Суммы Дарбу. Определение и свойства.
Пусть функция 
— ограничена на 
и существует разбиение этого отрезка 
. Это значит, что 
— ограничена на любом 
. Отсюда, по второй теореме Вейерштрасса, 
.
Итак, пусть мы выбрали какое-то конкретное разбиение отрезка на n частей. Теперь выберем на каждой из этих частей промежуточные точки 
так, чтобы сумма площадей получившихся прямоугольников была минимальной.
Построим интегральную сумму следующим способом: на каждом интервале 
разбиения T точку будем выбирать так, чтобы получался прямоугольник минимальной площади, т.е. чтобы высота 
была наименьшей. Наименьшую высоту нам как раз и даст операция 
: 
Интегральная сумма, построенная на таких прямоугольниках, очевидно, есть самая маленькая из всевозможных сумм, получаемых на данном разбиении. Эта сумма называется нижней суммой Дарбу.
Точно так же можно построить и наибольшую для данного разбиения сумму: на каждом из интервалов разбиения T мы выбираем точку так, чтобы значение было максимальным: 
. Этим значениям соответствует интегральная сумма, называемая верхней суммой Дарбу.
— верхняя сумма Дарбу функции f на [a; b], отвечающая разбиению τ [иначе S*(f, I, τ)], τ = {x0, x1, . . . , xn−1, xn}
— нижняя сумма Дарбу функции f на [a; b], отвечающая разбиению τ [иначе S∗(f, I, τ)], τ = {x0, x1, . . . , xn−1, xn}
Замечание: суммы Дарбу зависят от разбиения T и не зависят от выбора промежуточных точек 
Геометрический смысл интегральных сумм Дарбу — это площади многоугольников, заштрихованных на рисунке. 
|
|
|
Свойства:
Перейдя к сумме в каждой части неравенства, получаем:
Вывод: согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы утверждения равносильны.
4. При T — фиксированном, справедливы равенства:
Докажем первое равенство. Необходимо показать, что S∗ — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы, т.е. нужно показать следующее:
: 
(в данном случае сигма обозначает интегральную сумму)
Т.к. 
, то 
Домножим на 
: 
Просуммируем i- ые элементы:
, иначе S > S* - ε
Вывод: получили, что 
— минимальный предел верхних границ для интегральной суммы 
.
Аналогично доказывается второе утверждение.
5. Существуют пределы нижних и верхних сумм Дарбу:
(числа I∗(f) и I∗(f) иногда называют нижним и верхним
интегралами Дарбу функции f)
Вставка из лекции (доказательства свойств)
17. Класс R [a,b] функций, интегрируемых по Риману. Необходимое условие интегрируемости.
|
|
|
дичь какая-то, извините
Линейно-алгебраическое отступление (понятие линейного пространства, оператора, функционала, сопряженного пространства).
Линейным (векторным) пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам u и v поставлен в соответствие вектор u+v, называемый суммой векторов u и v, любому вектору v и любому числу λ из поля действительных чисел R поставлен в соответствие вектор λv, называемый произведением вектора v на число λ; так что выполняются следующие условия:
1. u+v=v+u ∀ u,v ∈ V (коммутативность сложения);
2. u+(v+w)=(u+v)+w ∀ u,v,w ∈ V (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент o ∈ V, называемый нулевым вектором, что v+o=v ∀ v ∈ V;
4. для каждого вектора v существует такой вектор (−v) ∈ V, называемый противоположным вектору v, что v+(−v)=o;5. λ(u+v)=λu+λv ∀ u,v ∈ V, ∀ λ ∈ R;
6. (λ+μ)v=λv+μv ∀ v ∈ V, ∀ λ,μ ∈ R;
7. λ(μv)=(λμ)v ∀ v ∈ V, ∀ λ,μ ∈ R;
|
|
|
8. 1 ⋅ v=v ∀ v ∈ V.
Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства. Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества V, такие векторы называются равными.
Замечания 8.1
1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.
2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.
3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.
4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.
5. Разностью векторов u и v называется сумма вектора u с противоположным вектором (−v) и обозначается: u−v=u+(−v).
6. Два ненулевых вектора u и v называются коллинеарными (пропорциональными), если существует такое число λ, что v=λu. Понятие коллинеарности распространяется на любое конечное число векторов. Нулевой вектор o считается коллинеарным с любым вектором.
|
|
|
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 1122; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!