой до 4-ой. На примере, выданном преподавателем выполнить все представленные выше операции.

Лабораторная работа

(2 часа)

Экспоненциальное сглаживание

Цель работы. Использование метода экспоненциального сглаживания.

Задачи работы:

- Выполнить сглаживание приростов для 3-х вариантов К = 1,0; 0,5; 0,2.

- Провести актуализацию таксационных показателей на основе таблиц хода роста.

Часто при биологических исследованиях возникают задачи (например, прироста размерного признака) для представленного периода времени.

Метод экспоненциального сглаживания даёт возможность оценить степень воздействия трендовой или циклической компоненты на отклик системы, но в отличие от метода скользящих средних, возможно применение для краткосрочных прогнозов будущей тенденции на один период вперёд.

Особенностью данного метода является то, что при его применении сглаженное значение в любой точке ряда является некоторой функцией всех предшествующих наблюдаемых значений. При экспоненциальном сглаживании учитываются все предшествующие наблюдения – предыдущие учитываются с максимальным весом, предшествующие ему с несколько меньшим, самое «старое» наблюдение влияет на результат с минимальным статистическим весом.

Алгоритм расчёта экспоненциально сглаженных значений в любой точке ряда i основан на трёх величинах: наблюдаемое значение y_i в данной точки i; сглаженном значении предыдущего периода y ^, _i _-1 и заданном коэффициенте сглаживания К, постоянным по всему ряду. При этом первая точка y ₁ = y ^, ₁ соответствует сама себе. Сглаживание точек производят по следующей формуле:

y^,_i = K* y_i + (1-K)* y_i_-1, (36).

Важным моментом является определение коэффициента сглаживания. Этот коэффициент связан с периодом прогноза L следующим соотношением: K = 2/(L+1) при 0<K<1. Обычно интервал соответствует значениям от 0,2 до 0,5 (т.е. допускается погрешность в прогнозе от 20 до 50 %). При высоких значениях К в большей степени учитывается мгновенные текущие наблюдения отклика и наоборот, при низких его значениях сглаженная величина определяется в большей степени прошлой тенденцией развития, нежели текущим состоянием отклика системы.

При биологических исследованиях в связи с климатическими изменениями очень важным вопросом является и прогнозирование морфологических признаков деревьев и актуализация таксационных показателей древостоев.

В таблице 11 представлено сглаживание годового прироста кедра по высоте.

Задание. Выполнить сглаживание приростов для 3-х вариантов К = 1,0; 0,5; 0,2. Провести актуализацию таксационных показателей на основе таблиц хода роста (Н,d,F,N,M) с использованием экспоненциального сглаживания. Расчёт выполнить по формуле и специальные процедуры в электронной таблице Сервис – Анализ данных – Экспоненциальное сглаживание.

Таблица 11 - Экспоненциальное сглаживание ряда приростов по высоте кедра

Годы	1975	1976	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987
ΔН, см	11	15	34	31	18	28	38	44	42	47	26	36	42
Годы	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
ΔН, см	43	46	42	40	42	39	39	45	37	29	43	40	45
Годы	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
ΔН, см	36	29	37	40	42	42	15	32	24	14	12

Лабораторная работа

(2 часа)

Аллометрическая функция

Цель работы. Использование аллометрической функции при морфологических исследованиях.

Задачи работы:

- Вычислить коэффициенты аллометрической функции.

- Сопоставить биометрические признаки друг с другом.

В биологии степенная или аллометрическая функция применяется при исследовании морфологии, биомассы растений и животных [4].

В общем виде уравнение имеет следующий вид:

y = a*x^b , (37)

где у - функция, например величина морфологического признака,

а - коэффициент, который зависит от начальных условий роста независимой переменной;

х - значение признака, связанного с у;

b - коэффициент, (величина аллометрии), показывает во сколько раз

скорость роста зависимого признака (у) превышает скорость роста независимого признака (х).

Если b =1, признаки растут одинаково и находяться по отношению друг к другу в состоянии изометрии. При b >1 скорость роста у>х – положительная аллометрия, при b <1 – х> y - отрицательная аллометрия.

Для расчёта параметров аллометрического уравнения используем пример и данные [4], представленные в таблице 12.

