Составление характеристического уравнения путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном токе
Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:
3) записывается входное сопротивление цепи Z вх ( j ω) на переменном
синусоидальном токе; | ||||
2) | произведение j ω в выражении для Z вх ( j ω) заменяется на p ; | |||
3) | полученное выражение Z вх (p) приравнивается к нулю. | |||
Уравнение | ||||
Z вх (p)=0 | (6.85) | |||
совпадает с характеристическим.
146
Примечание –Входное сопротивление Z вх ( j ω) может быть записано
относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Следует отметить, что данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить предварительное развязывание.
Для схемы цепи на рисунке 6.12 относительно зажимов источника
1 |
| |||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||
+ j ω L3 + j ω C
| ||||||||||||||||||||||||||||||
R2 R3 |
| |||||||||||||||||||||||||||||
Z | вх | ( j ω)= R + | 3 |
| . | |||||||||||||||||||||||||
1 |
| |||||||||||||||||||||||||||||
1 |
| R2+ R3+ j ω L3 | + | |||||||||||||||||||||||||||
Заменив j ω на | j ω C3 | |||||||||||||||||||||||||||||
p и приравняв согласно(6.85)полученное выражение к нулю, | ||||||||||||||||||||||||||||||
запишем | ||||||||||||||||||||||||||||||
1
|
| |||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||
R2 R3 + pL3 + pC | 3 |
| ||||||||||||||||||||||||||||
Z | ( p)= R + |
| = 0 | |||||||||||||||||||||||||||
вх | 1 |
| ||||||||||||||||||||||||||||
1 | R | + R | + pL + | |||||||||||||||||||||||||||
2
| 3 | 3 | pC3 | |||||||||||||||||||||||||||
или | ||||||||||||||||||||||||||||||
(R + R )p2+ C | (R R + R R + R R )p +(R + R )=0. | |||||||||||||||||||||||||||||
L C | (6.86) | |||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 2 | 3 | 1 | 3 | 1 | 2 |
Алгебраическое уравнение (6.86) совпадает с уравнением (6.84) и при p = λ также идентично характеристическому уравнению (6.77).
Метод переменных состояния
Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему уравнений1-го порядка, определяющую энергетический режим цепи. В более узком смысле уравнениями состояния называют систему дифференциальных уравнений1-го порядка,разрешенную относительно производных, т.е. систему уравнений, представленную в нормальной форме,или форме Коши.
Метод анализа переходных процессов, основанный на составлении и решении системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, называется методом переменных состояния.Искомыми величинами в уравнениях этого метода являются функции,характеризующие энергетический режим цепи. Известно, что в линейных электрических цепях указанный режим полностью определяется токами в индуктивностях и напряжениями на ёмкостях, поэтому функции i L (t ) и u C (t ) в рассматриваемом методе
|
|
являются искомыми величинами и называются переменными состояния электрической цепи.
Примечание –Переменные состояния образуют систему из наименьшего числавеличин , полностью определяющих реакцию всех ветвей цепи при заданных начальных условия и приложенных при t ≥ 0 внешних воздействиях (источниках электрической энергии). Общее число уравнений 1-го порядка, записанных в нормальной форме, т.е. число переменных состояния, очевидно, совпадает с порядком n дифференциального уравнения цепи.
147
Уравнения переменных состояния
Обозначим переменные состояния буквами x1, x2,K, x n , тогда
дифференциальные уравнения относительно этих переменных в нормальной форме запишутся так:
dx1 | = x1′= a11 x1+ a12 x2+K+ a1n x n + f1(t ); | |||||||||||||
dt | ||||||||||||||
dx2 | ′ | + a22 x2+K+ a2n x n + f2(t ); | ||||||||||||
| = x2= a21x1 | (6.87) | ||||||||||||
dt | ||||||||||||||
…………………………………………….. | ||||||||||||||
dx n | ′ | + a n2 x2+K+ a nn x n + f n (t ), | ||||||||||||
| = x n = a n1x1 | |||||||||||||
dt | ||||||||||||||
где a ij ( i, j = | ) — | элементы | квадратной | n × n –матрицы, | определяемые | |||||||||
1,n | ||||||||||||||
геометрической структурой цепи и | параметрами | ее элементов, f i (t ) ( i = | ) — | |||||||||||
1,n | ||||||||||||||
элементы вектора, также зависящие от структуры цепи и параметров действующих в ней источников электрической энергии.
