Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.

Основы тригонометрии.

Обобщение понятия угла

Определение : Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей (сторон угла) с общим началом (вершиной угла) и ограниченной ими части плоскости.

Ð A O B = a, 0 ° £ a £ 1 8 0 °.

Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r - . На выберем точку М.

ОА - начальный радиус .

- радиус-вектор точки М, принадлежащей .

Ð (ОА, ) = Ð A OМ = a.

Описание: Углом поворота A OМ называется угол, образованный вращением вокруг начала координат начального радиуса ОА до положения ОМ.

4 ioOfi2gJx8rPV1GRwAnzU1bi4E3TYdGiij5gsiPypBXtO5ftO1EW41EjvdKx+Sq7PK3wCV+5Whbz 6QxvMums1Sx/GpuWeYjHdqVTMjiOsC2gb9YHOAR9zqOSTiWdugeeTFc6+zy7lifr4Cs79iaCh4t2 JbApGNxkCyrpVNIJ6eyxuvjeFfc0csDq4ts6+zbOEejokdLI2bE96lOiJPwfGTnQfqfD1XRJZt0U KsRsHp9FVdT+jOvVcphY+SxPx0nx6n8AAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQCmWkr/4QAAAAoBAAAP AAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/BasMwEETvhf6D2EBvjWylToxjOYTQ9hQKTQqlt421sU0syViK 7fx91VNzXPYx8ybfTLplA/WusUZCPI+AkSmtakwl4ev49pwCcx6NwtYaknAjB5vi8SHHTNnRfNJw 8BULIcZlKKH2vss4d2VNGt3cdmTC72x7jT6cfcVVj2MI1y0XUbTkGhsTGmrsaFdTeTlctYT3Ecft In4d9pfz7vZzTD6+9zFJ+TSbtmtgnib/D8OfflCHIjid7NUox1oJQkQioBJWqwRYANKXJGw5SViI dAm8yPn9hOIXAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAA AAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAVYVRKegMAABBjwAADgAAAAAA AAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAplpK/+EAAAAKAQAADwAA AAAAAAAAAAAAAABCDwAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAFAQAAAAAA== ">

M₁

M₂

a ₁

a ₂

Угол поворота считается положительным, если он образован вращением начального радиуса ОА против часовой стрелки, и отрицательным, если начальный радиус ОА вращается по часовой стрелке.

a₁= Ð A OМ₁ = 45 ° a₂= Ð A OМ₂ = - 45 °

Если начальный радиус повернуть против часовой стрелки на 180 °, а потом еще на 30 °, то угол поворота будет равен 210 °. И начальный радиус сделает полный оборот, то угол поворота будет равен 360 °, если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540 ° и так далее.

Вывод: Угол поворота может принимать любые значения, большие 360 ° и меньшие - 360 ° .

Упражнение: Постройте углы 405 °, - 210 °, 840 °, - 1320 °, 2385 °.

Рассмотрим в окружность . Построим угол a = Ð A O М = 150 °.

Вопрос: Какие углы будут соответствовать этому же радиус-вектору?

Ответ: Если a= Ð A OМ = 150 °, то углы 150 ° + 360 ° n, где n Î Z, соответствуют этому же радиус-вектору. При n= 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 получаем 150 °, 510 °, - 210 °, 870 °, -570 °.

Вывод: Радиус-вектору точки М, принадлежащей , соответствует бесконечное множество углов, отличающихся друг от друга на целое число полных оборотов: b = a + 3 6 0 ° × n , n Î Z.

Замечание: Пусть при повороте на угол a начальный радиус ОА переходит в положение . В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус-вектор , угол a называют углом этой координатной четверти (говорят, что угол a принадлежиткоординатной четверти).

Если a Î ( 0 ° ; 90 ° ), то a+ 360 ° n, где n Î Z, - углы 1-ой координатной четверти.

Если a Î ( 90 ° ; 180 ° ), то a+ 360 ° n, где n Î Z, - углы 2-ой координатной четверти.