Таблица 12 – Вычисление вспомогательных параметров аллометрического уравнения на примере связи длинны листа тополя (х) и площади его поверхности (у)

Длина листа, см	Площадь листа, см2	lg x	lg y	(lg x)²	lg x* lg y	y^,
8	67,65	0,9031	1,8303	0,8156	1,6529	69,92
10	110,60	1,0000	2,0438	1,0000	2,0438	109,32
12	153,40	1,0792	2,1858	1,1647	2,3589	157,51
14	224,10	1,1461	2,3504	1,3135	2,6938	214,49
16	297,50	1,2041	2,4735	1,4499	2,9788	280,22
18	369,15	1,2553	2,5672	1,5758	3,2226	354,89
20	460,40	1,3010	2,6132	1,6926	3,3998	438,13
22	514,50	1,3424	2,7114	1,8020	3,6398	530,40
Σ	2197,30	9,2312	18,7756	10,8141	21,9899

Для нахождения коэффициентов уравнения (33) решаем систему уравнений

n*lg a + b*Σlg x = Σlg y =>

lg a* Σlg x + b* Σ(lg x)² = Σ(lgx*lgy)

8*lga + 9,2312*b = 18,7756

9,2312*lga + 10,8141*b = 21,9899 / 9,2312

1,2312*lga + 1,5829*b = 3,2143 / 1,2312

lg a + 1,1715*b = 2,3821 (2) – (1)

lg a + 1,2857*b = 2,6107

0,1142*b = 0,2286

b=2,0018

lg a = 2,6107 – 1,2857*2,0018 = 2,6107 – 2,5737 = 0,037

lg a = 0,037 10^0,037= 1,0889.

Итоговое уравнение будет иметь следующий вид:

у=1,0889 * х^2,0018 – наблюдается положительная аллометрия.

Вывод. Площадь поверхности листа увеличивается в 2 раза быстрее, чем длина листа тополя.

При приближённых вычислениях можно использовать следующие формулы:

b = (ln / (ln , (38)

a = , (39)

Затем методом итераций получить оптимальные значения коэффициентов.

Задание. Определить коэффициенты аллометрической функции по заданию преподавателя.

Лабораторная работа

(2 часа)

Логистическая функция

Цель работы. Использование логистической функции при морфологических исследованиях.

Задачи работы:

- Вычислить коэффициенты логистической функции.

- Изучить ход роста на основе данной функции.

Изменение параметров роста насаждений и отдельных растений, как правило, моделируются логистической функцией, характеризующейся медленным ростом в начальный и конечный период роста (рисунок 2).

а₁

а₀

Рисунок 2 – Форма и параметры логистической функции

Функция имеет следующий вид:

у = , (40)

где у - зависимая переменная;

а - нижний предел функции (асимптота);

а₀ - расстояние между нижней и верхней асимптотой;

с – коэффициент, определяющий степень изгиба кривой;

b- коэффициент, определяющий наклон логистической функции.

Пример. Аппроксимируем динамику накопления сухого вещества в плодах растений [4], в зависимости от пятидневных периодов (х).

1. Строим график зависимости у=f(х) и определяем величину а₀=0, а₁=80,3.

Если величины равностоящие по формуле:

а₁= , (41)

b₁= , (42)

b₁= =71,589 a₁= = 80,3

2. Заполняем таблицу 13 для получения вспомогательных переменных.

Находим средние показатели:

M_x = = = 8,0 M_z = = = 0,05035

b = = = -0,2949

c = M_z – b*M_x = 0,05035+0,2949*8 = 2,4096

Задание. Вычислить параметры логистической функции для связей H=f(А) и М=f(А). Сформулировать биологический вывод.

Таблица 13 - Вычисление промежуточных данных при расчёте параметров логистической функции

x	x²	y	80,3/y	(80,3/y)-1	Z=lg((80,3/y)-1))	Z	x* Z
17	289	80,3	1	0	-	-	-
16	256	80,3	1	0	-	-	-
15	225	80,2	1,0012	0,0012	3,0792	-2,9208	-43,812
14	196	77,6	1,03	0,03	2,4771	-1,5229	-21,3206
13	169	71,5	1,12	0,12	1,0792	-0,9208	-11,9704
12	144	67,8	1,18	0,18	1,2553	-0,7447	-8,9364
11	121	63,8	1,26	0,26	1,4150	-0,5850	-6,4350
10	100	58,7	1,37	0,37	1,5682	-0,4318	-4,3180
9	81	49,0	1,64	0,64	1,8062	-0,1938	-1,7442
8	64	41,7	1,93	0,93	1,9685	-0,0315	-0,2520
7	49	29,9	2,69	1,69	0,2279	0,2279	1,5953
6	36	26,5	3,03	2,03	0,3075	0,3075	1,8450
5	25	11,2	7,17	6,17	0,7903	0,7903	3,9515
4	16	5,28	15,2	14,2	1,1523	1,1523	4,6092
3	9	3,07	26,2	25,2	1,4014	1,4014	4,2042
2	4	1,20	66,9	65,9	1,8189	1,8189	3,6378
1	1	0,312	257	256	2,4082	2,4022	2,4082
Σ120	Σ1240	-	-	-	-	Σ0,7552	Σ-76,5274

Лабораторная работа

(2 часа)

Функция Митчерлиха

Цель работы. Использование функции Митчерлиха при морфологических исследованиях.

Задачи работы:

- Вычислить коэффициенты функции Митчерлиха.

- Изучить ход роста на основе данной функции.

