Комментарии к Рабочей книге 5

Золотые пропорции, показанные на пятиугольнике, определяют пропорции этой древней маски Гермеса.

Иоганн Кеплер, сформулировавший законы планетарного движения, говорил: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами: теоремой Пифагора и делением отрезка в среднем и крайнем отношении, т.е. ф, Золотым сечением. Первое сокровище можно сравнить с мерой золота, а второе - с драгоценным камнем».

Из-за искажения перспективы, которое неизбежно присутствует на фотографии, мы можем только грубо указать но несколько основных пропорций ф. Но все это здание базируется на отношениях фи V2.

Многие великие философские, научные и эстетические размышления окружают эту пропорцию с того самого времени, когда человечество впервые начало раздумывать о геометрических формах этого мира. Ее присутствие можно обнаружить в сакральном искусстве Египта, Индии, Китая, в исламских и других традиционных цивилизациях. Она играет главную роль в греческом искусстве и архитектуре; она скрывается в готических монументах средневековья и открыто и торжественно возникает вновь в эпоху Ренессанса. Хотя она и охватывает многие аспекты природы, которые являются источником вдохновения для художников, было бы неверно говорить о том, что Золотое сечение можно встретить повсюду в природе. Но можно сказать, что там, где присутствует усиление функции или особая красота и гармония формы, можно найти Золотое сечение. Оно напоминает о связи созданного мира с совершенством его источника и о потенциальной будущей эволюции этого мира.

Гробница Петосириса

Эта египетская гробница птолемеевского периода была открыта в 1919 году и раскопана под руководством Густава Лефевра, который опубликовал свои находки в 1924 году. Гробница расположена около города Гермополиса, который является городом Тота, в некрополе, недалеко от подземного кладбища священных ибисов, птицы, посвященной Тоту. Она была построена около 300 года до н.э. для Пе- тосириса и его семьи, включая его отца, отчима, братьев, жену и детей. Все мужчины этой семьи носили титулы «Великий из пяти» и «Мастер престола», которые являются титулами Великого жреца Тота из Гермополиса.

Имя Петосирис означает «подарок Осириса». Строитель этой гробницы был, очевидно, исключительным человеком, поскольку спустя полвека после его смерти он причислялся к Имхотепу и Сыну Хапу как богоподобный мудрец, и его гробница была местом паломничества.

Барельеф с восточной стены часовни гробницы.

Геометрический анализ расположенного горизонтально прямоугольника с помощью высоты ВС, равной единице измерения. Из точки С проводится дуга радиусом СВ до точки О, и аналогичным образом другая дуга из точкиАрадиусом АО, при этом F/является Золотым сечением горизонтального прямоугольника.

По теореме Пифагора:

(сторона вписанного в окружность пятиугольника с радиусом равным 1)

(сторона описанного вокруг окружности пятиугольника с радиусом равным 1)

Также 1,17557 -I- 1,453085 = 2,628655, что представляет собой сторону прямоугольника EE'GC', ширина которого равна 1,3819, а отношение

или представляет собой отношение стороны (1) пятиугольника к его диагонали. При сравнении одной пропорции с другой мы видим, что

Жрец совершает возлияние над мумией умершего.

Этот анализ показывает, что мастер Петосирис обладал полным и исключительно высокого уровня знанием Золотой пропорции, которое очень просто обнаруживается в игре геометрических отношений, вытекающих из двух наложенных друг на друга прямоугольников. Пропорция Золотого сечения с фило-

софской точки зрения представляет собой базис или основание созданных миров, и, возможно,

этим объясняется титул «Мастер престола». Практики погребения в традиции фараонов предполагали не только предоставление места для захоронения физического тела умершего, но также предоставление места для сохранения метафизического знания, которое погребаемое лицо совершенствовало в течение своей жизни. Пропорции места возложения Петосириса, как это показано в его гробнице, отражают это намерение.

