Метод перевода целых чисел делением на новое основание
Метод позволяет переводить целые конечные числа из десятичной системы счисления в 
-ю.
Число в -й системе счисления число 
может быть представлено в виде
Для перевода числа в -ю систему счисления необходимо найти коэффициенты 
, которые представляют собой числа от 0 до .
Разделим в целых числах (с остатком) число на основание системы счисления . Остатком от такого деления будет число 
, поскольку все другие составляющие выражения кратны . На следующем шаге частное, получившееся при делении, снова необходимо разделить на основание системы счисления . Получившийся при этом остаток будет равен 
. Последовательно выполняя процедуру деления, можно определить все коэффициенты 
. Все арифметические действия должны производиться по правилам исходной системы счисления (то есть десятичной).
Пример 6.3: Задано конечное число в десятичной системе счисления 
. Требуется представить его в системе счисления с основанием 
, используя метод перевода целых чисел делением на новое основание.
Процедура деления представлена на рисунке 6.4.
| 198 | 2 | |||||||||||||
| - 198 | 99 | 2 | ||||||||||||
| 0 | - 98 | 49 | 2 | |||||||||||
| 1 | - 48 | 24 | 2 | |||||||||||
| 1 | - 24 | 12 | 2 | |||||||||||
| 0 | - 12 | 6 | 2 | |||||||||||
| 0 | - 6 | 3 | 2 | |||||||||||
| 0 | - 2 | 1 | ||||||||||||
| 1 | ||||||||||||||
| œ | œ | œ | œ | œ | œ | œ | œ | |||||||
|
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
Рис. 6.4. Метод перевода делением на новое основание р
|
|
|
Запишем разряды полученного числа в порядке убывания:
.
Метод перевода правильных дробей путем умножения на новое основание
Дробную часть числа в системе счисления с основанием можно представить в виде суммы
(5.5)
Для перевода числа в -ю систему счисления необходимо найти коэффициенты 
, которые представляют собой числа от 0 до .
Выражение (6.5) может быть разложено по схеме Горнера
(6.6)
Если последовательно умножать выражение (6.6) на основание системы счисления , то в первом разряде целой части получаемого числа (то есть перед весовым коэффициентом 
) будут по очереди находиться коэффициенты . Последовательно записывая эти коэффициенты, можно составить число 
. Все арифметические действия должны производиться по правилам исходной системы счисления.
|
|
|
Важно отметить, что при переводе правильной дроби из одной системы счисления в другую, может получиться дробь в виде расходящегося или бесконечного ряда. По этой причине, критериями окончания перевода могут быть:
· нули во всех разрядах дробной части числа;
· достижение заданной точности (т. е. определение необходимого числа разрядов).
Пример 6.4: Задана конечная правильная дробь в десятичной системе счисления 
. Требуется представить дробь в системе счисления с основанием , используя метод перевода правильных дробей путем умножения на новое основание.
На каждом шаге дробная часть числа умножается на основание системы счисления и из результата выделяется целая часть:
| Шаг 1: | 0,625 | 
| 2 : |  ;
|
| Шаг 2: | 0,25 |
| 2 : |  ;
|
| Шаг 3: | 0,5 |
| 2 : | 
|
На шаге 3 после умножения на основание дробная часть числа стала равной 0. Это значит, что можно остановить перевод, так как на всех следующих шагах результат умножения дробной части также будет равен 0.
|
|
|
Запишем полученные разряды числа в порядке убывания:
.
Метод умножения может быть применен и для перевода дроби вида 
к дроби, представленной в позиционнной форме в системе счисления с основанием : 
.
Пример 6.5: Числитель и знаменатель обыкновенной дроби заданы целыми числами, представленными в десятичной системе счисления 
. Требуется представить дробь в позиционной форме в системе счисления с основанием , используя метод перевода дробей путем умножения на новое основание.
Ниже приведены шаги перевода числа методом умножения на новое основание системы счисления, они идентичны действиям, выполняемым в примере 6.4.
| Шаг 1: | 
|
| 2 : |  ;
|
| Шаг 2: | 
|
| 2 : |  ;
|
| Шаг 3: | 
|
| 2 : |  ;
|
| Шаг 4: | 
|
| 2 : |  ;
|
| Шаг 5: | 
|
| 2 : |  ;
|
| Шаг 6: |
|
| 2 : |  ;
|
| Шаг 7: |
|
| 2 : |  ;
|
| Шаг 8: |
|
| 2 : |  ;
|
| Шаг 9: |
|
| 2 : |  ;
|
| … | ||||
Следует особо отметить шаги, выделенные зеленым цветом. В результате выполнения умножения на шаге 5 в дробной части числа получилось дробь , что совпадает с дробной частью числа, полученной на шаге 1. Начиная со следующего шага результаты дробных частей шагов также совпадают 
Такая закономерность сохранилась бы и на следующих шагах (дробная часть числа, полученного на шаге 9, совпадает с дробной частью шагов 1 и 5 и пр.), если бы вычисления были продолжены. На основании проведенного анализа можно сделать заключение, что в результате перевода дроби в двоичную систему счисления получилось периодическое число.
|
|
|
Дата добавления: 2020-01-07; просмотров: 273; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!