Ход роста описывается множеством функций хода роста, которые были сгруппированы в 7 групп и должны отвечать следующим требованиям [15]:

-График должен проходить через начало координат, f(х)=0, при х=0.

-Функция роста должна быть возрастающей при х>0, а f(х) больше или равно 0.

-Предел функции при неограниченном возрастании аргумента должен стремиться к асимптоте: lim f(х) = max x → к бесконечности.

-График текущего прироста должен исходить из начала координат, f(х)=0, при х=0.

-Функция роста должна иметь точку перегиба.

Наиболее приемлемой для оценки хода роста живых организмов является функция Митчерлиха:

у = у_max * (1-e^-^x^*^c₁)^c₂ (43)

где у - прогнозируемая величина;

у_max - асимптотическое значение прогнозируемой величины;

х - показатель времени;

с₁ - параметр роста;

с₂ - параметр формы кривой.

Если с₂ >1 – кривая имеет S-образную форму с точкой перегиба x=ln(c₂/c₁).

Если 0<c₂<1 - функция не имеет точки перегиба.

При равноотстоящих значенияx х (временные периоды 1,5,10,15,20 лет). Коэффициенты определяют упрощённым методом [1].

Х₃:Х₂:Х₁ = А₃:А₂:А₁.

И затем определяем промежуточную величину.

Λ = , (44)

Λ = , (45)

Находим величину с₁.

С₂ = , (46)

С помощью метода итерации корректируем значение коэффициентов.

Задание. Выполнить расчёт коэффициентов функции Митчерлиха для связей H=f(А), D=f(А), ΣG=f(A), M=f(A) по заданию преподавателя. В отчёте составить биологический вывод.

Лабораторная работа

(2 часа)

Математический анализ роста

Цель работы. Изучить основные виды функций, применяемые при анализе роста

Задачи работы:

- Использовать логистическую функцию для прогноза роста морфологических признаков.

- Применить функцию Гомпертца при оценке роста.

Изучение «геометрического» результата роста составляет одну из задач динамической морфологии (учение о морфогенезе) растений [16].

Рост растений и животных в подавляющем большинстве случаев соответствует ходу S – образных (сигмоидных) кривых: вначале рост идет медленно, потом ускоряется, достигает максимальной скорости, а затем начинает замедляться и, наконец, останавливается. Использование параболических и экспоненциальных функций позволяет описать только отдельный участок кривой (ограниченный период роста).

В.М. Шмидт [16] критикует формулу Берталанфи у = а*(1-b*e^-^k^*^t), где у-длина тела; а, b, k – коэффициенты; t – число дней роста. Применение данной функции основана на теории роста Пюттера-Бертталанфи, которая основана на двух постулатах: 1) скорость роста пропорциональна разности между ассимиляцией и диссимиляцией; 2) скорость синтеза пропорциональна поверхности тела, а скорость распада – его объему.

Однако данная теория разработана для зоологии, в ботанике рост возможен путём локализации меристем и посредством растяжения [16]. На этом основании автор [16] считает, что логистическая функция и функция Гомпертца отражает феноменологическую суть ростового процесса.

График логистической функции представляет собой симметричную S-образную кривую, поэтому данной функцией следует пользоваться тогда, когда эмпирические точки, характеризующие рост органа во времени, располагаются на графике симметричным образом. Если же эмпирические данные указывают на асимметрию кривой за счет растянутости верхней ветви (затухание роста происходит медленно), то вместо логистической функции следует использовать функцию, предложенную Б. Гомпертцом в 1825 г.

Логистическая функция. Предложена в 1838 году бельгийским математиком П. Ферхюльстом. Общий вид функции следующий:

У = А/(1+10^a⁺^b^*^x) + C, (47)

где у- числовое значение ростового признака;

А- расстояние между нижней и верхней асимптотами (конечный размер биологического объекта);

Х- время, прошедшее с начала роста;

а, b, c – константы уравнения, определяющие наклон, изгиб и точку перегиба кривой;

с – исходный размер (если рост происходит с начального момента с=0).

В таблице 14 представлена вспомогательная таблица для определения параметров логистической функции.

Порядок расчета.

1. Исходная логистическая функция y = А/(1+10^a⁺^b^*^x) + C.

2. Преобразуем и логарифмируем функцию:

lg (A/y-1) = a + b*x.

3. Для применения метода наименьших квадратов записываем функцию в линейном виде:

lg (A/y-1) = Z → Z = a + b*x.

4. Используя данные вспомогательной таблицы …. Рассчитаем ∑х, ∑х², ∑z, ∑х*z.

5. Записываем систему нормальных уравнений.

n*a + b*∑х = ∑z , (48)

a*∑х + b*∑х² = ∑х*z , (49)

12*a + 176*b = -3,9509 / 12

176*a + 3034*b = -119,0845 / 176 → (49) – (48).

6. Вычисляем значения коэффициентов:

а = 1,6523; b = -0,1351.

