Свойства средней арифметической величины и их практическое использование.
Наиболее распространённым видом средних величин является
средняя арифметическая. Она обладает рядом математических свойств, значение которых не только позволяет понять сущность средних, но и позволяет упростить расчёт средней величины (особенно в тех случаях, когда значения признака имеют достаточно громоздкий вид).
К основным математическим свойствам средней величины относятся следующие:
1. Произведение средней величины на сумму всех частот равно
сумме произведений индивидуальных значений признака на
соответствующие частоты
2.Сумма отклонений индивидуальных значений признака от
средней величины равна 0:
∑(x−x(ср))= 0 − для несгруппированных данных;
∑(x−x(ср))* f = 0 − для сгруппированных данных.
3.Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней величины меньше суммы квадратов их отклонений от любой другой постоянной величины (х0):
∑(x−x(ср))^2 меньше∑(x−x0)^2 − для несгруппированных данных;
∑(x−x(ср))^2 * f меньше∑(x−x0)^2 * f − для сгруппированных данных
4.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин
если xi = yi + zi, то xср = yср + zср .
5.Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) в А раз, то средняя уменьшается (увеличивается) в А раз
6. Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) на одно и то же число х0, то и средняя величина уменьшиться (увеличиться) на х0
|
|
|
7. Если все частоты ряда разделить (умножить) на одно и то же число b, то средняя не изменится.
Последние три свойства из перечисленных могут использоваться одновременно для упрощения расчетов, и тогда считается, что средняя рассчитывается по «способу моментов» или «методом отсчета от условного нуля».
В данном случае важен факт правильного выбора А (чаще всего это величина интервала) и х0 (чаще всего это середина какого-либо интервала).
Исчисление средней по «способу моментов» производится по формуле, вид которой меняется в зависимости от порядка применения свойств: 
или 
Мода и медиана, способы их вычисления и способы применения.
Мода и медиана относятся к структурным средним и применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения признака.
Мода (µ0) − это наиболее часто встречающаяся величина признака в вариационном ряду.
Например, стаж работы, лет, Х: 5, 2,10,15, 2, 5, 7, 8, 5. µ 0 = 5.
В дискретном ряду моду будет представлять то значение признака (та варианта), которое имеет наибольшую частоту.
Для расчета моды в интервальном ряду вначале определяется модальный интервал, т.е. интервал, имеющий наибольшую частоту.
Затем рассчитывают моду по формуле 
|
|
|
где xµ0 − начальная граница модального интервала,
iµ0 − ширина модального интервала,
fµo − частота модального интервала,
fµ0-1 − частота интервала, предшествующего модальному,
fµ0+1 − частота интервала, следующего за модальным.
При определении моды в интервальном ряду графическим способом на гистограмме внутри прямоугольника с наибольшей
частотой проводят две линии:
1 − соединяет его правый верхний угол с правым верхним углом предшествующего столбика.
2 − соединяет его левый верхний угол с левым верхним углом следующего.
Абсцисса их точки пересечения и есть мода.
Медиана (µе) – это величина варьирующего признака, которая
находится в середине ранжированного ряда.
Например, стаж работы, лет (х): 5, 2, 10, 15, 2, 5, 7, 8, 5.
В начале ранжируем ряд:
х: 2, 2, 5, 5, 5, 7, 8, 10, 15
µе = 5
Т.е. медиана делит ряд на 2 части, равные по численности.
Половина значений меньше (либо равны) медианы, а вторая – больше (либо равны). Если ряд состоит из нечетного количества уровней (вариант), то порядковый номер медианы в ранжированном ряду 
Если же ряд состоит из четного количества уровней, то медиана
определяется как средняя арифметическая из варианты под 
|
|
|
и варианты 
При определении медианы в дискретном ряду используют способ накопления частот. Частоты накапливают до тех пор, пока сумма накопленных частот (Sµe) не будет равна или больше половины суммы всех частот (Σf). Последняя накопленная частота и будет указывать то значение признака, которое является медианой.
В случае, если сумма накопленных частот составила ровно половину всех частот, медиана определяется как средняя из данного уровня и следующего за ним.
Для определения медианы в интервальном ряду вначале с помощью суммы накопленных частот определяют медианный интервал, а затем рассчитывают медиану по формуле
где Хµе − начальная граница медианного интервала;
iµe − ширина медианного интервала;
fµe − частота медианного интервала;
Sµe-1 − сумма накопленных частот интервала, предшествующего
медианному.
Для графического определения медианы используют кумуляту: последнюю ординату кумуляты делят пополам и через полученную точку проводят прямую параллельную оси абсцисс. Абсцисса точки пересечения этой прямой с кумулятой и есть медиана.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 519; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!