4) рамках классического метода анализа переходных процессов закон изменения тока i(t ) в любой ветви или напряжения u(t ) между ее выводами определяют как
решение дифференциального уравнения n - го порядка (6.5), т.е. уравнения
a n | d n x(t ) | + a n−1 | d n −1x(t ) | +K + a1 | dx(t ) | + a0 x(t )= f (t ), | ||||
dt n | dt n −1 | dt | ||||||||
где x(t ) = i(t ) или x(t ) = u(t ). Покажем, | что описание переходных процессов в виде | |||||||||
одного дифференциального уравнения (6.5) и в виде системы дифференциальных
уравнений в нормальной форме (6.87) эквивалентны. | ||||||||||||||||
Положим | dx(t ) | d 2 x(t ) | d n−1 x(t ) | |||||||||||||
x (t )= x(t ), | x | 2 | (t )= | , | x (t )= |
| , | x | n | (t )= | . | |||||
1 | dt | 3 | dt 2 | dt n−1 | ||||||||||||
Дифференциальное уравнение (6.5) тогда сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений 1-го порядка:
dx1(t ) | = x2(t ); | dx2(t ) | = x3 | (t );K; | dx n−1(t ) | = x n (t ); | ||||||||||||||||
dt | dt | dt | ||||||||||||||||||||
dx n (t ) | a0 | x1 | (t )− | a1 | x2 | (t )−K− | a n−1 | x n (t )+ | f (t ) | (6.88) | ||||||||||||
| = − | , | ||||||||||||||||||||
| a n | a n |
| a n |
| |||||||||||||||||
dt | a n | |||||||||||||||||||||
математическое выражение которой аналогично (6.87).
Уравнения (6.88) можно записать в матричной форме:
x′(t ) | 0 | |||
1 | ||||
x2 t
M = M ′ ( ) 0 x n−1 t a x′(t )−0
n a n′()0
или
1 | 0 | K | 0 | ||||
0 | 1 | K | 0 | ||||
M | M | M | M | ||||
0 | 0 | K | 0 | ||||
− | a1 | − | a2 | K | − | a n−2 | |
a n | a n | a n | |||||
0
0
M
1
− a n−1 a n
x (t ) | 0 | ||||||||||||
| 1 | (t ) | |||||||||||
0 | |||||||||||||
x | 2 | ||||||||||||
|
| M |
| f (t ) | |||||||||
| M |
| + | ||||||||||
x | (t ) | 0 | |||||||||||
n−1 | 1 | ||||||||||||
a |
| ||||||||||||
| xn (t ) | ||||||||||||
n |
148
Здесь X и X ′ | X ′= AX + BV . | (6.89) | ||||||||
— n ×1 – матрицы соответственно переменных состояния и их | ||||||||||
первых производных по времени ( n — число переменных состояния): | ||||||||||
X =[x1(t) | x2(t ) | T | X | ′ | ′ | ′ | ′ | T | (6.90) | |
K x n (t )] , | =[x1(t ) | x2(t )K | x n (t )], |
Q — квадратная n × n – матрица, определяемая геометрической структурой цепи и
параметрами ее элементов, B — прямоугольная n × m –матрица связи между
источниками и переменными состояния ( m — число источников энергии), V —
m ×1–матрица внешних воздействий(ЭДС и токов источников),называемая также вектором входных величин.
Начальные условия для уравнения (6.89) задаются вектором начальных значений
X (0)=[x1(0) x2(0) K x n (0)]T , (6.91)
где символ «T » обозначает операцию транспонирования матрицы.