Прежде всего, важно упомянуть о том, что ф олицетворяет совпадение процессов сложения и умножения. Сложение является наиболее простым процессом роста, касается ли это клеток нашего тела, благосостояния или знания или опыта; оно представляет собой неторопливое, логически расширяющееся развитие. Умножение в действительности является формой прибавления, ускоренной формой: 4x4 в действительности соответствует 4 + 4 + 4 + 4. Но в этом ускорении отсутствует воздействие необычного момента трансформации: то, что было линейным накоплением, вдруг становится квадратом, поверхностью, плоскостью. Происходит скачок роста. В растении простой аддитивный рост, происходящий со стеблем, внезапно приводит к созреванию плода или распусканию цветка, а семя постепенно набухаетблагодаря впитыванию влаги и образованию почки. В обучении аддитивное накопление кем-либо умений или данных внезапно приводит к расцвету гениального понимания. В наиболее чистом виде этот момент можно наблюдать в процессе роста какого-либо кристалла. Можно постепенно добавлять минеральную соль в небольшую чашку с водой в течение нескольких дней. Вода будет растворять соль, но, в то же время, вода будет испаряться или уменьшаться в объеме. При достижении точки насыщения можно под микроскопом наблюдать удивительное зрелище, когда так называемая «материнская тинктура» внезапно затвердевает и соль проявляется геометрическим образом в виде кристалла. Когда такой момент наступает в контексте духовного развития, он называется освобождением или просветлением.

Существуют три значительных обстоятельства, при которых древние исследователи этого принципа обнаружили такое одновременное совпадение аддитивного и мультипликативного процессов. Каждое из них дает ощущение комбинации материального и надматериального роста. К ним относятся квадрат (который мы рассмотрели в Рабочей книге 1), музыкальная гармони (Рабочая книга 8) и пропорция ф.

Фи, возведенная в куб (ф³), представляет собой объем, полученный при одновременном использовании сложения и умножения.

Выражение сочерез объем (ф³) дает новую единицу измерения, поскольку абстрактный принцип ф находит свое выражение в качестве единицы на физическом уровне объема: в кубе. На древнеегипетской надписи Тот говорит:

полярность поверхность, 2² = 4 объем, 2³ = 8

Я есть Единица, которая превращается в Два,

Я есть Двойка, которая превращается в Четыре,

Я есть Четверка, которая превращается в Восемь, После всего этого Я есть Единица.

Имеет место прогрессия, как если бы нам следовало продолжать рассматривать Единицу как не имеющую определения до тех пор, пока она не станет материальной, проявленной единицей - кубом, как мы только что видели: ф³ = 1. И если преобразующая способность освобождения сводится к материальному кресту, крестику сложения (+), то момент воскрешения наступает тогда, когда этот принцип дает кресту возможность упасть на бок: + х, и начинается экспоненциальный рост: непостижимый, непоследовательный скачок на другой уровень бытия.

В следующей главе мы рассмотрим формы экспоненциального роста, демонстрируемые на примерах логарифмических спиралей, основанием которых являются корни из 2, 3 и 5. Спираль Золотого сечения, в которой геометрический рост радиальной ветви равен ф, обнаруживается в

природе в виде красивой раковины Наутилус помпилиус, которую танцующий Шива из индуистского мифа держит в одной из своих рук как одно из средств сотворения мира. В глазах Пифагора, тем не менее, эта форма олицетворяет динамику ритмического порождения космоса, и через ее гармонический принцип отображает вселенскую любовь. Логарифмическую спираль можно обнаружить при наложении ее на зародыш человека и животных, она присутствуетв моделях роста многих растений. Распределение семян в подсолнухе, например, управляются логарифмической спиралью Золотого сечения.

Более того, подсолнух имеет 55 спиралей, направленных по часовой стрелке и наложенных на другие либо 34, либо 89 спиралей, направленных против часовой стрелки. А мы знаем, что эти числа являются частью последовательности Фибоначчи, которая образуется с помощью числа ф.

Эти последовательности чисел, называемые последовательностями Фибоначчи, представляют собой особую аддитивную прогрессию, в которой два первых члена складывают вместе, для того чтобы получить третий член (Последовательность А). Например: первый член = 1 второй член = 1 третий член =1 + 1=2 четвертый член =1+2 = 3 пятый член = 2 + 3 = 5... и т.д.

