Понятие частной производной ФНП. Геометрический и физический смысл.
Определение.
Частной производной z'x функции z=f(x;y) по независимой переменной x называется предел отношения частного приращения функции Δxz по переменной x к приращению аргумента Δx при условии, что Δx→0
Геометрический смысл частных производных.
Пусть функция z=f(x,y) определена на плоском открытом множестве G и имеет частный предел (x0,y0).
По определению частной производной (x0,y0)
Частная производная (x0,y0) – есть тангенс угла касательной к графику функции в точке (x0,y0,f(x0,y0)).
Аналогично геометрический смысл (x0,y0) -тангенс угла наклона касательной к графику функций
в точке (x0,y0,f(x0,y0)).
Физический смысл частной производной.
Физический смысл состоит в том, что она определяет скорость изменения функции z=f(x,y) в т. (x0,y0) в направлении оси х и у.
Понятие дифференцируемой ФНП в точке
Функция у=f(х) называется дифференцируемой в т. x0 , если
Пусть u=f( ) определена на множестве D и М ( )–внутренняя точка D.
Пусть ∆u= – полное приращение функции u=f(u) в т. , отвечающие приращениям
Определение
Функция u=f(M) называется дифференцируемой в т. U ( ) –если ее полное приращение в этой точке имеет вид , где -числа(1,2..n), -бесконечно малое высшего порядка малости, чем .
Понятие полного приращения и полного дифференциала. Геометрическая интерпретация
Полное приращение функции z=f(x;y) в точке ( , ) называется разность
Геометрически частные производные можно изобразить отрезками:
|
|
Дифференциалом функции u=f( ) в т. называется линейная относительно приращений аргументов часть приращения функции.
Обозн.:
С геометрической точки зрения дифференциал представляет приращение ампликаты касательной плоскости (n=2).
Свойства дифференцируемой ФНП в точке: теорема о непрерывности дифференцируемой функции и теорема о необходимом условии дифференцируемой функции (2 теоремы – доказать), теорема о достаточном условии дифференцируемости функции и следствие (без док.)
Теорема1(о нопрерывности дифференцируемой функции):
Всякая дифференцируемая функция непрерывна.
Док-во:
Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема. Тогда существует
Но , а по определению непрерывности и означает непрерывность z=f(x,y).
Теорема2(необходимое условие дифференцируемости):
Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0), то в этой точке существуют частные производные по всем переменным и они равны: ;
Док-во:
Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема, т.е.
Вычислим:
Аналогично:
Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости)
Пусть в области D функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные, тогда функция дифференцируема.
|
|
Следствие.
Если функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные в т. , то она имеет полный дифференциал в т. и в некоторой ее окрестности выполняется равенство:
,т. е. ;Если ∆х= dx , ∆ y = dy , то
24. Понятие неявно заданной функции. Теорема о дифференцируемости неявно заданной функции (без док.) (×)
Функция z=f(x,y) называется неявной, если она задается уравнением F(x;y;z)=0, неразрешенным относительно z. Чтобы найти частные производные д z /д x и д z /д y неявной функции z, заданной уравнением F(x;y;z)=0, нужно подставить вместо z функцию f(x,y), получим тождество F(x;y;f(x;y)) 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю.
Теорема1(О существовании, непрерывности, единственности, дифференцируемости неявной функции одного аргумента)
Пусть 1) F(x,y)=0 определена и непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой окрестности т. М0(х0,у0)
2) F(x0,y0)=0
3) F′y(x0,y0)≠0
Тогда найдется окрестность точки х0 U(x0,δ) в этой окрестности существует неявно заданная функция y=f(x) определенная уравнением f(x,y)=0 и такая, что 1)y0=f(x0)
2) y=y(x) непрерывна вместе со своими частными производными
F′x(x,y)
y′= -----------
F′y(x,y)
Теорема2 (о существовании , единственности, непрерывности и дифференцируемости неявной функции многих переменных):
|
|
Пусть выполняется:
1) F(x1,x2,x3,…..,xn,U) определена и непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности M0т. М0(x01,x02,….,x0n)
2) F(M0)=0
3) F′U(M0)≠0
Тогда найдется такая окрестность M0 в пределах которой существует неявно заданная функция U(x1,x2,x3,…..,xn ), которая определяется уравнением F(x1,x2,x3,…..,xn,U)=0, такая что
1) U0(x10,x20,…..,xn0 )
2) U=U(x1,x2,x3,…..,xn ) непрерывна вместе со своими частными производными при чем выполняется:
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 308; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!