Таблица 14 - Вспомогательная таблица расчета регрессии роста листа в длину (у) по дням наблюдений (х) уравнением логистической функции (у_выр)

Эмпирические данные (А=263, n=12)
X	X²	Y	A/Y	A/Y-1	Lg(A/Y-1)=Z	X*Z
0	-	0	-	-	-	-
6	36	32	8,2188	7,2188	0,8584	5,1504
8	64	50	5,2600	4,2600	0,6294	5,0352
9	81	70	3,7571	2,7571	0,4404	3,9636
10	100	85	3,0941	2,0941	0,3209	3,2090
11	121	105	2,5048	1,5048	0,1775	1,9525
12	144	132	1,9924	0,9924	-0,0033	-0,0396
15	225	185	1,4216	0,4216	-0,3751	-5,6265
17	289	216	1,2176	0,2176	-0,6623	-11,2591
19	361	237	1,1097	0,1097	-0,9597	-18,2343
20	400	242	1,0868	0,0868	-1,0615	-21,2300
22	484	255	1,0314	0,0314	-1,5031	-33,0682
27	729	259	1,0154	0,0154	-1,8125	-48,9375
30	-	263	-	-	-	-
176	3034	-	-		-3,9509	-119,0845

7. Табулируем логистическую функцию вида:

У = 263/(1+10^{1,6523-0,1351*х}).

Функция Гомпертца. Общий вид функции следующий:

У = А/10¹⁰^a⁺^b^*^x) + C, (50)

где у - числовое значение ростового признака;

А - расстояние между нижней и верхней асимптотами (конечный размер биологического объекта);

Х - время, прошедшее с начала роста;

а, b, – константы уравнения, определяющие наклон, изгиб и точку перегиба кривой;

В таблице 15 представлена вспомогательная таблица расчета регрессии роста листа в длину (у) по дням наблюдений (х) уравнением функции Гомпертца (у_выр).

Таблица 15 - Вспомогательная таблица расчета регрессии роста листа в длину (у) по дням наблюдений (х) уравнением функции Гомпертца (у_выр)

Эмпирические данные (А=263, n=12)
X	X²	Y	A/Y	lgA/Y	lg lg(A/Y=Z	X*Z	у_выр
13	-	0	-	-	-	-	0,3
18	324	4,0	60,6250	1,7826	0,2511	4,5198	3,1
22	484	8,0	30,3125	1,4815	0,1707	3,7554	10,5
26	676	20,0	12,1250	1,0837	0,0350	0,9100	25,5
39	1521	128,0	1,8945	0,2775	-0,5567	-21,7113	112,6
53	2809	183,5	1,3215	0,1210	-0,9172	-48,6116	190,6
67	4489	227,5	1,0659	0,0278	-1,5560	-104,2520	225,0
86	7396	238,5	1,0168	0,0073	-2,1367	-183,7562	238,7
99	-	242,5	-	-	-	-	241,1
311	17699				-4,7098	-349,1459	-

Порядок расчета.

8. Исходная функция Гомпертца y = А/10¹⁰^a⁺^b^*^x

9. Преобразуем и логарифмируем функцию:

lg lg A/y = a + b*x.

10. Для применения метода наименьших квадратов записываем функцию в линейном виде:

lg lg A/y = Z → Z = a + b*x.

11. Используя данные вспомогательной таблицы ….рассчитаем ∑х, ∑х², ∑z, ∑х*z.

12. Записываем систему нормальных уравнений.

n*a + b*∑х = ∑z , (51)

a*∑х + b*∑х² = ∑х*z , (52)

7*a + 311*b = -4,7098 / 12

311*a + 17699*b = -349,1459 / 311 → (11) – (10).

13. Вычисляем значения коэффициентов:

а = 0,9266; b = -0,0360.

14. Табулируем функцию Гомпертца вида:

У = 242,5/10^{10 0,9266-0,0360*х}.

Задание. Выполнить расчёт коэффициентов функции Гомпертца для связей H=f(А), D=f(А), ΣG=f(A), M=f(A) по заданию преподавателя. В отчёте сформулировать биологический вывод.

Лабораторная работа

(2 часа)

Критерии согласия. Критерий χ²

Цель работы. Изучить возможности применения критериев согласия.

Задачи работы:

- Вычислить критерий χ².

- Ограничение использования критерия χ².

По данным [1,4], анализируя форму распределения, исследователь обычно оценивает степень соответствия исходного эмпирического вариационного ряда теоретическому (модельному) распределению. Обычно задача сводиться к оценке различий теоретических и эмпирических рядов частот.

При аппроксимации распределений выборочное распределение всегда отличается от распределения, полученного по выбранной теоретической схеме в силу одной из двух причин [1]:

- теоретическое распределение подобрано неверно;

- закон распределения выбран правильно, и расхождения объясняются ограниченным объемом выборки, то есть случайными причинами.