Последовательность Фибоначчи представляет собой такую последовательность, в которой отношение двух любых последующих членов друг к другу равно приблизительно 1 :ф, а любые три последующих члена относятся друг к другу как 1 : ф : ф²...и т.д. Давайте возьмем, например, десятый и одиннадцатый члены Последовательности А:

89/55 =1,61818 = приблизительноф 144/55 = 2,61818 = приблизительно ф²

Хотя последовательность Фибоначчи, являющаяся наиболее простой аддитивной последовательностью, начинается с 1, 1,2 (обратите внимание на сходство в этом отношении с последовательностью Теона, которую мы рассмотрели в Главе IV), то есть возможность начать какую-либо аддитивную последовательность с любых двух возрастающих чисел, напри- мер,Последовательность В: 1,3, 4, 7, и т.д. В каждой последовательности этого типа отношения последующих членов будут стремиться к ф, и интересно отметить, что отношение между соответствующими членами в двух последовательностяхАи Б будет стремиться к V5. Например, одиннадцатый член Последовательности А и тот же член Последовательности В:

521/233 =2,23605 = приблизительно V5

В Последовательности Саддитивная прогрессия, начинающаяся с 1, 5, 6, И, обладает таинственной способностью к тому, чтобы целые числа в ней были равны точно половине десятичной части дроби Золотого отношения. Например, двенадцатый член Последовательности С = 309, а 309 х 2 = 618, тогда как 1/ф= 0,6180337.

Последовательность ^показывает, как Золотая пропорция выступает в качестве модели для логарифмического принципа, суть которого в соотношении между аддитивной («показатели степени») и мультипликативной («основаниями») последовательностями, когда путем простого сложения показателей степени можно определить соответствующее перемножение оснований. Например:

Умножение чисел или в данном случае оснований эквивалентно сложению показателей степени.

Последовательность Фибоначчи, названная в честь итальянского математика тринадцатого века, который обратил на нее внимание, проявляет себя во многих природных явлениях, и ряд исследований подтверждает ее вездесущность. Она регулирует, например, законы, описывающие многочисленные отражения света в зеркалах, а также ритмические законы роста и потерь при излучении энергии. Последовательность Фибоначчи прекрасно отображает модель размножения кроликов, являющихся символом плодовитости, а также отношение самцов к самкам в пчелином рое. Филлотаксис является ботаническим термином, описывающим распределение листьев на стебле растения. Если нарисовать спираль, проходящую через каждое основание листа до самого последнего основания, которое расположено прямо над начальной точкой, и обозначить через ^количество поворотов спирали, а через Q- количество пройденных оснований листьев, то отношение P/Qбудет представлять собой дробь, которая характеризует модель распределения листьев этого растения. Числитель и знаменатель этой дроби обычно бывают членами последовательности Фибоначчи вида А. Естественно, интерес ботаника в отношении такого распределения носит главным образом нематематический характер. Его внимание обращено на факт того, что 1 все члены этой последовательности находятся между 1/2 и 1/3, создавая ситуацию, в которой последующие листья отделены друг от друга, по крайней мере, одной третью окружности стебля, гарантируя, таким образом, максимум света и воздуха для расположенного ниже листа.

Ветвление представляет собой другую основную функциональную модель естественного роста, которая управляется последовательностью Фибоначчи или последовательностью ф. Благодаря тому, что золотое сечение входит в пятиугольник, его можно найти во всех цветах, имеющих пять (или любое кратное пяти) лепестков, а количество лепестков в семействе маргаритковых всегда будет из последовательности Фибоначчи. Семейство розовых, как и все цветы съедобных плодоносящих растений, является семейством, основанным на пяти. Поэтому пятерка сигнализирует человеку о пище, подходящей ему. Пятерка доминирует в подструктурах живых форм, тогда как 6 и 8 наиболее характерны для геометрии минералов, неживых структур. Растения, принадлежащие к шестеричным структурам, такие как тюльпаны, лилии и мак, очень часто являются ядовитыми или обладают только лекарственными свойствами в отношении человека. Традиционная медицина считает се- милепистковые растения ядовитыми. К ним относятся помидоры и другие растения семейства пасленовых или белладоновых. С другой стороны, очень экзотические цветы, цветы любви - такие как орхидеи, азалии и пассифлора - все обладают пентагональной симметрией. Пятиугольник как символ жизни, в особенности человеческой жизни, послужил основой для многих готических мандал в виде разнообразных окон.

