Ток и напряжение при параллельном соединении сопротивления, индуктивности и ёмкости. Треугольник токов
Для цепи синусоидального ток с параллельным соединением сопротивления R , индуктивности L и ёмкости C уравнение электрического состояния может быть получено на основании 1-го закона Кирхгофа, записанного в комплексной форме:
| I&= I&R + I&L + I&C , | (3.81) |
| где I&R , I&L и I&C — комплексы токов в элементах R , L и C , I& | — комплексный ток в |
| неразветвленной части цепи (рисунок 3.15, а). |
а) б)
Рисунок 3.15 – Схема с параллельным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости (а) и треугольник токов (б)
Обозначим I&а = I&R , I&р = I&L + I&C и перепишем уравнение (3.81) в форме
| I&= I&а + I&р . | (3.82) |
| Составляющую I&а , совпадающую по фазе с напряжением U& , называют активной | |
| составляющей тока или активным током,а составляющую | I&р ,сдвинутую |
относительно напряжения на угол ± π 
2 , — реактивной составляющей тока или реактивным током.
70
Если комплексный ток и комплексное напряжение заданы в показательной форме равенствами
| то токи I&R , I&L и I&C | I& = Ie j ψ i , | U& = Ue j ψ u , | ||||||||||||||||||||||||
| в формуле (3.81) можно представить следующим образом: | ||||||||||||||||||||||||||
| I& | = gU& | = gUe j ψ u = I | R | e j ψ u , | I& | =− jb U&=− jb Ue j ψ u =− jI | L | e j ψ u , | ||||||||||||||||||
| R | L | L | L | |||||||||||||||||||||||
| I& | = jb U& | = jb Ue j ψ u = jI | C | e j ψ u . | ||||||||||||||||||||||
| C | C | C | ||||||||||||||||||||||||
| Активный и реактивный ток, т.е. величины I&а | и I&р , тогда, равны: | |||||||||||||||||||||||||
| I& | = I& | = I | а | e j ψ u , | I& | = I& | + I& | =− j(I | L | − I | C | )e j ψ u =− jI | р | e j ψ u , | (3.83) | |||||||||||
| а | R | р | L | C | ||||||||||||||||||||||
| откуда следуют соотношения для действующих значений активного и реактивного тока: | |
| I а = Ug , I р = I L − I C = U (b L − b C )= Ub . | (3.84) |
| Подставляя формулы (3.83) в уравнение (3.82) и учитывая комплексное | |
| представление тока I& , получим | |
| Ie j ψ i =(I а − jI р )e j ψ u | |
| или | |
| Ie− j ϕ = I а − jI р , | (3.85) |
где ϕ =ψ u −ψ i — угол сдвига фаз между напряжением и током. На основании формул Эйлера (3.16) выражение (3.85) представимо в виде
| Ie− j ϕ = I cos ϕ − jI sin ϕ . | (3.86) |
Из сравнения правых частей формул (3.85) и (3.86) следует:
I а = I cos ϕ ,
Полный ток I , выражением:
| I р | I | L | − I | C | |||||||||
|
|
|
|
| . | (3.87) | ||||||||
| I р = I sin ϕ , ϕ = arctg | = arctg | I а | |||||||||||
| I а | |||||||||||||
| равный | модулю комплексного | тока | (3.85), | определяется | |||||||||
| I = | I R2+(I L − I C )2= I а2+ I р2. | (3.88) | |||||||||||
Формулам (3.87), (3.88) можно сопоставить прямоугольный треугольник с катетами I а , I р и гипотенузой I (рисунок 3.15, б). Этот треугольник называется
треугольником токов.
Построим для уравнения (3.81) векторную диаграмму. Как и в случае последовательной цепи, здесь возможны три варианта векторных диаграмм и, следовательно, три режима работы электрической цепи. Основные сведения об этих режимах представлены в таблице 3.5, а соответствующие им векторные диаграммы — на рисунке 3.16.
| Таблица 3.5 – Режимы | работы цепи с | параллельным соединением сопротивления, | |||
| индуктивности и ёмкости | |||||
| Режим работы | Активно- | Активно- | Активный | ||
| электрической цепи | индуктивный | ёмкостный | (резонансный) | ||
| Соотношение между | I L > I C | I L < I C | I L = I C | ||
| I L и I C | |||||
| Соотношение между | b L > b C | b L < b C | b L = b C | ||
| b L и b C | |||||
71
Продолжение таблицы 3.5
| Режим работы | Активно- | Активно- | Активный |
| электрической цепи | индуктивный | ёмкостный | (резонансный) |
| Сила тока и | i = I m sin(ω t +ψ i ), | u = U m sin(ω t +ψ u ) | |||
| напряжение | |||||
| Соотношение между | ψ i <ψ u , | ψ i >ψ u , | ψ i =ψ u , | ||
| начальными фазами, | ϕ =ψ u −ψ i > 0 | ϕ =ψ u −ψ i < 0 | ϕ =ψ u −ψ i = 0 | ||
| сдвиг фаз | |||||
Из таблицы 3.5 следует, что при осуществлении условия b L = b C ( I L = I C ) в цепи
и параллельным соединением элементов R , L и C не наблюдается сдвига фаз между общим напряжением и током (ϕ =ψ u −ψ i =0).Данный режим работы параллельнойцепи называется резонансом токов.
а) б) в)
Рисунок 3.16 – Векторные диаграммы для активно- индуктивного (а), активно-ёмкостного (б) и резонансного (в) режимов работы параллельной цепи
3.11 Мощность в цепи синусоидального тока. Баланс мощностей Энергетические процессы в цепях переменного тока характеризуются мгновенной
мощностью,равной произведению мгновенных значений силы тока и напряжения:
| p = iu . | (3.89) |
Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника в общем случае сдвинуты
по фазе на угол ϕ . Не нарушая общности, примем начальную фазу силы тока ψ i = 0 , тогда из (3.12) следует, что начальная фаза напряжения ψ u = ϕ . При таком условии мгновенные значения напряжения и тока равны:
| u = U m sin(ω t + ϕ ), i = I m sin ω t . | (3.90) |
| Из (3.89) и (3.90) после несложных преобразований находим | |
| p = UI cos ϕ −UI cos(2ω t + ϕ ). | (3.91) |
Из этого выражения видно, что мгновенная мощность в цепи синусоидального тока имеет постоянную составляющую и переменную, изменяющуюся во времени с удвоенной частотой.
Активная мощность
Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью:
72
| P = | 1 | ∫T | p(t )dt . | (3.92) | |
| T | |||||
| 0 | |||||
Единица измерения активной мощности: [ P ] = 1Вт (ватт). Для цепи синусоидального тока после подстановки в формулу (3.92) выражения для мгновенной мощности (3.91) и интегрирования получим:
| P = UI cos ϕ . | (3.93) |
Учитывая соотношения (3.76), (3.79) (3.84) и (3.87), на основании (3.93) можно доказать , что активная мощность может быть рассчитана также по одной из следующих формул:
| P = I U , | P = IU | а | , P = I 2 R , P = U 2 g . | (3.94) | |
| а |
Примечание –Физический смысл активной мощности заключается в том,что онахарактеризует ту энергию, которая передается от источника к приемнику и безвозвратно преобразуется в другие формы энергии(например,в тепловую).
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 299; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!