Критерии, позволяющие дать вероятностную оценку величине расхождений, то есть оценить гипотезу о соответствии выборочного ряда определенному закону распределения, называют критериями согласия.

Критерий χ². Одним из таких критериев является χ², широко используемый в биометрии, и предложенный Пирсоном в 1901 г. Он рассчитывается по формуле:

χ² = Σ , (53)

где n_i – частота эмпирическая, шт;

n_i^, - частота теоретическая (нормальное распределение), шт.

Порядок расчета критерия согласия χ² между эмпирическим и теоретическим распределением деревьев сосны по диаметру на высоте груди, представлен в таблице 16 [12].

На основе таблицы Приложения В с учетом числа степеней свободы (ν=К-3) и уровне доверительной вероятности (0,954) устанавливаем стандартное значение χ²_ст = 12,6 при ν=6 и р=0,954. Поскольку χ²_р< χ²_ст делается вывод, что расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами носит случайный характер, то есть эмпирическое распределение соответствует теоретическому строению.

Для данного критерия существует ряд ограничений [1,2]:

- объем выборки должен быть не менее 30 шт;

- частоты должны иметь абсолютные значения;

- частота теоретического класса должна быть не менее единицы, в иных случаях классы объединяются (при ν=3-6).

Таблица 16 – Оценка различий между эмпирическим и теоретическим распределением

Х_i , см	Частота		n_i- n^,_i	(n_i- n^,_i)²	(n_i- n^,_i)²/ n^,_i
Х_i , см	эмпирическая, n_i	теоретическая, n^,_i	n_i- n^,_i	(n_i- n^,_i)²	(n_i- n^,_i)²/ n^,_i
12	1	0,98	0,02	0,0004	0,0004
16	5	4,11	0,89	0,7921	0,1927
20	12	11,22	0,78	0,6084	0,0542
24	17	20,74	-3,74	13,9876	0,6744
28	28	25,45	2,55	6,5025	0,2555
32	20	20,74	-0,74	0,5476	0,0264
36	12	11,22	0,78	0,6084	0,0542
40	4	4,11	-0,11	0,0121	0,0029
44	1	0,98	0,02	0,0004	0,0004
Σ	100	99,55			1,2611

Задание. Определить соответствие эмпирического и теоретического ряда по заданию преподавателя на основе критерия Пирсона.

Лабораторная работа

(2 часа)

Критерий λ (лямбда)

Цель работы. Изучить возможности применения критерия согласия.

Задачи работы:

- Вычислить критерий λ.

- Ограничение использования критерия λ.

Оценку расхождений между эмпирическими и теоретическими частотами вариационного ряда можно провести с помощью критерия А.Н. Колмогорова - Н.В. Смирнова [12]. Он представляет собой максимальную разность (d_max) между значениями накопленных эмпирических и теоретических частот вычисленных рядов (без учета знаков разности), отнесенную к корню квадратному из суммы всех вариант совокупности:

Λ = = , (54).

Расчет для исходного примера приведен в таблице 17.

Λ = .

Критические (стандартные) значения критерия Λ следующие Λ=1,36 при р=0,954.

Сравнивая Λ_р<Λ_ст, делаем вывод о соответствии исходного распределения теоретическому, поскольку Λ_max=0,2 < 1,36. Делаем вывод о несущественности различия.

Таблица 17 – Расчет критерия Λ

Х_i , см	Частота		Накопленная частота		Разница d_max
Х_i , см	n_i	n^,_i	Σn_i	Σn^,_i	Разница d_max
12	1	1	1	1	0
16	5	4	6	5	1
20	12	11	18	16	2
24	17	21	35	37	2
28	28	26	63	63	0
32	20	21	83	84	1
36	12	11	95	95	0
40	4	4	99	99	0
44	1	1	100	100	0
Σ	100	100

Если два эмпирических распределения имеют различное количество классов и объем совокупности, то согласие рассчитывается по следующей формуле:

Λ = ( )_max * , (55)

Σn₁, Σn₂ – накопленные частоты первого и второго ряда;

n₁, n₂ – объемы первого и второго ряда.

Задание. Сравнить эмпирическое и теоретическое распределение по критерию Λ с одинаковым и разным объемом совокупности. Оценить исходный ряд на «нормальность».

Данные критерии очень чувствительны, если распределение не соответствует симметричному. Поэтому предварительно необходимо проверить ряды на «нормальность». Элементарной проверкой могут являться соотношения и .

σ_А= , (56)

σ_Е= , (57)

Библиографический список

1. Никитин, К.Е. Методы и техника обработки лесоводственой информации / К.Е. Никитин, А.З. Швиденко.- Москва: лесн. пром-ть. – 1978. -272 с.

2. Терентьев, П.В. Практикум по биометрии: учебное пособие / П.В. Терентьев, Н.С. Ростова. - Ленинград: ЛГУ, - 1977.- 152 с.