Если a Î (180 ° ; 270 ° ), то a+ 360 ° n, где n Î Z, - углы 3-ей координатной четверти.

Если a Î (270 ° ; 360 ° ), то a + 360 ° n, где n Î Z, - углы 4-ой координатной четверти.

Углы 0º, ± 90º, ± 180º, ± 270º, ± 360º, … не принадлежат никакой координатной четверти.

Пример: Какой координатной четверти принадлежит угол - 2763°?

Решение: Разделив 2763 ° на 360 °, выясним, сколько полных оборотов нужно сделать при построении данного угла. - 2763° = - 360 ° · 7 - 243 °.

Так как угол - 243 ° принадлежит 2-ой к. ч., значит, угол - 2763° принадлежит 2-ой к. ч.

Ответ: - 2763° Î 2-ой к. ч.

Упражнение: Какой координатной четверти принадлежат углы: 598 °, 3672 °, - 1743 °?

2. Градусная и радианная меры угла

A₁

A₂

M₁

B₁

M₂

B₂

Широко распространены две системы измерения углов: градусная и радианная. Они отличаются выбором единицы измерения. В градусной мере единицей измерения является 1 ° -

часть одного полного оборота.

Рассмотрим в окр. (О, ОА₁= r₁), окр. (О, ОА₂ = r₂).

a = Ð A₁O В₁ = Ð A ₂O В₂

Углу a соответствует дуга l₁ = A₁ М₁В₁ , дуга l₂ = A₂ М₂В₂ .

Для данного центрального угла a отношение длины дуги к длине радиуса есть величина постоянная.

;

Определение: Число а, равное отношению длины дуги l, соответствующей некоторому центральному углу a, к длине радиуса r, называется радианной мерой этого угла.

Вывод: Если радиус окружности равен 1, то радианная мера центрального угла – это длина дуги, соответствующей этому центральному углу.

Определение: 1 радиан – единица радианной меры угла – это центральный угол, которому соответствует дуга, равная радиусу.

Всякий угол, заданный в градусной мере, можно перевести в радианную меру, и, наоборот, угол, заданный в радианной мере, можно перевести в градусную меру.

Углу 360 ° соответствует дуга, равная длине окружности (l_окр. = 2p r ).

; 360 ° = 2 p ; 180° = p .

a – градусная мера данного угла;

а – радианная мера данного угла.

Тригонометрические функции числового аргумента

Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r =1 - .

На выберем точку М ( x; y).

ОА - начальный радиус .

- радиус-вектор точки М ( x; y), принадлежащей

Ð (ОА, ОМ ) = Ð A O М = a.

Определение: Синусом угла a называется ордината радиус-вектора точки М, принадлежащей .

Определение: Косинусом угла a называется абсцисса радиус-вектора точки М, принадлежащей .

Определение: Тангенсом угла a называется отношение ординаты радиус-вектора точки М, принадлежащей , к его абсциссе.

Определение: Котангенсом угла a называется отношение абсциссы радиус-вектора точки М, принадлежащей ,к его ординате.

С изменением угла a координаты радиус-вектора точки меняются, а его модуль остается без изменения.

, , , – переменные величины, зависящие от a. Каждому допустимому значению a соответствует единственное значение , , , . Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла a. Их называюттригонометрическими функциями.

Функции и определены при любом значении , так как для любого угла поворота можно найти значения координат y и x.

Вывод: ; .

Функция имеет смысл при любом , кроме углов поворота ± , ± , ± , …, так как для этих углов не имеет смысла дробь ( x = 0 ) .

Функция имеет смысл при любом , кроме углов поворота 0, ± p , ± 2 p, …, так как для этих углов не имеет смысла дробь ( y = 0 ) .

Вывод: 1)

Замечание:

1) Углы , называют углами вертикального диаметра (Рис.1).

2) Углы , называют углами горизонтального диаметра (Рис.2).

Рис.1. Рис.2.