Но именно в человеческом теле мы можем обнаружить метафизическое значение числа, которое подразумевается в изречении Гераклита: «Человек есть мера всех вещей». В соответствии с несколькими традициями (которые дали нам канон человеческого тела: описание пропорций среднего и идеального тела) пупок делит тело в соответствии с Золотой пропорцией. Если принять всю высоту тела за 1, то его часть от ног до пупка в соответствии с египетским, греческим и японским канонами будет равна 1/ф, а та часть, которая идет от пупка до макушки головы, будет равна 1/ф. Тело делится ровно пополам половыми органами. Это указывает на связь сексуальности с функцией раздвоения, деления на два. При рождении, тем не менее, именно пупок разделяет ребенка точно пополам, а затем в процессе взросления пупок передвигается к точке, в которой тело делится в соответствии с числом фи. Таким образом, местоположение пупка по мере роста человека связывается с идеей движения от раздвоенного сексуального состояния в своей природе к пропорциональному отношению с Единичностью посредством асимметричной динамической мощи ф.

Изучение биометрических характеристик человека раскрывает особую тонкость в отношении его пропорциональности. У женщин пупок обычно располагается немного выше точки, соответствующей точному положению, определенному в соответствии с Золотым сечением, а у мужчин - немного ниже. Более того, в процессе роста и у мужчин, и у женщин местоположение пупка иногда меняется на более высокое, а иногда более низкое относительно линии разделения тела. Перемещение начинается в период полового созревания и повторяется в возрасте между 17 и 30 годами. Такое колебание вверх и вниз относительно иррациональной точки телесного совершенства является принципом, который мы также находим в виде основания древней математики: аналогично методу Диофанта, в котором отношения целых чисел сходятся к сакральным или не-

соизмеримым корневым функциям.

Осирион

Осирионпредставляет собой большой подземный египетский храм, который является архитектурной аллегорией, описывающей процесс трансформации через смерть и возрождение, кок это рассказывается в мифе об Осирисе.

Символизм Осириса относится i циклическим воскрешению и трансформации как на персональном так и на вселенском уровнях, и Осирион был создан как символ могилы Осириса. Этот храм функционировал (а может быть и не функционировал) в качестве храма инициации, но его архитектура в каждой своей детали полна символов, относящихся к механизму реинкарнации как в отношении физической смерти или возрождения, так и в отношении смерти одного этапа развит сознания соискателя и рождения нового, а также в отношении смерти и исчезновения вселенной и ее возврата.Осирион был открыт в Абидосе в 1901 году Флиндерсом Петри, раскопки были завершены в 1927 году. Он считается кенотафом (пустой гробницей) Сети I, который управлял Египтом с 1312 по 1298 год до н.э. Весь храм был подведен под крышу и затем засыпан землей, так что он напоминает подземную гробницу. Вокруг погребенного храма были прорыты огромные канавы и посажены деревья, посвященные Осирису. На фрагменте изображения, сделанного на саркофаге, символически изображена могила Осириса с деревьями, прорастающими из нее и символизирующим* ] возрождение.

том), которые поддерживают крышу. Эта платформа со ступенями, ведущими вверх с обоих концов, в действительности представляет собой остров, поскольку боковые нефы, окружающие ее, прорыты до такого уровня, который позволяет грунтовым водам заполнить их. Этот остров со ступеньками с обеих сторон в точности напоминает египетский символ изначального холма или кургана, который в соответствии с мифом является первым местом сотворения, которое возникло из первобытных вод непроявленной неразделенной Нун. Осирис также олицетворяет принцип семени, посаженного в землю, которое прорастает, поглощая влагу из земли.

На плане Осириона показана любопытная центральная часть с десятью большими квадратными колоннами (показаны темным цве-

На этой символической гробнице имеются три погребальных места: два углубления на центральной платформе (одно предположительно для гроба, а другое - для канопических ваз) и длинная герметичная погребальная комната в виде саркофага в дальнем конце.