3. Лакин, Г.Ф. Биометрия: учебное пособие / Г.Ф. Лакин. – М: ВШ.-1973.- 343 с.

4. Зайцев, Г.Н. Математическая статистика в экспериментальной ботанике / Г.Н. Зайцев. – М: Наука, 1984.- 420 с.

5. Пузаченко, Ю.Г. Математические методы в экологических и географических исследованиях: учебное пособие / Ю.Г. Пузаченко. – М.: Академия, 2004. - 415 с.

6. Павлов, Н.В. Математические методы и модели в расчётах на ЭВМ: методические указания / Н.В. Павлов, А.С. Смольянов. – Красноярск: СТИ . – 1991.- 24 с.

7. Боровиков, В. Statistica искусство анализа данных на компьютере. Для профессионалов / В. Боровиков. СПб.: Питер, 2001.- 656 с.

8. Ганина, Н.В. Распределение деревьев по диаметру с помощью функции Вейбулла // Лесоведение - №2. – 1984. - с. 65-70.

9. Карманова, И.В. Пространственная структура сложных сосняков : монография/И.В. Карманова, Т.Н. Судницына, Н.А. Ильина. - М.: Наука, 1987.- 199 с.

10. Гниденко, Б.В. Математические методы в теории надёжности / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляева, А.Д. Соловьёв. – М.: Наука, 1965.- 524 с.

11.Фалалеев, Э.Н. Математическая статистика: учебное пособие / Э.Н. Фалалеев, А.С. Смольянов.- Красноярск: КГУ, 1981.- 128 с.

12. Сковородин, В.Я. Статистические модели надёжности технических систем: методические указания / В.Я. Сковородин.- СПб.: СПб ГАУ 2010.- 23 с.

13. Каплунов, В.Я. Прогнозирование строения древостоя по диаметру //Лесоведение - 1989.- №3.- с.10-14.

14. Маслаков, Е.Л. [и др.]. Исследование роста лесных культур: Методические указания /Е.Л. Маслаков [и др.]. - Ленинград: ЛенИИЛХ, 1978.-70 с.

15. Черных В.Л. Информационные технологии в лесном хозяйстве: учебное пособие / В.Л. Черных, В.В. Сысуев. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 2000. – 378 с.

16. Шмидт В.М. Математические методы в ботанике: учебное пособие. – Л.: ЛГУ, 1984. – 288 с.

Содержание

Введение ………………………………………………………………… 2

Лабораторная работа Статистические оценки ………………………. 3

Лабораторная работа Анализ многовершинных распределений ….. 5

Лабораторная работа Коэффициенты сходства видового состава …. 8

Лабораторная работа Основные типы распределений, используемые

в лесном деле ……………………………………10

Лабораторная работа Анализ распределения ………………………. 14

Лабораторная работа Нормальное распределение ………………… 16

Лабораторная работа Распределение Максвелла ………………….. 20

Лабораторная работа Распределение Рэлея ………………………... 23

Лабораторная работа Показательное распределение ……………… 25

Лабораторная работа Распределение Грама-Шарлье А …………… 27

Лабораторная работа Гамма-распределение ……………………….. 29

Лабораторная работа Распределение Вейбулла …………………… 31

Лабораторная работа Функции роста ………………………………. 36

Лабораторная работа Экспоненциальное сглаживание ……………. 39

Лабораторная работа Аллометрическая функция ………………….. 41

Лабораторная работа Логистическая функция ……………………... 44

Лабораторная работа Функция Митчерлиха ………………………. 46

Лабораторная работа Математический анализ роста ……………… 48

Лабораторная работа Критерий согласия. Критерий χ² …………… 53

Лабораторная работа Критерий λ …………………………………... 56

Библиографический список ………………………………………… 58

Приложение А. Исходные данные для моделирования строения

древостоев ………………………………………….. 61

Приложение Б. Ординаты кривой нормального распределения … 67

Приложение В. Стандартные значения χ² ………………………….. 69

Приложение А

(обязательное)

Исходные данные для моделирования строения древостоев (диаметры стволов по годам измерения)

1 9 6 3 г о д з а м е р а с о с н ы	№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	d_1.3	4,5	11,1	17,8	8,8	9,8	8,6	5,6	5,2	5,0	9,4	6,8
	№	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
	d_1.3	7,1	5,5	7,0	5,1	6,2	6,7	8,6	7,1	7,6	7,3	13,2
	№	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
	d_1.3	7,0	12,1	9,8	15,6	7,6	13,8	4,1	17,6	10,1	14,0	12,6
	№	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44
	d_1.3	7,6	5,4	10,8	18,3	12,5	8,0	11,3	10,1	16,8	12,8	11,9
	№	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55
	d_1.3	8,6	16,4	6,6	19,6	10,5	7,8	11,6	7,5	7,6	15,5	10,6
	№	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66
	d_1.3	18,1	16,6	11,1	11,2	11,7	16,9	15,9	7,1	8,4	13,3	14,4
	№	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77
	d_1.3	10,0	8,1	12,7	20,6	9,9	10,1	6,4	7,8	20,1	7,4	10,7
	№	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88
	d_1.3	7,6	8,1	16,8	8,6	8,9	8,1	18,1	9,2	8,4	12,5	7,3
	№	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
	d_1.3	6,3	12,9	7,6	12,0	8,5	4,6	7,5	12,5	5,9	7,5	6,1
	№	100
	d_1.3	6,4

