Решение системы линейных уравнений
Решение линейной системы АХ=В, где А – матрица коэффициентов, В – вектор-столбец свободных членов, Х – вектор-столбец неизвестных, имеет вид X=A-1B, где A-1 – матрица, обратная к матрице А. Это вытекает из того, что при решении матричных уравнений при Х должна остаться единичная матрица Е. Умножая слева обе части уравнения АХ=В на A-1, получаем решение линейной системы уравнений.
Упражнение 6. Найти решение системы линейных уравнений A2X = B, значения соответствующих матрицы и вектора-столбца имеют вид:
Для решения системы линейных уравнений:
1. Значения матрицы А поместить в ячейки А4:В5 (рис.4.12), а значения столбца свободных членов – в ячейки D 4: D 5.
2. Выделить диапазон A 8: B 9, в ячейку A 8 ввести формулу:
=МУМНОЖ(A4:B5;A4:B5)
Установить указатель мыши в строку формул и нажать одновременно клавиши Ctrl + Shift + Enter.
3. Выделить диапазон D 8: E 9, в ячейку D 8 ввести: =МОБР(A8:B9)
Установить указатель мыши в строку формул и нажать Ctrl + Shift + Enter.
4. Для получения результатов решения системы линейных уравнений следует перемножить полученную матрицу A-2 и столбец свободных членов В. Для этого выделяется диапазон A 12: A 13, в котором столько же строк, сколько в первой матрице A-2 и столбцов, сколько во второй матрице В. В ячейку А12 ввести формулу: =МУМНОЖ(D8:E9;D4:D5). Установить указатель мыши в строку формул и нажать Ctrl + Shift + Enter.
Рис.4.12 Решение системы линейных уравнений
Нахождение корней уравнения
|
|
|
В общем виде уравнение n -ой степени выглядит следующим образом:
,
где n – некоторое положительное число, a0,…,an – произвольные комплексные числа, причём старший коэффициент a0 должен быть не равен нулю.
Выражение f(x) называется многочленом (полиномом) n– ой степени от неизвестного x. Если при некотором x = x0 выполняется равенство f(x)=0, то x0 называется корнем многочлена f(x). Действительными корнями многочлена будут абсциссы точек пересечения его графика с осью X и только они.Число положительных корней многочлена равно числу перемен знаков в системе коэффициентов этого многочлена (коэффициенты, равные нулю не учитываются) или меньше этого числа на чётное число. Число отрицательных корней многочлена равно числу сохранения знаков в системе коэффициентов этого многочлена или меньше этого числа на чётное число (теоремы Декарта и Бюдана–Фурье). Чтобы найти корни уравнений произвольной степени в MS Excel надо:
1. Произвести табулирование заданной функции на некотором интервале с целью выявления (локализации) корней уравнения (перемена знака в значении функции).
2. После локализации корней установить предельное число итераций и погрешность для вычисления корней (выполнить команду Сервис→Параметры и установить необходимые опции на вкладке Вычисления). Для версии Excel 2007 и выше вызвать системное меню кнопкой 
выбрать кнопку Параметры Excel и выполнить команду Формулы→Параметры вычислений.
|
|
|
3. Выполнить вычисление корней уравнения с использованием средства Подбор параметра (выполнить команду Сервис→Подбор параметра). Для версии Excel 2007 и выше на вкладке Данные нажать кнопку 
и выбрать команду Подбор параметра.
4. Построить график исследуемой функции.
Упражнение 7. Найти все корни уравнения:
x5 + 2x4 + 5x3 + 8x2 – 7x – 3 = 0
Рис.4.13 Вычисление корней многочлена
1. На отрезке [–10;10] выполнить приближённое табулирование функции f(x) = x5 + 2x4 + 5x3 + 8x2 – 7x – 3 = 0. Для этого в ячейки А9:А29 ввести аргумент функции – значения отрезка [–10;10] с шагом 1. В ячейку В9 записать формулу = A $5* A 9^5+ B $5* A 9^4+ C $5* A 9^3+ D $5* A 9^2+ E $5* A 9+ F $5 и скопировать значение на весь диапазон табулирования В9:В29 (рис.4.13).
2. Определить по результатам вычислений, что значение функции f(x) меняет знак на отрезке [–3;1]. Для более точного табулирования функции на заданном отрезке в ячейки D 9: D 49 ввести аргумент функции f(x) – значение отрезка [-3;1] с шагом 0,1. Затем в ячейку E 9 записать формулу:
|
|
|
=A$5*D9^5+B$5*D9^4+C$5*D9^3+D$5*D9^2+E$5*D9+F$5
и вычислить значение функции f(x) всем диапазоне. Результаты точного табулирования функции дают 3 изменения знака на отрезке [-3;1], что свидетельствует о наличии корней уравнения f(x)=0.
3. Для вычисления 1 корня поместить указатель в ячейку D 18 (либо D 19) и выполнить команду Сервис→Подбор параметра (рис.4.14). Получается 1 корень уравнения: x1=–2,07299558373219.
Рис.4.14 Окно средства Подбор параметра
4. аналогично получить оставшиеся корни: 
, 
Дата добавления: 2020-01-07; просмотров: 159; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!