Впоследней находится стена с астрономическими знаками и резьбой по потолку, которые привносят влияние звезд в гробницу. Вокруг внешней части центрального зала расположено семнадцать небольших комнат. Все это наводит на мысль о том, что, возможно, эти комнаты предназначались для неофитов, которые проходили через обряд посвящения, спускаясь в водные глубины и появляясь вновь на центральном острове, символизирующем тайну возрождения и на вселенском, космическом, и на персональном уровнях (при условии, конечно, что в гробнице был воздух для дыхания).

В любом случае, и это более важно, геометрия храма подкрепляет эту тему своим соответствием пропорциям Золотого сечения и V5, символа возрождения и восстановления, а также V2, символа воспроизводства, самовос- производящей силы жизни. Акцент на теме пятиугольника надлежащим образом подчеркивает веру в то, что фараон после смерти становится звездой (звезда в Египте всегда изображалась в виде пятиконечника). (Геометрический анализ Осириона и Гробницы Петосириса был любезно предоставлен Люси Лейми).

Мы можем подвести итог в отношении некоторых идей, которые навеяны этим наиболее фундаментальным из пропорциональных отношений. Как говорили древние: «Вселенная

- это Бог, рассматривающий самого себя». Сотворение не может существовать без восприятия, а восприятие - это взаимоотношение: «Быть - значит иметь отношение». Архитектурные образцы взаимоотношения можно постигать посредством законов пропорции, содержащихся в чистом числе и геометрической форме. Золотая пропорция представляет собой трансцендентную «идею-форму», которая должна существовать apriorrn вечно «прежде всех прогрессий, которые развертываются во времени и пространстве».

На данном рисунке представлена геометрическая аллегория концепции Святой Троицы: Тройки, которая есть Единице 1 = Бог- Отец; 1/ф= Святой дух (связывающая функция или пранф); 1/ф² = Сын (Квадрат или потенциал для проявления, Высший архетип).

Эти члены образуют трехчленную пропорцию:

Та, крайние члены аналогичным образом относятся друг к другу: Отец и Сын объединены посредством Святого духа. 7/ф²представляет собой процесс порождения идеи божественного проявления. 7/ф³представляет собой воплощенное вселенское лицо: Христа. Пересечение или наложение 1/фс 7/ф²дает 1/фР, воплощение Божественного человека.

Картина Пьеро делла Франческа 'Крещение Христа» следует геометрическому символизму Золотой пропорции как в упомянутом выше примере Святой Троицы. Тело Христа располагается в точности в области 1 х 1/ф³. Святой дух располагается в области, в которой 1/фналагается на 1/ф², и касается или связывает вместе две области, равные 1/ф². Высота Христа составляет 3 х 1/ф³.

Логика связывания Христа (принцип искупления) с пропорцией Золотого сечения, таким образом, очень естественно констатируется здесь: Христос есть «Слово, обретшее плоть.» Слово- является переводом греческого •логос; которое определяется как непрерывная пропорция, в которой как будто бы несовместимые крайние члены связываются или взаимодействуют посредством единого среднего члена: а: b:: b :c. Христос в качестве логоса связывает крайние члены - дух и материю, вселенское и персональное, конечное и бесконечное.Геометрия этой картины также указывает на «жизненные центры» на теле Христа, символизирующие «путь к воскрешению» в тантрической традиции, поскольку функция жизненных центров на пути к духовному раскрытию признавалась христианством и восточным мистицизмом. Так дуга, проходящая по лобковой области, расположена на расстоянии в 1/ф ²от ступней. Центр, расположенный ниже пупка, отмечен пересечением отрезков, равных по длине V 2. Центр в месте нахождения сердца обозначен пересечением двух дут, равных со, о рука Иоанна, проводящая крещение, определяет центр короны, расположенный на расстоянии в 1/ф ² от места расположения пупка.

Композиция приведенной иллюстрации, на которой изображено сотворение и дальнейшее развитие (шесть дней Сотворения), построена с помощью комбинации отношения V2 :1 (1=всему листу) и отношения 1:ф, которое является частью, включающей в себя Сотворение за шесть этапов. Отец, Сын и Святой дух осуществляют Сотворение в соответствии с принципом Тройка, которая есть Единица . Всегда в сакральной литературе Сотворение и развитие воспринимаются через образ Троицы и двух порождающих пропорций.

