Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
sin х - sin у = 2 · cos 
· sin 
Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.
cos х + cos у = 2 · cos · cos
Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
cos х - cos у = - 2 · sin · sin
Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком « - » удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.
Пример:
№1. Упростить выражение: sin 40 ° + sin 50 ° .
Решение: Воспользуемся формулой суммы синусов двух углов
sin х + sin у = 2 · sin · cos
sin 40 ° + sin 50 ° = 2 · sin 
· cos 
=
= 2 · sin 45 ° · cos ( - 5 ° ) = 2 · 
· cos 5 ° = 
· cos 5 °
Ответ : sin 40 ° + sin 50 ° = · cos 5 °
№2. Вычислить : sin 75 ° - sin 15 ° .
Решение: Воспользуемся формулой разности синусов двух углов
sin х - sin у = 2 · cos · sin
sin 75 ° - sin 15 ° = 2 · cos 
· sin 
=
= 2 · cos 45 ° · sin 30 ° = 2 · · 
=
Ответ: sin 75 ° - sin 15 ° =
, 
Сумма тангенсов двух углов равна отношению синуса суммы этих углов к произведению косинусов этих углов.
Разность тангенсов двух углов равна отношению синуса разности этих углов к произведению косинусов этих углов.
Пример: Вычислить tg 75° - tg 15° .
Решение: Воспользуемся формулой разности тангенсов двух углов
Ответ: 
.
15. Произведение тригонометрических функций.
|
|
|
sin a · cos b = 
( sin ( a + b) + sin ( a - b ))
Произведение синуса и косинуса данных углов равно полусумме синуса суммы и синуса разности этих углов.
cos a · cos b = 
( cos ( a + b) + cos ( a - b ))
Произведение косинусов данных углов равно полусумме косинуса суммы и косинуса разности этих углов.
sin a · sin b = - 
( cos ( a + b ) - cos ( a - b ))
Произведение синусов данных углов равно взятой со знаком « - » полуразности косинуса суммы и косинуса разности этих углов.
Пример: Доказать тождество: 
.
Решение:
Воспользуемся формулой разности тангенсов двух углов:
и формулой произведения косинусов двух углов:
cos a · cos b = ( cos ( a + b ) + cos ( a - b ))
2 tg a = 2 tg a
Определим область допустимых значений аргумента a :
1) Исключим значения аргумента a , при которых 
не существует: 
; 
;
; 
.
2) Исключим значения аргумента a , при которых 
не существует: 
; 
;
; 
.
Исключим значения аргумента a , при которых tg a
не существует: 
.
Ответ: .
Упражнения:
·№1. Вычислить: а) 
; б) 
;
в) cos 95 ° + cos 94 ° + cos 93 ° + cos 85 ° + cos 86 ° + cos 87 ° .
№2. Упростить : а ) cos 50 ° · cos 20 ° - 
cos 70 ° ; б ) 2 sin 70 ° · sin 10 ° + cos 80 ° ;
|
|
|
в ) 2 cos a · cos 2 a - cos 3 a ; г ) 2 sin ( 
+ a ) · cos ( - a ) - 1
№3. Доказать : а ) 2 sin a · sin 3 a + 2 cos 7 a · cos 3 a - cos 10 a = cos 2 a ;
б ) sin a - sin 2 a + sin 3 a = 4 sin 
· cos a · cos 
;
в ) 
;
г ) sin a - 2 sin ( 
- 15 ° ) · cos ( + 15 ° ) = .
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 283; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!