Потенциальная энергия при кручении
Лекция 8
Тема 8. Кручение
Основные понятия и определения. Построение эпюр крутящих моментов
Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает лишь один силовой фактор - крутящий момент 
. Брус, работающий на кручение, обычно называют валом. Правило знаков, применяемое для крутящего момента при построении эпюр и расчете на прочность, показано на рис. 8.1.
Рис.8.1. Правило знаков для крутящего момента
Рис. 8.2. Кручение круглого вала
При расчете бруса на кручение надо решить две задачи: определить касательные напряжения и найти угловые смещения в зависимости от действия внешних обобщенных сил.
Рассмотрим кручение вала кругового поперечного сечения с радиусом R и длиной l (рис. 8.2). Будем использовать следующие допущения:
1) поперечные сечения остаются плоскими после деформации (выполняется гипотеза Бернулли - гипотеза плоских сечений);
2) расстояние между поперечными сечениями не изменяется, значит 
;
3) контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это значит, что поперечные сечения при деформации ведут себя как жесткие диски, поворачиваясь, относительно друг друга вокруг оси 
. Отсюда следует, что деформации в плоскости диска отсутствуют, т.е. 
;
4) материал стержня подчиняется закону Гука. Так как 
, то из обобщенного закона Гука получаем, что 
. А это означает, что в поперечных сечениях вала под действием крутящего момента возникают только касательные напряжения t . С учетом закона парности касательных напряжений НДС вала - чистый сдвиг.
|
|
|
Определение напряжений и деформаций бруса круглого поперечного сечения (вала)
Выведем формулу для определения касательных напряжений при кручении. Двумя поперечными и двумя цилиндрическими сечениями, как показано на рис. 8.3, выделим из вала кольцевой фрагмент высотой dz и толщиной dρ.
Рис. 8.3. К определению напряжений и деформаций при кручении
Рассмотрим элемент кольца, обозначенный по внешней поверхности ABCD. Площадь поперечного сечения, ограниченного радиусами ВО и СО равна dF (на рис.8.3 заштрихована). При повороте верхней грани кольца относительно нижней на угол закручивания dφ точка В переместится в положение В1, точка С в С1, а сам элемент ABCD будет испытывать деформацию сдвига (рис. 8.3б). Отрезок ВВ1 с одной стороны равен γdz (γ – угол сдвига), а с другой - ρdφ, откуда имеем
. (8.1)
|
|
|
Иногда в расчетах используется понятие - погонный угол закручивания 
.
Переходя по закону Гука 
к напряжениям, получаем
, (8.2)
где t — касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса под действием 
. Анализ формулы (8.2) показывает, что при постоянным значении параметра 
, касательные напряжения прямо пропорциональны текущему радиусу ρ.
Внутренний интегральный силовой фактор - крутящий момент создается элементарными силами 
, действующими на плече ρ. Интегрируя по всей площади поперечного сечения вала, имеем
(8.3)
В данной формуле используется важный геометрический параметр сечения – полярный момент инерции 
, от которого во многом зависит значение действующих в вале напряжений и его деформация. Значение полярного момента инерции конкретного сечения можно получить непосредственно, используя приведенное интегральное выражение, а можно взять из справочной литературы для типовых сечений.
Для сплошного круглого вала имеем:
, (8.4)
|
|
|
где D – диаметр вала.
Для вала кольцевого сечения с внешним диаметром D и внутренним d в силу свойств интеграла по площади можно вычислить полярный момент инерции как разность соответствующих моментов инерции:
. (8.5)
Величину 
называют жесткостью поперечного сечения при кручении (крутильной жесткостью). Очевидно, что увеличение жесткости на кручение при прочих равных условиях приводит к уменьшению крутильных деформаций конструкции.
Из выражения (8.3) находим относительный (погонный) угол закручивания вала
(8.6)
Подставляя (8.6) в выражение (8.2), находим касательные напряжения в сечении
. (8.7)
Полученные результаты позволяют сформулировать ряд важных выводов:
- касательные напряжения при кручении направлены перпендикулярно к текущему радиусу ρ;
- касательные напряжения достигают своего максимального значения в точках наиболее удаленных от продольной оси вала - ρ=ρmax= R = D/2.
|
|
|
В этом случае
, (8.8)
Параметр 
называется полярным моментом сопротивления и для сплошного круглого вала он равен
. (8.9)
Взаимный угол поворота сечений можно определить из формулы (8.6), интегрируя по длине вала
. (8.10)
Если по длине стержня крутящий момент и полярный момент инерции имеют постоянное значение, то из (8.10) получим
. (8.11)
Проанализируем напряженное состояние вала при кручении. По граням выделенного элемента вала ABCD (рис. 8.3) действуют только касательные напряжения, определяемые по формуле (8.7). Значит, во всех точках вала при кручении возникает НДС чистого сдвига, т.е. плоское напряженное состояние, при котором главные напряжения равны 
Главные площадки располагаются под углом 45° по отношению к площадкам, по которым действуют касательные напряжения. Однако в отличие от чистого сдвига абсолютные значения напряжений при кручении вала линейно зависят от текущего радиуса ρ (рис. 8.4), т.е. сдвиг будет неоднородным.
Рис. 8.4. Касательные напряжения при кручении вала
На каждой паре ортогональных площадок, наклоненных к оси стержня под углами 
, будут действовать нормальные напряжения, равные по величине касательному напряжению; при этом одно из них растягивающее, а другое - сжимающее. Площадки, по которым действуют наибольшие растягивающие напряжения s 1 , располагаются на винтовой поверхности. Именно по этой поверхности и разрушаются хрупкие материалы при кручении, так как они хуже сопротивляются отрыву, чем сдвигу. Пластичные материалы, наоборот, хуже сопротивляются сдвигу, чем отрыву. Поэтому образцы из пластичных материалов разрушаются при кручении по плоскости поперечного сечения, где действуют 
.
Потенциальная энергия при кручении
Потенциальная энергия, накопленная в элементе вала длиной dz, численно равна работе моментов Мк, приложенных к торцам данного элемента. Предполагая прямую пропорциональную зависимость между крутящим моментом и углом закручивания, получим выражение для элементарной потенциальной энергии (с учетом формулы (8.10))
. (8.12)
Интегрируя выражение (8.12) по длине вала, получим выражение для потенциальной энергии деформации
. (8.13)
Если Мкр=const и GJp=const по длине вала, то получим
(8.14)
Дата добавления: 2019-11-25; просмотров: 347; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!