Искомые токи и напряжения в цепи, называемые также выходными величинами,
могут быть выражены через переменные состояния. Представим произвольную
совокупность выходных величин y1 , y2 , K , y k в виде столбцевой k ×1 – матрицы
Y =[y1(t) y2(t ) K y k (t )]T . (6.92)
Связь выходных величин (6.92), переменных состояния (6.90) и входных величин может быть записана в матричной форме уравнением
Y = CX + DV , (6.93)
где C — прямоугольная k × n –матрица связи переменных состояния с
выходными (искомыми) величинами ( k — число этих величин), D — прямоугольная
k × m –матрица непосредственной связи входных и выходных величин.
Матричные уравнения (6.89) и (6.93), образующие совокупность системы дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно переменных состояния и системы уравнений для выходных величин, составляют полную систему уравнений для анализа переходных процессов в цепи методом переменных состояния. Эти уравнения называются уравнениями состояния.
В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим схему цепи на рисунке 6.13, в которой требуется определить токи i2 и i3 .
Рисунок 6.13 – Схема, иллюстрирующая применение метода переменных состояния
На основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа для данной цепи запишем:
i1− i2− i3+ J =0; | (6.94) | |||||
i R + L | di1 | + u | C 3 | = E ; | (6.95) | |
dt | ||||||
1 11 |
149
i2 R2− u C 3=0. | (6.96) | |||||||||||||||||||||||
Поскольку i3 = C3 du C 3 dt , | то | уравнения (6.94) и (6.95) | с учетом | |||||||||||||||||||||
соотношения (6.96) перепишем в виде | ||||||||||||||||||||||||
| du C 3 | = − | 1 | u | C 3 | + | 1 | i | + 0 ⋅ E + | 1 | J ; | |||||||||||||
dt | C R | C | C | |||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||
di1 | 3 | 2 | R1 | 3 | 3 | |||||||||||||||||||
| = − | 1 | u | C 3 | − |
| i + | 1 | E +0⋅ J | |||||||||||||||
dt | L | L | ||||||||||||||||||||||
L | 1 | |||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 1 |
или в матричной форме:
1 | 1 | 0 | ||||||||||||||||||
u C′3 |
| − |
|
|
| u C 3 |
|
| ||||||||||||
C R | C | |||||||||||||||||||
| ′ | = | 1 | 2 | R | + 1 | ||||||||||||||
i | 3 | 3 | i | |||||||||||||||||
|
|
| − | − | 1 |
|
|
| ||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||
L1 | L1 | |||||||||||||||||||
L1 |
Если положить, что
1 | |||||
|
| E | |||
C3 | (6.97) | ||||
. | |||||
0 | J | ||||
1 | 1 | 0 | 1 | |||||||||||||||||||
− |
|
|
| u C 3 |
|
|
|
| E | |||||||||||||
C R | C | , | C | , | ||||||||||||||||||
A = | 1 | 2 | R1 | , | X = i | B =1 | 3 | , | V = J | |||||||||||||
3 | 3 | |||||||||||||||||||||
| − | − |
| 1 |
|
| 0 |
|
| |||||||||||||
L1 | L1 | |||||||||||||||||||||
L1 |
то матричное уравнение (6.97) представляет уравнение состояния (6.89) для определения переменных u C 3 и i1 . Матричное уравнение вида (6.93), т.е. уравнение для
определения выходных величин i2 | и i3 следует из соотношений (6.94) и (6.96): | ||||||||||||||||||
1 |
| ||||||||||||||||||
i |
|
| 0 u |
| 0 0 E | ||||||||||||||
R | C | 3 | |||||||||||||||||
| 2 | = |
| + | . | ||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||
i3 | − | 1 |
| 1i1 0 1 J | |||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
R2 |
| ||||||||||||||||||
Здесь следует положить |
| ||||||||||||||||||
1 | |||||||||||||||||||
i2 |
|
| 0 | 0 0 | |||||||||||||||
, | R | ||||||||||||||||||
Y = | C = | 2 | , | D = | . | ||||||||||||||
i3 | − | 1 | 1 | 0 1 | |||||||||||||||
R | |||||||||||||||||||
Вектор начальных значений | 2 | ||||||||||||||||||
X [0]=[u C3(0)i1(0)]T=[JR2 | 0]T . |
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 363; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!