4. Знаки тригонометрических функций

Так как , то знак зависит от знака ординаты y. В 1-ой и 2-ой координатных четвертях y > 0, в 3-ей и 4-ой координатных четвертях y < 0.

Вывод: , если a является углом 1-ой или 2-ой координатных четвертей,

, если a является углом 3-ей или 4-ой координатных четвертей.

Так как , то знак зависит от знака абсциссы x. В 1-ой и 4-ой координатных четвертях x > 0, во 2-ой и 3-ей координатных четвертях x < 0.

Вывод: , если a является углом 1-ой или 4-ой координатных четвертей,

, если a является углом 2-ой или 3-ей координатных четвертей.

Так как и , то знаки и зависят от знаков x и y.

В 1-ой и 3-ей к. ч. x и y имеют одинаковые знаки, а во 2-ой и 4-ой к. ч. x и y имеют разные знаки.

Вывод: , , если a является углом 1-ой или 3-ей к. ч.,

, , если a является углом 2-ой или 4-ой к. ч.

Пример: Определить знак выражения: 1) sin 973º; 2) .

Решение:

1) 973º = 360º·2 + 253º; 253º Î (180 ° ; 270 ° ), значит, 973º Î 3-ей к. ч.,

следовательно, sin 973º < 0 .

2) Î 4-ой к. ч., значит, Î 4-ой к. ч.,

следовательно, .

Ответ: sin 973º < 0; .

Упражнения:

№1. Среди углов 770º, 480º, – 50º, 1560º, – 240º, – 310º найдите такие углы, при которых начальный радиус займет то же положение, что и при повороте на угол: а) a = 50º; б) a = 120º.

№2. Определите знак выражения:

cos 567º; sin 5791º; tg 269º; ctg (– 705º); cos 1259º; ctg .

№3. Какой знак имеют , , , , если:

№4. Определите знак выражения:

а ) sin 190º · tg 200º ; б ) cos 320º · ctg 79º ; в ) cos 271º · sin 453º · tg 514º · ctg 378º,

г ) – sin 50º ·(– cos (– 91º)) · tg 170º· ctg (– 640º) · sin 530º.

№5. Углом какой координатной четверти является угол a, если:

а) sin a > 0 и cos a > 0; г) sin a > 0 и tg a > 0;

б) sin a < 0 и cos a > 0; д) tg a < 0 и cos a > 0;

в) sin a < 0 и cos a < 0; е) ctg a > 0 и sin a < 0.

5. Значения тригонометрических функций основных углов.

210º

330º

0º (0)

30º

45º

60º

90º

120º

240º

225º

135º

150º

180º ( p )

270º

315º

300º

360º (2 p )

Рассмотрим в

Воспользуемся определениями тригонометрических функций для нахождения значений тригонометрических функций основных углов.

Основные углы:

М₁(1; 0)

М₂(0; 1)

М₃(– 1; 0)

М₄(0; –– 1)

Радиус-вектор ,образующий углы 0º и 360º, имеет координаты (1; 0 ).

sin 0º = sin 360º = y = 0; cos 0º = cos 360º = x = 1;

tg 0º = tg 360º = = 0; ctg 0º = ctg 360º = – не существует.

Радиус-вектор ,образующий угол 90º, имеет координаты (0; 1 ).

sin 90º = y = 1; cos 90º = x = 0;

tg 90º = – не существует; ctg 90º = = 0 .

Радиус-вектор ,образующий угол 180º, имеет координаты ( – 1; 0 ).

sin 180º = y = 0; cos 180º = x = –1;

tg 180º = = 0; ctg 180º = – не существует.

Радиус-вектор ,образующий угол 270º, имеет координаты (0; – 1 ).

sin 270º = y = –1; cos 270º = x = 0;

tg 270º = – не существует; ctg 270º = = 0

Рис.1. a = 30º. Рис.2. a = 60º. Рис.3. a = 45º.

