Признак Даламбера, радикальный и интегральный Коши(3 теоремы док.) .
Признак Даламбера.
Пусть - ряд с неотрицательными членами.
Если , то
а) - ряд -сходится;
б) - ряд - расходится;
в) - о сходимости ничего нельзя сказать.
3 Эталон: обобщенный гармонический ;
Доказательство:
По условию теоремы, , начиная с будет выполняться условие ;
а) Пусть начиная с :
;
члены исследуемого ряда меньше членов геометрической прогрессии ; Геометрическая прогрессия сходится.
б) ; пусть для
ряд сходится.
Радикальный признак Коши.
Дан ряд ,если , то при
а) - ряд -сходится;
б) - ряд - расходится;
в) - о сходимости ничего нельзя сказать, предполагается что предел
Доказательство:
По условию теоремы, , начиная с будет выполняться условие ;
а) - убывающая геометрическая прогрессия Þ по признаку сравнения - сходится, начиная с .
б) аналогично предыдущему.
Интегральный признак Коши.
Пусть дан ряд , члены этого ряда являются непрерывной функцией
g(x) при целых х и пусть функция g(x) является убывающей на промежутке ,
тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл ,
и расходится, если расходится ;
Доказательство:
Рассмотрим площадь криволинейной трапеции
y(x)
с другой стороны
1234……n-1 n
Пусть из (*) следует - ограничена
по критерию ряд сходится.
|
|
Пусть не существует или = следовательно из (**)следует - неограниченна, следовательно по критерию ряд сходится.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютно сходящемся ряде(док).
Знакопеременные ряды - это ряды, которые содержат бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. На ряду со знакопеременным рядом рассматривается ряд из абсолютных значений членов знакопеременного ряда.
-знакопеременный ряд.(1)
-знакоположительный ряд.(2)
Теорема (критерий сходимости знакопеременного ряда).
Если ряд (2) сходится, то и ряд (1)- сходится.
Доказательство:
частичные суммы рядов (1) (2) соответственно.
Обозначив через - сумму положительных членов ряда (1), - сумму отрицательных членов ряда(1).Тогда = - ; = -
Так как ряд (2) сходится, то существует конечный предел его частичных сумм = -ограничены.
Так как ряд (2) знакоположительный, то - будут возрастающие, следовательно по теореме Вейерштрасса существует конечный предел этих последовательностей ( )
Рассмотрим - число конечное, следовательно (1)- сходится. Ч.Т.Д.
При исследовании знакопеременного ряда на сходимость нужно всегда рассматривать ряд из абсолютных величин членов этого ряда.
|
|
Определение:
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится знакоположительный ряд ,составленный из абсолютных значений его членов.
Теорема (об абсолютно сходящемся ряде).
Если ряд сходится, то знакопеременный ряд тоже сходится.
Доказательство:
для ряда ; для ряда состав. из модулей.
сходится по признаку сравнения.
Признак этой теоремы является достаточным, но не является необходимым.
Ряд -сходится; ряд - расходится.
Определение:
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится по признаку Лейбница, но ряд из абсолютных величин его членов расходится.
55 . Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница (док.).
Знакочередующиеся ряды - это ряды, члены которых поочерёдно то положительны, то отрицательны.
Теорема Лейбница.
Если =0 (1) и un un+1>0, n=1,2,…,(2) то знакочередующийся ряд
(3) сходится.
Доказательство:
Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (3):
S2k= . Их можно записать в виде S2k=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2k-1-u2k), k=1,2,…
В силу условия (2) выражения в круглых скобках неотрицательны и потому S2k S2(k+1), т.е. последовательность частичных сумм четного порядка ряда (3) монотонно возрастает.
|
|
Замечая, что частичные суммы S2k можно записать также и в виде S2k=u1-(u2-u3)-…-(u2k-2-u2k-1)-u2k, k=1,2,… , и что выражения в круглых скобках в силу условия (2) неотрицательны, а u2k>0, получаем, что S2k<u1, т.е. последовательность {S2k} ограничена сверху.
Из монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности {S2k} следует, что она сходится.
Пусть =S (4). Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (3) стремятся к тому же пределу. Действительно, S2k+1=S2k+u2k+1, k=1,2…(5), и так как, согласно (1), , то в силу (4) и (5) имеем (6). Из (4) и (6) следует что .
Теорема доказана.
56. Функциональные ряды. Основные понятия: область и точка сходимости, равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса (док.).
Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от x u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+…= un (x).
