ОДМ. Плотность распр-я случ. величины и ее св-ва
Плотность распр-я не явл. универс. хар-кой случ. величины, она сущ. только для непрерывн. случ. величин и опр. как производная от функ-и распр-я
наз. также дифференц. Функ-ей распр-я или диф. З-ном распр-явеличины Х.
Функ-я рапр-я может быть выражена через плотность
Кривая, изобр. Плотность распр-я случ.величины наз. кривой распр-я.
Площадь под этой кривой,лежащая левее вертикали, проведенной через точку Х, равна знач-ю функ-и F(X)
Cвойства плотности распр-я:
1. плотность распр-я есть неотриц. функ-я f(x)>0 . Это св-во следует из того, что функ-я распр-я F(X) есть неубыв. ф-цией.
2. интеграл в бесконечных пределах от плотности распр-я =1 это следует из того, что F(+ )=1. Геом. Осн. Св-ва плотности распр-я означ. , что :
1. всякривая распределения лежит не ниже оси абсцисс
2. полная площадь, ограниченная кривой распр-я и осью абсцисс равна 1.
Геом. Вер-ть, попадания вел. Х на участкок ( ) равна площади под кривой распре-я, опирающейся на этот участок.
22. ОДМ. Числовые хар-ки случ. величины: матожидание, мода, медиана Среди числовых хар-к случайных величин прежде всего отвечают те, кот-е определяют положение случайной величины на числовой оси,т.е. указывают некот-е ориентировочное значение около кот-го группируются все возможные значения случайной величины.Из хар-к положения важную роль играет мат. ожидание.Рассмотрим дискретную случайную величину , кот-я в рез-те опыта приняла знач-е Х1,Х2,..,Хn с вероятностями р1,р2,…,рn. Требуется охаракт. Каким-то числом положение случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти знач-я имеют разные вероятности. Для этой цели можно воспользоваться средним взвешенным, т.е. каждое знач-е Хi при осреднении должно учитываться с весом пропорциональным его вер-ти:
|
|
Это среднее взвешенное знач-е и называется мат. Ожиданием случайной величины М[Х].
Мат. ожидание связано со средним арифметическим.При большом числе наблюд. знач-й случайной величины приближается(сходиться) по вертикале к ее мат. ожиданию,т.о. среднее арифм. знач-е явл. статической оценкой мат. ожидания. Пусть производиться N независ. опытов, в каждом из кот-х случайная величина Х принимает опред. знач-е при чем знач-е Х1 m1 раз, Х2 m2 раз и т.д. Очевидно, что сумма по m :
Среднее арифметическое наблюд. знач-й случайной величины произведение всех знач-й случайной величины на их частоты.
При увеличении числа опытов N частоты р* будут приближаться к соотв. вер-тям, среднее ариф. наблюдаемых знач-й случайной величиныпри уменьшении числа опытов будет приближаться к ее мат. ожиданию.
Выражение (*) было получено для дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины мат. ожидание определяется интегралом:
|
|
где f(x)-плотность распределения величины Х.
Кроме мат. ожидания применяют и др. хар-ки положения, например, мода и медиана. Модой дискретной случайной величины наз. ее наиболее вероятное знач-е, для непрерывной случайной величины модой явл. то знач-е, в кот-м плотность вер-тей максимальна. Если кривая распределения имеет более одного максимума, то такое распределение наз. полимодальным.
Иногда встречаются распределения не максимальным, минимальным, такие распределения наз. антимодальными. Мода и мат. ожидания не совпадают, однако в случае симметричного распр-я мат. ожидание,если оно существует, оно совпадает с модой, если она существует, и центром симметричного распр-я. Медианой случайной величины Х наз. такое ее знач-е, для кот-го одинаково вероятно окажется ли случайная величина больше или меньше медианы.
Геометрическая медиана- это абсцисса точки, вертикаль, проведенная через кот-ю, делит площадь, ограниченную кривой распред-я пополам.
В случае симметричного модального распред-я
медиана совпадает с модой и мат. ожиданием.
Для описания основных св-в случ величины применяют моменты 2-х видов:начальные и центральные. Начальным мометом порядка k дискретной случайной величины Х
|
|
наз. сумма вида :
.