Рис.1. Радиус-вектор _,образующий угол a = 30º, имеет координаты .

sin 30º = y = ; cos 30º = x = ; tg 30º = = ; ctg 30º = = .

Рис.2. Радиус-вектор _,образующий угол a = 60º, имеет координаты

sin 60º = y = ; cos 60º = x = ; tg 60º = = ; ctg 60º = = .

Рис.3. Радиус-вектор _,соответствующий углу a = 45º, имеет координаты

sin 45º = y = ; cos 45º = x = ; tg 45º = = 1; ctg 45º = = 1.

Пример:

№1. Вычислить значения всех тригонометрических функций углов:

М₃

М₁

М₂

М₄

М₅

М₆

a₂

a₁

a₃

a₁ = 120º

;

b) a₂ = 225º ;

c) a₃ = 330º .

Решение:

a) Радиус-вектор , соответствующий углу a = 60º, имеет координаты

Радиус-вектор , соответствующий углу a =120º, имеет координаты

sin 120º = y = ; cos 120º = x = ; tg 120º = = ; ctg 120º = = .

b)Радиус-вектор _,соответствующий углу a = 45º, имеет координаты .

Радиус-вектор _,соответствующий углу a =225º, имеет координаты .

sin 225º = y = ; cos 225º = x = ; tg 225º = = 1; ctg 225º = = 1.

c) Радиус-вектор _,соответствующий углу a = 30º, имеет координаты

Радиус-вектор _,соответствующий углу a=330º, имеет координаты .

sin 330º = y = ; cos 330º = x = ; tg 330º = = ; ctg 330º = = .

№2. Для каких значений угла верно равенство: 1) cos b = 0; 2) .

Решение:

1) cos b = 0 2) a + = + 2 p k , k Î Z

a = – + 2 p k , k Î Z

a = - p + 2 p k , k Î Z

a = p + 2 p k , k Î Z

b = + p k , k Î Z

Ответ : 1) b = + p k , k Î Z ; 2) a = p + 2 p k , k Î Z .

№3. Найти область допустимых значений аргумента a : .

Решение:

1) Исключаем значения a , при которых не существует ctg a: a ¹ p k , k Î Z.

2) Исключаем значения a, при которых знаменатель дроби sin a +1 обращается в нуль: sin a +1 ¹ 0; sin a ¹– 1; a ¹ + 2 p k , k Î Z

Ответ:a ¹ p k , k Î Z ; a ¹ + 2 p k , k Î Z .

Упражнения:

№1. Вычислить значения всех тригонометрических функций углов:

135º ; 150º ; 210º ; 240º ; 300º ; 315º .

№2. Найти значение выражения:

а ) 2 sin p – 2 cos +3 tg – ctg ; б ) cos ² – cos ² ;

в ) 3 sin ² – 4 tg ² – 3 cos ² +3 ctg ² ; г ) tg × cos ² × sin ;

д) ; е) .

№3. Для каких значений углаверно равенство:

а) sin a = 1; б) cos b = – 1; в) tg a = 0; г) ctg b =1.

6. Изменение тригонометрических функций с увеличением угла.

Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r= 1.

ОА - начальный радиус окр. (О, r =1).

- радиус-вектор точки М ( x; y), принадлежащей окр. (О, r =1).

Ð (ОА , ОМ ) = a.

Проследим за изменением каждой из четырех тригонометрических функций в отдельности при изменении угла a от 0º до 360º.

sin a ведет себя как ордината y радиус-вектора точки М, принадлежащей окр. (О, r =1).

(Рис. 1.)

Если a Î ( 0 ° ; 90 ° ), то увеличивается от 0 до 1.

Если a Î ( 90 ° ; 180 ° ), то уменьшается от 1 до 0.

Если a Î (180 ° ; 270 ° ), то уменьшается от 0 до – 1.

Если a Î (270 ° ; 360 ° ), то увеличивается от – 1 до 0.

Вывод: 1. – не монотонная функция.

2. , то есть – множество значений

3. – ограниченная функция, так как .