Продолжение Приложения А

1 9 9 7 г о д з а м е р а с о с н ы	№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	d_1.3	12,4	9,8	16,0	15,4	11,6	21,9	4,2	16,8	30,6	11,4	18,1
	№	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
	d_1.3	21,0	8,2	27,4	15,5	15,2	24,9	28,8	23,7	13,3	24,5	21,9
	№	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
	d_1.3	16,9	16,4	13,8	29,5	11,9	29,0	25,1	17,8	23,1	24,6	19,3
	№	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44
	d_1.3	13,3	18,1	17,9	21,1	22,0	17,8	25,0	25,0	16,1	16,7	26,9
	№	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55
	d_1.3	11,1	30,1	16,6	18,6	18,4	30,0	16,3	30,5	10,9	20,5	23,2
	№	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66
	d_1.3	18,5	21,8	19,0	7,5	24,6	8,8	13,0	15,2	17,1	22,7	12,4
	№	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77
	d_1.3	18,0	25,4	18,4	17,2	13,0	13,4	18,9	14,0	26,4	22,9	10,6
	№	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88
	d_1.3	17,2	17,4	27,9	17,7	27,7	22,6	17,7	12,5	13,5	22,5	10,3
	№	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
	d_1.3	27,2	19,8	17,3	14,4	18,6	19,4	21,4	32,3	17,2	7,0	12,9
	№	100
	d_1.3	22,0

Продолжение Приложения А

1 9 9 0 г о д з а м е р а с о с н ы	№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	d_1.3	12,4	9,8	15,8	14,9	11,6	20,7	4,5	16,3	27,0	11,2	17,6
	№	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
	d_1.3	18,8	8,4	24,8	15,4	15,1	12,5	26,6	21,7	12,9	22,6	21,0
	№	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
	d_1.3	16,2	16,0	11,7	26,8	22,6	15,7	21,4	22,5	18,4	17,2	16,7
	№	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44
	d_1.3	20,0	20,1	17,0	23,1	23,6	15,7	16,4	24,2	11,0	27,5	16,2
	№	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55
	d_1.3	17,4	18,3	27,4	16,0	27,9	10,6	23,0	16,9	19,5	13,5	7,2
	№	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66
	d_1.3	22,2	8,5	12,2	14,9	15,6	21,1	12,4	16,8	23,0	17,3	16,5
	№	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77
	d_1.3	12,6	13,2	18,1	13,8	24,7	10,3	17,1	16,7	24,5	16,8	24,9
	№	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88
	d_1.3	20,4	12,2	13,3	21,0	16,2	16,0	14,2	17,7	19,4	29,1	16,5
	№	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
	d_1.3	13,0	19,6	20,4	29,1	13,3	21,4	20,1	19,3	17,1	16,1	9,9
	№	100
	d_1.3	19,5

Продолжение Приложения А

1 9 8 4 г о д з а м е р а с о с н ы	№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	d_1.3	12,1	9,6	15,8	14,3	11,3	19,1	15,7	24,7	11,2	16,3	17,4
	№	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
	d_1.3	8,0	23,0	14,8	17,5	24,6	20,0	12,5	21,4	19,7	15,8	16,0
	№	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
	d_1.3	13,8	25,3	11,6	22,9	21,8	22,1	23,3	19,4	18,8	16,1	18,3
	№	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44
	d_1.3	19,3	21,5	19,9	18,0	24,1	22,8	20,1	18,3	10,6	23,0	18,8
	№	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55
	d_1.3	19,3	20,5	14,7	21,3	23,1	19,0	19,8	14,2	15,6	19,9	22,2
	№	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66
	d_1.3	14,6	17,6	19,8	24,5	17,8	23,5	21,5	16,8	21,5	23,9	21,5
	№	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77
	d_1.3	21,1	20,3	21,1	23,0	16,0	15,0	20,6	20,7	23,3	14,8	21,2
	№	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88
	d_1.3	19,7	16,8	17,5	20,7	22,3	13,1	17,0	20,1	19,1	15,0	22,8
	№	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
	d_1.3	24,5	15,8	15,0	17,7	19,8	18,8	21,4	21,2	19,0	18,6	18,5
	№	100
	d_1.3	24,0