23.ОДМ. Начальные моменты случ. величины Для непрерывной случайной величины Х k-начальный момент задается интервалом
Основная хар-ка положения мат. ожидания
Представляет 1 начальный момент случайной величины. Пользуясь знаком мат. ожидания можно определить формулы, для дискретных и непрерывных случайных величин и записать общее опред-е начального момента k-го порядка
Т.е. начальный момент k-го порядка случайной величины Х наз. мат. ожиданием k-степени этой случайной величины.
24. ОДМ. Центральные моменты случ.величины Вводим назв-е центрируемой величины Х с ожиданием mx .
Центрируемой случ. величиной наз. отклонение Х от ее мат. ожидания.
Центр. моментом порядка k величины Х наз. мат. ожидание k-й степени соотв. центрирующей случайной величины
Для дискр. случ. величины:
Для непрерывн. случ. величины:
Мат. ожидание центр. случ. величины-это центр. момент 1 порядка и =0.
Второй центр. момент-дисперсия случ. величины:
Д[Х]=M[ ]
Дисперсия-это мат. ожидание квадрата центр. случ. величины.
|
|
Дисперсия-хар-ка рассеивания.
Дисперсия случ. величины имеет знач-е квадрата случ. величины, но удобней пользоваться величиной, размерность кот-й совпадает с размерностью величины Х. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина наз. средним квадратическим отклонением и обозначается .
25.ОДМ. Понятие эксцесса и скошенности Для хар-ки ассиметрии, скошенности распр-я служит 3 ценр. момент. Если распределение симметрично отн. мат. ожидания, то все моменты нечетного порядка, если они сущ., то они =0. Поэтому в качестве хар-ки ассиметрии распред-я выбирают нечент. момент. Полученная величина носит название коэффициента ассиметрии, обозначается
Хар-кой крутости или остро- или плосковершинности распр-я служит 4 ценр. момент. Для получения безразмерной хар-ки вводят понятие эксцесса.
Эксцессом случ. величины Х наз. соотн-е
Число 3 вычитается потому что для широкораспростр. Нормального з-на , кривые более островершинные по сравнению с норм. обладают положит. эксцессом, а кривые более плосковершинные по сравнению с норм. обладают положит. эксцессом.
26. ОДМ. Соотношение между начальными и центральными моментами различных порядков Выведем соотн-е между молекулами на дискретные случ. величины; аналогичное соотн-е справедливо и для непрерывных случ. величин , если заменить сумму интегралом, а вер-ти элементами вер-ти.
Для 2 центр. момента:
Для центр. момента 3 порядка:
Аналогично можно получить моменты для более высоких порядков.
27. ОДМ. Теоремы о числовых хар-ках: матожидание и дисперсия случ. величины;вынесение неслуч. Величины за знак матожидания и дисперсии Математ. ожидание неслучайной величины С равно самой неслучайной величине. М[C] = C.
Док-во: если рассм. неслучайную величину как частный вид случайной с одним возможным знач-ем вер-ть кот-го 1, то по опред-ю имеем М[C]=C*1=C
Дисперсия случайной величины равна 0. Д[C]=0
Док-во:
Неслучайную величину С можно вынести за знак мат. ожидания.
Неслучайную величину С можно вынести за знак дисперсии.
Можно вынести за знак дисперсии возводя ее в квадрат.
28. ОДМ. Теорема о матожидании суммы случ. величин Мат. ожидание суммы 2-х случайных величин равно сумме их мат. ожиданий (не обязательно 2 случ. величины, можно и больше)
М[X + Y]= M[X]+M[Y]
29.ОДМ. Теорема о матожидании линейной функ-и, теорема о дисперсии линейной функ-и независимых случ. величин Мат. ожидание линейной функции нескольких случ. элементов Хi равно той же линейной функции от мат. ожиданий аргументов.
Док-во: пользуясь теоремой сложения мат. ожиданий и правилом вынесения мат. величины за знак мат. ожидания, получим:
Дисперсия 2случ. величин = сумме их дисперсий + удвоенный корреляционный момент
Где КXY - корреляционный, т.е. 1-й смешанный центр. момент случ. величин X, Y ? опред. из выр-я:
Фор-ла для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых. При этом если все случ.величины в сумме некоррелированы, дисперсия суммы = сумме дисперсий
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 123; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!