(1; 0)

(0; 1)

(– 1; 0)

(0; – 1)

(1; 0)

(0; 1)

(– 1; 0)

(0; – 1)

Рис. 1. Рис. 2.

ведет себя как абсцисса x радиус-вектора точки М, принадлежащей окр. (О, r =1).

(Рис. 2.)

Если a Î ( 0 ° ; 90 ° ), то cos a уменьшается от 1 до 0.

Если a Î ( 90 ° ; 180 ° ), то cos a уменьшается от 0 до – 1.

Если a Î (180 ° ; 270 ° ), то cos a увеличивается от – 1 до 0.

Если a Î (270 ° ; 360 ° ), то cos a увеличивается от 0 до 1.

Вывод: 1. – не монотонная функция.

2. , то есть – множество значений .

3. – ограниченная функция, так как

Через конец начального радиуса ОА точку А проведем ось АТ, параллельную оси Оу. Радиус-вектор , соответствующий углу a , продолжим до пересечения с осью АТ в

точке N. Алгебраическая величина отрезка АN равна tg a , где a – угол любой из четырех координатных четвертей (Рис. 1).

+ ¥

- ¥

М₁

Рис.1. Рис.2.

Если a Î ( 0 ° ; 90 ° ), то tg a = АN возрастает от 0 до + ¥ при увеличении угла a.

Если a Î ( 90 ° ; 180 ° ), то tg a = АN возрастает от –¥ до 0 при увеличении угла a.

Если a Î (180 ° ; 270 ° ), то tg a = АN возрастает от 0 до + ¥ при увеличении угла a.

Если a Î (270 ° ; 360 ° ), то tg a = АN возрастает от –¥ до 0 при увеличении угла a.

Вывод: 1. – возрастающая функция.

2. , то есть – множество значений .

3. – неограниченная функция, так как .

Так как дроби и взаимно обратны, следовательно, и взаимно обратны.

Если a Î ( 0 ° ; 90 ° ), то ctg a убывает от + ¥ до 0 при увеличении угла a.

Если a Î ( 90 ° ; 180 ° ), то ctg a убывает от 0 до –¥ при увеличении угла a.

Если a Î (180 ° ; 270 ° ), то ctg a убывает от + ¥ до 0 при увеличении угла a.

Если a Î (270 ° ; 360 ° ), то ctg a убывает от 0 до –¥ при увеличении угла a.

Вывод: 1. – убывающая функция.

2. , то есть – множество значений .

3. – неограниченная функция, так как .

Упражнения:

№1. Определить знак выражения: а) sin 130º – sin 140º; б) tg 220º – tg 210º.

№2. Каковы наибольшее и наименьшее значения выражения:

а) 1 + sin a ; б) 2 – cos a ; в) 1 – sin a ; г) 2 + cos a .

№3. Может ли sin aпринимать значение, равное:

№4. Записать в порядке возрастания значений:

а ) sin 40º, sin 90º, sin 220º, sin 270º, sin 10º;

б ) cos 15º, cos 0º, cos 90º, cos 138º, cos 180º;

в ) cos 10º, sin 135º, cos 180º, sin 90º.

7. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

( Основные тригонометрические тождества).

Рассмотрим в .

ОА - начальный радиус .

ОМ - радиус-вектор точки М ( x; y), принадлежащей

Ð (ОА , О М ) = Ð A O М = a .

Возведем равенства (1) и (2) в квадрат и сложим почленно:

Координаты х и у радиус-вектора ОМ , взятые по абсолютной величине, представляют собой длины катетов ОВ и МВ прямоугольного треугольника ОМВ ; сумма их квадратов равна квадрату гипотенузы ОМ : х ²+ у ² = r ².

sin ² a + cos ² a = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.

По определению ( ), величина дроби ( )не изменится, если ее числитель и знаменатель разделить на одно и то же число r ¹ 0 .

, a ¹ + p k , k Î Z .

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 479; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!