Комплексная форма законов Кирхгофа
Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как и цепей постоянного тока, определяют законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме
По 1-му закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равна нулю:
p | |
∑ | |
i k =0, | (3.69) |
k=1
где p — число ветвей, сходящихся в узле. Используя символическое представление
каждого из токов i k , определяемое выражением i k = Im{ | 2I&k e j ω t }, формулу (3.69) | |
запишем так: | ||
p | ||
∑ | ||
I&k | = 0 . | (3.70) |
k =1
Соотношение (3.70) дает математическое выражение 1-го закона Кирхгофа в комплексной форме.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов в любомузле цепи синусоидального тока равна нулю.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме
По 2-му закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура в каждый момент времени равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:
n | m | ||||
∑ | u k = | ∑ | e k , | (3.71) | |
k =1 | k =1 |
где n — число пассивных элементов контура, m — число действующих в нем ЭДС. Используя символические представления напряжения u k и ЭДС e k , определяемые
выражениями u k = Im{ 2U& k e j ω t } и e k = Im{ 2E&k e j ω t }, формулу (3.71) запишем так:
|
|
n | m | n | m | |||
∑U& k =∑E&k , | ∑I&k | Z | k =∑E&k , | (3.72) | ||
k =1 | k =1 | k =1 | k =1 |
где Z k — комплексное сопротивление k - й ветви контура.
Соотношение (3.72) дает математическое выражение 2-го закона Кирхгофа в комплексной форме.
67
Второй закон Кирхгофа : в замкнутом контуре электрической цепиалгебраическая сумма комплексных напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме комплексных ЭДС, действующих в контуре.
Ток и напряжение при последовательном соединении сопротивления, индуктивности и ёмкости. Треугольник напряжений
Для цепи синусоидального тока с последовательным соединением сопротивления R ,индуктивности L и ёмкости C уравнение электрического состояния может бытьполучено на основании 2-го закона Кирхгофа, записанного в комплексной форме:
U&= U& R +U& L +U&C , | (3.73) |
где U& R , U& L и U&C — комплексные напряжения на элементах | R , L и C , U&— |
комплексное напряжение источника (рисунок 3.13, а). |
а) б)
|
|
Рисунок 3.13 – Схема с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости (а) и треугольник напряжений (б)
Обозначим U& а = U R , U& р = U& L + U&C и перепишем уравнение (3.73) в форме
U&= U& а +U& р . | (3.74) | |
Составляющую U& а , совпадающую по | фазе с током | I&,называют активной |
составляющей напряжения или активным | напряжением, | а составляющую U& р , |
сдвинутую относительно тока на угол ± π 2 , — реактивной составляющей напряжения или реактивным напряжением.
Если комплексный ток и комплексное напряжение заданы в показательной форме равенствами
I& = Ie j ψ i , U&= Ue j ψ u ,
то напряжения U& R , U& L и U&C в формуле (3.73) можно представить следующим образом:
U& R = RI&= RIe j ψ i | = U R e j ψ i , U& L = jX L I&= jX L Ie j ψ i | = jU L e j ψ i , | |
U&C =− jX C I&=− jX C Ie j ψ i =− jU C e j ψ i . | |||
Активное и реактивное напряжение, т.е. величины U& а и U& р , тогда, равны: | |||
U& а = U& R = U а e j ψ i , | U& р = U& L + U&C = j(U L −U C )e j ψ i | = jU р e j ψ i , | (3.75) |
откуда следуют соотношения для действующих значений активного и реактивного напряжений:
68
U а = IR , U р = U L −U C = I (X L − X C )= IX . | (3.76) | ||
Подставляя формулы (3.75) в уравнение (3.74) и учитывая комплексное
| |||
представление напряжения U& , получим | |||
Ue j ψ u =(U а + jU р )e j ψ i | |||
или | |||
Ue j ϕ = U а + jU р , | (3.77) |
где ϕ =ψ u −ψ i — угол сдвига фаз между напряжением и током. На основании формул
Эйлера (3.16) выражение (3.77) представимо в виде | |
Ue j ϕ = U cos ϕ + jU sin ϕ . | (3.78) |
Из сравнения правых частей формул (3.77) и (3.78) следует:
U р | U | L | −U | C | |||||
|
|
|
| ||||||
Uа = U cos ϕ , U р = U sin ϕ , ϕ = arctg | = arctg | U а | . | ||||||
U а |
|
Полное напряжение U , равное модулю комплексного напряжения определяется выражением
U = U R2+(U L −U C )2= U а2+U р2.
(3.79)
(3.77),
(3.80)
Формулам (3.79), (3.80) можно сопоставить прямоугольный треугольник с катетами U а , U р и гипотенузой U (рисунок 3.13, б). Этот треугольник называется
треугольником напряжений.
Построим для уравнения (3.73) векторную диаграмму. В зависимости от соотношения между величинами U& L и U&C возможны три варианта векторной
диаграммы и, следовательно, три режима работы данной электрической цепи . Основные сведения об этих режимах приведены в таблице 3.4, а соответствующие им векторные диаграммы — на рисунке 3.14.
|
|
Таблица 3.4 – Режимы | работы цепи | с | последовательным | соединением сопротивления, | ||||
индуктивности и ёмкости | ||||||||
|
| |||||||
Режим работы | Активно- | Активно- | Активный | |||||
электрической цепи | индуктивный | ёмкостный | (резонансный) | |||||
Соотношение между | U L > U C | U L < U C | U L = U C | |||||
U L и U C | ||||||||
Соотношение между | X L > X C | X L < X C | X L = X C | |||||
X L и X C | ||||||||
Сила тока и | i = I m sin(ω t +ψ i ), | u = U m sin(ω t +ψ u ) | ||||||
напряжение | ||||||||
Соотношение между | ψ i <ψ u , | ψ i >ψ u , | ψ i =ψ u , | |||||
начальными фазами, | ϕ =ψ u −ψ i | > 0 | ϕ =ψ u −ψ i < 0 | ϕ =ψ u −ψ i = 0 | ||||
сдвиг фаз | ||||||||
Из таблицы 3.4 следует, что при осуществлении условия | X L = X C (U L = U C )в | |||||||
цепи с последовательным соединением элементов R , L и C не наблюдается сдвига | ||||||||
фаз между общим | напряжением | и | током (ϕ =ψ u | −ψ i = 0 ), так что влияния |
индуктивности и ёмкости оказываются взаимно скомпенсированы и цепь в отношении
69
протекающего через нее тока ведет себя как чисто активная нагрузка. Данный режим работы последовательной цепи называется резонансом напряжений.
а) б) в)
Рисунок 3.14 – Векторные диаграммы для активно- индуктивного (а), активно-ёмкостного (б) и резонансного (в) режимов работы последовательной цепи
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 646; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!