Совокупность значений аргумента, при которых функ-й ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Функциональный ряд un(x) называется равномерно сходящимся в некоторой области x, если для каждого сколь угодно малого числа >0 найдётся такое целое положительное число N( ), что при n>N выполняется неравенство = < для всех x из области X.
При этом сумма S(x) равномерно сходящегося функционального ряда есть непрерывная функция.
|
|
Достаточным признаком равномерности сходимости является
Признак Вейерштрасса.
Если члены функционального ряда U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… по абсолютной величине не превышают в некоторой области соответствующих членов сходящегося знакоположительного ряда a1+ a2+…+an+…, (an>0) т.е.
|U1(x)| a1, |U2(x)| a2, |U3(x)| a3, … |Un(x)| an, …
То функциональный ряд в области сходиться абсолютно и равномерно (правильно).
Знакоположительный числовой ряд называется мажорирующим рядом или мажорантой для данного функционального ряда.
Т. Вейерштрасса. Если существует такая числовая последовательность {an}, что =0, аn (1), (2) для всех n=1,2… и всех х , то последовательность { } равномерно на E сходится к функции .
Доказательство. В силу условия (1) для любого существует такой номер , что an< для всех . Но тогда в силу условия (2) для всех и всех х , а это и означает равномерную сходимость последовательности { } к функции на множестве Е.
57. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов (без док.)
1) Сумма правильно сходящегося ряда есть функция непрерывная в области сходимости.
Свойства почленного дифференцирования и интегрирования правильно сходящихся рядов.
2) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), и ряд из производных так же равномерно сходится, то его сумма S*(x) равна производной от суммы исходного ряда S*(x) = =( )'= S'(x)
3) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), то ряд полученый из данного путем почленного интерирования равномерно сходится и имеет сумму S**(x), равную интегралу от суммы исходного ряда
S**(x)= = =
58.Степенные ряды. Теорема Абеля (док.) (×)
Функциональные ряды вида называются степенным рядом по степеням(z-z0), где a1 a2... an R -коэффициенты степенного ряда , называются степенными рядами.
При z0=0 получим .Степенной ряд при z=0 всегда сходится, если x не равен 0 то ряд может как сходиться так и расходиться.
Поскольку замена (z-z0)=t может свести к виду то мы будем рассматривать ряд такого вида.
Т. Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке z1≠0, то он сходится и при том абсолютно в точке z, у которого , если степенной ряд расходится в т. z2≠0, то он расходится в т z, .
Доказательство.
По условию - то по необходимому признаку сходимости ряда , т.к. сх-ся числ. послед. ограничена то существует M>0 | а n=0,1,2… Если , то и следовательно , являясь геометрической прогрессией со знаменателем <1, сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда (1) при .
Пусть числовой ряд расходится, => для любого z | . Предположим противное, те сходится. По доказательству в 1 части теоремы из сходимости ч.р. => абсолютная сходимость ,для любого , а значит этот ряд должен сходиться абсолютно, что противоречит условию => он расходится.
59. Свойства степенных рядов(без док.). Ряды Тейлора и Маклорена(×)
Свойства степенных рядов:
1) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости.
2)Степенные ряды и имеют один и тот же радиус сходимости.
3)Степенные ряды можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз и для S(x).
4)Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, принадлежащему интервалу сходимости.
Понятие о ряде Тейлора:
Всякая функция при соблюдении определённых условий в интервале, содержащем точку ,может быть представлена в нём в виде степенного ряда, и этот ряд будет её рядом Тейлора.
Опр-е: Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида:
Рядом Маклорена функции f(x) называется ряд:
Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в ряд по степеням ( ) и соответственно ,или представление функции в окрестности точек или степенным рядом.
Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена вычисляются через значения производных функции всех порядков в точках = и = 0 соответственно.Но существование производных любого порядка не является достаточным условием разложимости функции в ряд Тейлора.
Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора:
Всякая функция ,бесконечно дифференцируемая в интервале < r,может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд, называемый рядом Тейлора,если в этом интервале остаток ряда стремится к нулю .
Остаток ряда Тейлора можно записать в форме Лагранжа
где С некоторая произвольная точка рассматриваемого интервала.
Условие выполняется,если производные всех порядков функции ограничены некоторым числом
Если записать ряд Тейлора вместе с остаточным членом,то получим формулу Тейлора:
60. Признак сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции (док).
Теорема: Если степенной ряд по степеням сходящийся к функции в окружности т. , то он является рядом Тейлора функции в окружности т. .
Док-во: Пусть в окружности т. степенной ряд по степеням сходящийся к ∞-ой дифференцируемой функции т.е
продифференцируем степенной ряд:
при получаем:
Ч.т.д.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 539; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!