Интегральная сумма Римана. Понятие определенного интеграла (по схеме Римана).
Интегрирование рациональной дроби от sin x и cos x , от shx и chx .
∫ R( cos x, sin x ), где R – рациональная функция, то есть функция, составленная из операций сложения, деления и возведения в целочисленную степень.
Методы интегрировании рациональных тригонометрических функций следующие.
1) Универсальная подстановка всегда приводит к интегралу от рациональной дроби.
2) Если R(sin x, cos x) умножается на –1 при замене cos x → – cos x, то выполняется подстановка t = sin x.
3) Если R(sin x, cos x) умножается на –1 при замене sin x → – sin x, то выполняется подстановка t = cos x.
4) Если R(sin x, cos x) не меняется как при одновременной замене cos x → – cos x, и sin x → – sin x, то применяется подстановка t = tg x или t = ctg x.
Примеры:
1. Универсальная подстановка
Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, с её помощью легко берутся интегралы вида 
(a, b, c - постоянные); однако часто она приводит к очень громоздким рациональным дробям, у которых, в частности, практически невозможно найти корни знаменателя. Поэтому при возможности применяются частные подстановки, которые тоже рационализируют подынтегральную функцию и приводят к менее сложным дробям.
2. Подстановка t = cos x
3. Подстановка t = sin x
∫cos4x·sin3xdx
4. Подстановка t = tg x,
5. Гиперболические функции
Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки:
|
|
|
Сделаем подстановку 
Тогда 
Следовательно, интеграл равен
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (вычисление пути, массы, объема, работы и др.).
Пусть функция 
определена на отрезке 
и неотрицательна, т.е. 
при всех 
Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком функции 
и прямыми 
Рис. 37
Криволинейная трапеция
Полученную фигуру называют криволинейной трапецией. Задача состоит в том, чтобы дать определение и указать способ вычисления площади криволинейной трапеции.
Для этого разобьем отрезок 
на 
отрезков точками
проведем через эти точки прямые, параллельные оси 
Таким образом, криволинейная трапеция разобьется на 
частей, каждая из которых также будет криволинейной трапецией. Пусть
.
В каждом отрезке 
выберем произвольную точку 
.
Рассмотрим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями 
и высотами 
Площадь 
этой ступенчатой фигуры вычисляется по формуле
При достаточно малых отрезках 
ступенчатая фигура будет мало отличаться от исходной криволинейной трапеции. Поэтому за площадь криволинейной трапеции 
принимают предел площадей ступенчатых фигур при стремлении к нулю длин всех отрезков разбиения
|
|
|
Рассмотрим другую задачу. Пусть материальная точка движется вдоль оси 
из точки 
в точку 
под действием силы 
, направление действия силы совпадает с направлением движения точки и величина силы 
задана как функция от координаты 
точки, т.е. 
Задача состоит в том, чтобы найти работу силы при перемещении материальной точки из точки в точку 
Для этого следует разбить отрезок 
на частей точками. В каждом отрезке произвольно выберем точку
Тогда работа силы 
на каждом отрезке приближенно равна 
, а на всем отрезке работу этой силы 
можно приближенно считать равной сумме
т.е.
Таким образом, предел этой суммы есть работа переменной силы при перемещении материальной точки из точки в точку 
Вывод: если существует конечный предел интегральных сумм
при 
причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек 
то функция 
называется интегрируемой на отрезке , а указанный предел называется определенным интегралом от функции по отрезку и обозначается символом
Если выполнено одно из следующих условий:
|
|
|
- функция непрерывна на отрезке ;
- функция ограничена на отрезке и имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва;
- функция монотонна на отрезке ;
то интегрируема на отрезке и, следовательно, существует
В этом геометрический смысл определенного интеграла.
Кроме того, работа непрерывной на отрезке переменной силы 
при перемещении материальной точки из точки в точку 
, вычисляется по формуле
1. Задача о вычислении пути
Согласно физическому смыслу первой производной, производная функции в точке есть мгновенная скорость точки. Интегрируя в пределах от t1 до t2 получаем
Тогда путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью v(t) за отрезок времени [t1, t2] выражается интегралом
Пример 1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой = 2t+3t2(м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
Решение:
Пример 2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(6t2+2t) м/с, второе – со скоростью v2=(4t+5) м/с. На каком расстояния друг от друга они окажутся через 5 с?
Решение: Искомая величина есть разность расстояний, пройденных телами за 5 с.
|
|
|
Таким образом, S=S1-S2= 275-75=200 (м).
2. Задача о вычислении работы переменной силы
Пусть материальная точка под действием силы F движется по прямой. Если действующая сила постояна, а пройденный путь равен s, то как известно из курса физики, работа А этой F вычисляется по формуле: А= F*s
Работу переменной силы f(x) при перемещении по оси Оx материальной точки от x=a до x=b, находим по формуле:
Пример 1. Сила упругости F пружины, растянутой на 11 = 0,05 м, равна 3H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 12 =0,1 м?
Решение: Подставив данные в формулу закона Гука, получим: 3=k*0.05, т.е. k=60, следовательно, сила упругости выражается соотношением F=60x. Найдем работу переменной силы по формуле (2), полагая, что а=0; b=0,1:
Интегральная сумма Римана. Понятие определенного интеграла (по схеме Римана).
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
f(x)=kx; S = 
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 365; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!