Основное уравнение вращательного движения

Исходя из уравнения моментов:

Аналогия с уравнением движение (вторым законом Ньютона).

11. Уравнение моментов для системы материальных точек и твёрдого тела. Уравнение моментов в системе центра масс.

Уравнение моментов

Рассмотрим движение частицы с номером «i» в некоторой ИСО с началом в точке О. По определению момент импульса этой частицы равен . Если взять производную от левой и правой части этого равенства, получим:

Первое слагаемое в правой части равно нулю, поскольку – это скорость частицы , а векторное произведение двух сонаправленных векторов всегда равно нулю. Второе слагаемое равно моменту силы , действующей на «i-ю» частицу. Ведь , а по определению. Таким образом, приходим к равенству .

Для каждой частицы системы можно написать «своё» уравнение моментов:

Просуммируем все левые и правые части уравнений. В правой части возникнут пары моментов сил . Они соответствуют внутренним силам равным и противоположно направленным друг другу по 3-му закону Ньютона. А значит можно утверждать, что суммирование даёт ноль. В правой части останется лишь сумма моментов внешних сил.

Левую часть можно записать как производную от суммы моментов импульса всех частиц, составляющих систему. Т.е. как раз того, что является моментом импульса системы материальных точек:

Скорость изменения момента импульса системы материальных точек равна сумме моментов внешних сил, действующих на все частицы этой системы.

Система центра масс

На практике иметь дело с уравнением моментов и его следствием не очень удобно, так как момент инерции тела относительно неподвижной оси Z всё время меняется. Можно обойти эти трудности, используя особую систему отсчёта, связанную с центром масс самого тела – «систему центра масс». Такая СО движется поступательно вместе с телом и может быть и неинерциальной! Можно доказать, однако, что уравнение моментов, записанное в этой системе относительно оси Z_с, проходящей через центр масс тела и параллельной оси Z, также справедливо. А вот момент инерции I_с относительно этой оси – уже величина постоянная.

12. Момент импульса твёрдого тела относительно оси. Момент инерции твёрдого тела. Пример расчёта момента инерции и применения теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Для случая вращения относительно оси OZ запишем скалярную форму уравнения моментов . Разобьём твёрдое тело на малые элементы с массами , положение которых указывают радиус-векторы . При вращательном движении все точки тела характеризуются одним и тем же вектором угловой скорости , направленным вдоль оси вращения Z. Векторы линейной скорости и импульсов этих элементов перпендикулярны как оси Z, так и векторам .

(Опр.) Моментом инерции твёрдого тела относительно оси Z называется сумма произведений масс всех элементов тела на квадраты их расстояний до оси:

Элементы ТТ предполагаются настолько малыми по геометрическим размерам, чтобы расстояние от любой точки элемента до оси можно было считать одинаковым. С математической точки зрения это означает необходимость предельного перехода к бесконечно малым величинам и от суммы к интегралу:

При вращении вокруг закреплённой оси существует взаимосвязь осевого момента импульса твёрдого тела с его угловой скоростью:

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Расчёт момента инерции для однородного диска (или цилиндра) относительно оси перпендикулярной его плоскости и проходящей через середину. Строго по определению: . Если выбрать ось, проходящую не через центр, а через край, ситуация усложняется. Для такого расчёта пользуются теоремой Гюйгенса-Штейнера («теорема о параллельных осях»):

Момент инерции I_z твёрдого тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через его центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния b между осями:

Для примера с диском:

13. Момент инерции твёрдого тела. Расчёт моментов инерции диска и стержня. Пример применения теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Момент инерции играет роль меры инертности тела по отношению к вращению.

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Расчёт момента инерции для однородного диска (или цилиндра) относительно оси перпендикулярной его плоскости и проходящей через середину. Строго по определению: для диска и для стержня. Если выбрать ось, проходящую не через центр, а через край, ситуация усложняется. Для такого расчёта пользуются теоремой Гюйгенса-Штейнера («теорема о параллельных осях»):

Для примера с диском:

Для примера со стержнем:

14. Плоское движение твёрдого тела. Применение законов кинематики и динамики на примере качения тела по наклонной плоскости.

(Опр.) При плоском движении все точки тела движутся, оставаясь в параллельных плоскостях.

Плоское движение является комбинацией поступательного и вращательного движений, причём ось вращения выбирается произвольно (перпендикулярная плоскостям, в которых движутся точки твёрдого тела).

При качении без проскальзывания эта ось проходит через точку касания с поверхностью, по которой катится тело.

Из множества способов разложения движения можно выбрать такой, когда движение тела сведётся к последовательности поворотов вокруг некоторой оси, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Эта ось вращения занимает разное положение в пространстве в разные моменты времени. Её называют мгновенной осью вращения.

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 191; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!