Первый закон Кирхгофа в операторной форме
По 1-му закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле
электрической цепи, в любой момент времени равна нулю:
m
∑i k (t )=0, (6.129)
k =1
где m — число ветвей, сходящихся в узле.
Пусть изображения каждого из токов i k (t ) по Лапласу имеет вид i k (t )G I k (p),
тогда в силу линейности преобразования Лапласа из (6.129) получим
m
∑I k ( p)=0. (6.130)
k =1
Соотношение (6.130) дает математическое выражение 1-го закона Кирхгофа в операторной форме.
Первый закон Кирхгофа в операторной форме: алгебраическая сумма
изображений токов, сходящихся в электрической цепи, равна нулю.
Примечание –Математическое выражение1-го закона Кирхгофа в операторнойформе (6.130) аналогично 1-му комплексному закону Кирхгофа (3.30) при синусоидальном токе.
Второй закон Кирхгофа в операторной форме
По 2-му закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура в любой момент времени равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:
n | m | |
∑u k =∑e k , | (6.131) | |
k =1 | k =1 |
где n — число пассивных элементов контура, m — число действующих в нем ЭДС. Для ветви, содержащей резистивные индуктивные и ёмкостные элементы,
|
|
напряжение | t | ||||||||||||||||||||
u k (t )= R k i k (t )+ L k | di (t ) | 1 | (6.132) | ||||||||||||||||||
dt | + u Ck (0)+ C k | ∫ik (t )dt . | |||||||||||||||||||
k | |||||||||||||||||||||
0 | |||||||||||||||||||||
Полагая i k (t )G I k ( p), e(t )G E(p) и повторяя те же рассуждения, что и при выводе | |||||||||||||||||||||
операторных законов Ома (6.127), на основании (6.131) и (6.132) получим | |||||||||||||||||||||
n | R I ( p)− L i (0)+ pL I ( p)+ | u Ck (0) | + | 1 | I ( p)= | m | E ( p), | ||||||||||||||
∑ |
| ∑ | |||||||||||||||||||
k k | k L k | k k | p | pC k | k | k | |||||||||||||||
k =1 | k =1 |
откуда следует уравнение
160
|
Z R (p)= R , |
n | 1 | ( p)= | m | ( p)+ L i | (0 )−
| u | Ck | (0 ) | ||||||||||||||||
R | + pL | + | I | k | E | k | Lk |
| ||||||||||||||||
k | k | pC k | k | p | ||||||||||||||||||||
∑k=1 | ∑k=1 | |||||||||||||||||||||||
или | ||||||||||||||||||||||||
n | m | |||||||||||||||||||||||
∑Z k ( p)I k ( p)=∑E k * ( p), | (6.133) | |||||||||||||||||||||||
где | k =1 | k =1 | ||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||
Z | k | ( p)= R + pL + | (6.134) | |||||||||||||||||||||
k | k | pC k
| ||||||||||||||||||||||
— операторное сопротивление ветви контура с номеромk , | ||||||||||||||||||||||||
* ( ) | ( ) | ( ) u Ck (0) | (6.135) | |||||||||||||||||||||
E k p = E k p + L k i Lk 0− | ||||||||||||||||||||||||
p | ||||||||||||||||||||||||
— приведенная ЭДС в этой ветви.
Соотношение (6.133) дает математическое выражение 2-го закона Кирхгофа в
операторной форме.
Второй закон Кирхгофа в операторной форме: в замкнутом контуреэлектрической цепи алгебраическая сумма изображений напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме изображений ЭДС, действующих в контуре.
Примечание –Математическое выражение2-го закона Кирхгофа в операторнойформе (6.133) аналогично комплексному 2-му закону Кирхгофа (3.32) при синусоидальном токе.
|
|
Последовательность расчета переходных процессов в цепи операторным методом
При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом необходимо придерживаться следующей последовательности действий:
4) для исходной (послекоммутационной) схемы цепи составить эквивалентную ей операторную схему, что означает замену ЭДС и токов источников, т.е. функций e(t ) и j( t ) ,их Лапласовыми образами E(p)и J (p),а параметров R , L и C пассивных
элементов — их операторными сопротивлениями Z L (p)= pL и
Z C ( p)=1 ( pC ). Указанные преобразования следует производить согласно таблице 6.5.
Таблица 6.5 – Основные элементы цепи и операторные схемы замещения
Тип
элемента
элементы Активные |
Элемент цепи | Исходная схема | Операторная схема замещения | |
замещения | |||
Источник ЭДС | |||
Источник тока | |||
161
Продолжение таблицы 6.5
Тип | Элемент цепи | Исходная схема | Операторная схема замещения | |
элемента | замещения | |||
Резистивный | ||||
Пассивныеэлементы | ||||
Индуктивный | ||||
Ёмкостный | ||||
составить полную систему уравнений на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа в операторной форме;
найти решение системы уравнений относительно изображений искомых величин, например, токов I ( p);
для полученных изображений искомых величин выполнить обратное преобразование Лапласа и определить выражения для оригиналов, например, токов i(t )
как функций времени.
Примечание –Поскольку законы Кирхгофа в операторной форме аналогичныкомплексным законам Кирхгофа, то при расчете переходных режимов цепи операторным методом можно использовать методы анализа электрических цепей синусоидального тока (метод контурных токов, метод узловых потенциалов и др.), преобразовав предварительно соответствующие формулы к операторной форме записи.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 274; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!