Равномерный закон распределения случайной величины
Плотность распределения случайной величины при равномерном законе распределения имеет вид:
(2.7)
Функция распределения случайной величины при равномерном законе распределения имеет вид:
(2.8)
Параметры равномерного распределения:
(2.9)
Равномерное распределение случайной величины на отрезке [0,1] обозначается как U[0,1] и называется стандартным равномерным распределением.
Нормальный (Гауссовский) закон распределения случайной величины
Плотность распределения случайной величины при нормальном (Гауссовском) законе распределения имеет вид:
(2.10)
Функция распределения случайной величины с нормальным законом распределения равна:
(2.11)
Параметры нормального закона распределения:
M(x)=a, D(x)=σ2 (2.12)
Нормальное распределение с параметрами а=0, σ2=1 называется стандартным или нормированным N(0,1), а его функция распределения называется функцией (преобразованием) Лапласа:
(2.13)
Нормальный закон распределения используют для аппроксимации распределения случайных величин когда их значение изменяется под действием многочисленных случайных факторов. Каждый из многочисленных случайных факторов имеет малое влияние на суммарное отклонение величины от ее среднего значения. Этому закону подчиняется большинство непрерывных случайных величин в механических устройствах, например, процесс физического изнашивания деталей, отклонения в размерах деталей, ошибки измерений размера деталей, и т. п.
|
|
|
Показательный (экспоненциальный) закон распределения случайной величины
Плотность распределения случайной величины при экспоненциальном (показательном) законе распределения имеет вид:
(2.14)
Функция распределения случайной величины с экспоненциальным законом распределения имеет вид:
(2.15)
У экспоненциального закона распределения имеется только один параметр –λ, через который можно определить математическое ожидание и дисперсию:
(2.16)
Пусть время безотказной работы имеет экспоненциальное распределение. В этом случае функция надежности R(t) – это вероятность безотказной работы устройства в течение времени t.
(2.17)
Из формулы (2.17) следует, что вероятность безотказной работы устройства зависит только от параметра λ и длительности интервала времени t. Вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t никак не зависит от времени предшествующей работы.
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения студентами
Задача 1.
В результате испытаний на надежность получены данные о наработке до первого отказа , см. табл.2.1. Необходимо определить p(t) и q(t) при t=10, 20,30….90 ч.
Таблица 2.1.
| Δti,час. | nо | Δti,час. | nо | Δti,час. | nо |
| 0-10 | 10 | 30-40 | 2 | 60-70 | 1 |
| 10-20 | 20 | 40-50 | 2 | 70-80 | 0 |
| 20-30 | 15 | 50-60 | 0 | 80-90 | 0 |
Задача 2.
В результате испытаний на надежность образцов оборудования, которые прошли предварительную 10-часовую приработку, получены данные наработки до первого, сведенные в табл.2.2. Необходимо построить графики p(t) и q(t).
Таблица 2.2.
| Δti,час. | nо | Δti,час. | nо | Δti,час. | nо |
| 0-20 | 30 | 60-80 | 5 | 120-130 | 1 |
| 20-40 | 15 | 80-100 | 3 | - | - |
| 40-60 | 5 | 100-120 | 1 | - | - |
Задача 3.
На испытание поставлено 10 однотипных изделий. Получены следующие значения ti (ti - время безотказной работы i-го изделия):
t1 =100 час.; t2=700 час.; t3 =800 час.; t4=600 час.; t5=500 час.; t6=700 час.; t7=900 час.; t8=800 час; t9=1000 час; t10=900 час. Определить p(t) и q(t).
|
|
|
Задача 4.
На испытание поставлено одинаковых 1000 изделий. За время t=10000 час. вышло из строя 900 изделий. Зв последующий интервал времени 10000-20000 час. вышло из строя еще 100 изделий. Необходимо вычислить p(t) при t=10000 час. и t=20000 час
Задача 5.
В результате испытаний на надежность получены данные о наработке до первого отказа , см. табл.2.3. Необходимо определить p(t) и q(t) при t=10, 20,30….90 ч.
Таблица 2.3.
| Δti,час. | nо | Δti,час. | nо | Δti,час. | nо |
| 0-10 | 20 | 30-40 | 2 | 60-70 | 2 |
| 10-20 | 10 | 40-50 | 1 | 70-80 | 0 |
| 20-30 | 5 | 50-60 | 0 | 80-90 | 0 |
Задача 6.
В результате испытаний на надежность образцов оборудования, которые прошли предварительную 100-часовую приработку, получены данные наработки до первого, сведенные в табл.2.4. Необходимо построить графики p(t) и q(t).
Таблица 2.4.
| Δti,час. | nо | Δti,час. | nо | Δti,час. | nо |
| 0-20 | 20 | 60-80 | 5 | 120-130 | 1 |
| 20-40 | 15 | 80-100 | 3 | - | - |
| 40-60 | 5 | 100-120 | 1 | - | - |
Задача 7.
На испытание поставлено 10 однотипных изделий. Получены следующие значения ti (ti - время безотказной работы i-го изделия):
t1 =10 час.; t2=70 час.; t3 =80 час.; t4=60 час.; t5=50 час.; t6=70 час.; t7=90 час.; t8=80 час; t9=100 час; t10=90 час. Определить p(t) и q(t).
Задача 8.
На испытание поставлено одинаковых 100 изделий. За время t=1000 час. вышло из строя 90 изделий. Зв последующий интервал времени 10000-20000 час. вышло из строя еще 10 изделий. Необходимо вычислить p(t) при t=10000 час. и t=20000 час
|
|
|
ЛИТЕРАТУРА
1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей.— 10-е изд., —М.:«Академия», 2005.— 576 с.
2. Куликов Г. М.,Косенкова И. В.,Нахман А. Д. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Сборник задач Тамбов : Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2010. – 80 с.
Дата добавления: 2019-07-17; просмотров: 262; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!