Продолжение Приложения А

1 9 7 7 г о д з а м е р а с о с н ы	№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	d_1.3	12,0	9,7	15,8	13,9	17,9	15,2	22,0	11,1	16,0	15,5	8,1
	№	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
	d_1.3	22,5	14,0	14,5	12,6	18,5	11,7	20,5	18,9	15,1	15,6	13,7
	№	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
	d_1.3	23,6	11,3	18,0	18,5	18,9	16,4	12,5	16,3	15,3	17,3	18,2
	№	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44
	d_1.3	15,8	20,8	15,3	15,8	19,9	24,1	15,5	15,5	17,8	23,8	24,4
	№	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55
	d_1.3	10,4	16,3	18,5	14,5	16,2	12,5	7,0	18,2	14,2	13,5	18,1
	№	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66
	d_1.3	12,0	15,0	18,7	15,3	15,0	11,7	13,1	12,2	23,2	9,8	16,1
	№	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77
	d_1.3	15,4	21,3	14,9	21,8	18,0	12,1	18,1	22,7	16,1	14,3	13,2
	№	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88
	d_1.3	14,7	15,2	16,6	25,6	15,8	12,5	16,7	17,3	25,2	13,5	18,8
	№	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
	d_1.3	18,3	16,2	14,9	17,0	22,3	19,5	12,0	16,1	12,7	8,4	14,7
	№	100
	d_1.3	22,3

Окончание Приложения А

1 9 7 7 г о д з а м е р а с о с н ы	№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	d_1.3	9,5	14,3	13,1	10,4	16,4	40,2	14,4	19,3	10,6	15,0	13,8
	№	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
	d_1.3	8,2	19,5	13,0	13,8	11,3	21,0	16,6	11,7	18,9	17,6	14,2
	№	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
	d_1.3	14,9	13,2	22,3	10,7	19,9	16,6	17,4	17,3	15,3	12,5	15,2
	№	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44
	d_1.3	14,2	16,1	16,7	14,5	19,5	14,7	15,1	17,5	15,0	14,2	14,2
	№	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55
	d_1.3	22,0	14,3	10,1	16,7	13,2	14,9	12,2	6,8	16,6	13,2	13,3
	№	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66
	d_1.3	16,5	11,6	13,6	16,9	14,0	14,0	11,0	12,5	14,6	11,5	21,7
	№	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77
	d_1.3	10,4	15,5	14,5	19,4	14,0	20,2	16,6	12,0	16,6	21,3	15,2
	№	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88
	d_1.3	13,7	12,3	13,7	15,7	23,6	15,0	12,2	15,5	16,2	23,5	13,1
	№	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
	d_1.3	17,2	17,0	14,1	15,3	14,2	16,0	20,9	17,3	11,4	15,0	11,9
	№	100
	d_1.3	8,4

Приложение Б

(обязательное)

Ординаты кривой нормального распределения

Це- лая часть	Сотые доли
Це- лая часть	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0,0	3989	3989	3989	3989	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0388	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180

Продолжение Приложения Б

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	008	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001
4,0	0001	0001	0001	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000

Приложение В

(обязательное)

Стандартные значения критерия χ²

Степень свободы	Уровень вероятности			Степень свободы	Уровень вероятности
Степень свободы	0,95	0,99	0,999	Степень свободы	0,95	0,99	0,999
1	3,8	6,6	10,8	23	35,2	41,6	49,7
2	6,0	9,2	13,8	24	36,4	43,0	51,2
3	7,8	11,3	16,3	25	37,7	44,3	52,6
4	9,5	13,3	18,5	26	38,9	45,6	54,1
5	11,1	15,1	20,5	27	40,1	47,0	55,5
6	12,6	16,8	22,5	28	41,3	48,3	56,9
7	14,1	18,5	24,3	29	42,6	49,6	58,3
8	15,5	20,1	26,1	30	43,8	50,9	59,7
9	16,9	21,7	27,9	32	46,2	53,5	62,4
10	18,3	23,2	29,6	34	48,6	56,0	65,2
11	19,7	24,7	31,3	36	51,0	58,6	67,9
12	21,0	26,2	32,9	38	53,4	61,1	70,7
13	22,4	27,7	34,5	40	55,8	63,7	73,4
14	23,7	29,1	36,1	42	58,1	66,2	76,1
15	25,0	30,6	37,7	44	60,5	68,7	78,7
16	26,3	32,0	39,3	46	62,8	71,2	81,4
17	27,6	33,4	40,8	48	65,2	73,7	84,0
18	28,9	34,8	42,3	50	67,5	76,2	86,7
19	30,1	36,3	43,8	55	73,3	82,3	93,2
20	31,4	37,6	45,3	60	79,1	88,4	99,6
21	32,7	38,9	46,8	65	84,8	94,4	106,0
22	33,9	40,3	48,3	70	90,5	100,4	112,3

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 449; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 23

Мы поможем в написании ваших работ!