Рост человеческого тела характеризуется отношением между двумя порождающими силами: V2, который получается в результате деления пополам и дальнейшего удвоения, он обозначает местоположение половых органов на серединной точке тела и количественно воссоздаваемый принцип воспроизводства; а также числом ф, которое отмечено пупком и которое означает относительную силу, объединяющую части друг с другом и фвсесодержащей целостностью, как пуповина связывает ребенка с его истоком - матерью-вселенной.

Таким образом, фстановится геометрическим символом идеи Христа, которая связывает персонифицированную осознанность с идеальной всеобщностью, из которой она происходит и к которой она неизбежно возвратится.

Я - тот, кто связывает,

Я - золотой пупок вселенной.

Тот, кто знает это, знает Упанишады.

(Упанишады означают «инструкции, услышанные у ног мастера».)

VI. ГНОМОНИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ И ОБРАЗОВАНИЕ СПИРАЛЕЙ

Гномоническое расширение или рост, запечатленный на различных геометрических фигурах и в виде отдельных точек на квадрате, прямоугольнике и треугольнике.

«Есть ряд вещей, - говорил Аристотель, - которые не претерпевают изменений за исключением изменения по величине при их росте...» Он имеет в виду феномен, который греческие математики называли гномоном, и тип роста, основанный на нем и известный как гномониче- ское расширение. Герон из Александрии определяет его следующим образом: «Гномон представляет собой какую-либо фигуру, которая, будучи прибавлена к первоначальной фигуре, оставляет итоговую фигуру аналогичной первоначальной». Восприятие этой фигуры приводит к пониманию одной из наиболее общих форм роста в природе: роста, происходящего путем разрастающегося или аккумуляционного расширения, при котором старая форма содержится внутри новой. Именно таким образом развиваются постоянные элементы тела животного, такие как кости, зубы, рога и раковины, в отличие от мягких тканей, которые отбраковываются и замещаются.

Этот известный вид роста часто присутствует в архитектуре в качестве темы оформления здания. Индуистские храмы являются прекрасными примерами этого. Изготовление пола начиналось путем укладки четырех кирпичей, каждый размером в квадратный фут, которые таким образом формировали квадрат 2, а затем расширяли эту площадку до квадрата 3 и так далее. Каждое последующее расширение рассматривалось как расширение жертвенного алтаря, в котором весь храм повторял свой сущностный источник - алтарь или первоначальный квадрат. Так само строительство отображало смысл «жертвы», которая подразумевает превращение в то, чему она посвящена. И план, и объем типичного индуистского храма демонстрирует гно-монический рост, который наиболее очевидным образом проявляется в морских раковинах, а элементы предыдущих этапов роста явным образом свидетельствуют о структуре и замысле последующих этапов.

Этот метод изображения гномона указывает на его связь с теоремой Пифагора: a² + b² = с². Здесь показан гномонический рост от площади квадрата, равной 4, до квадрата с площадью 5, где гномон большего квадрата с площадью 5 равен 1/4 первоначального квадрата с площадью 4.

План типичного индуистского храма представляет собой простое концентрическое гномоническое расширение первоначального квадрата. Как мандала отражает небесный порядок, так и каждый квадрат содержит имя божества.

Гномон кок последовательность постепенною роста устанавливает проход сквозь время. В индуистском храме это расширение представляет собой продолжение первоначального квадрата, которым является жертвенный алтарь, вместилище символического космического огня. Таким образом, время описывается как неумолимый расширяющийся огонь жизни, распространяющийся в разные стороны и вновь поглощающий потенциальные жертвы, принесенные на изначальный алтарь.

Гномоническая мандола планировки помещений также используется в качестве управляющего элемента для проектирования развития храма.

Существуют интересные примеры того, как осуществляется рост и развертываются числа посредством гномонического расширения. Одной из математических характеристик является то, что все фигуры, рост которых происходит в соответствии с гномониче- ским расширением, образуют пересечения, на которых можно построить спирали. Эти формы, как это красиво показала Джилл Перс в своей книге «Мистическая спираль», присутствуют в природе везде: закручивающиеся в спираль стволы огромных эвкалиптовых деревьев, рога баранов и северного оленя, кости нашего скелета, раковины моллюсков, в частности раковина моллюска Наутилус помпилиус, которая следует спирали в соответствии с Золотой пропорцией. Спирали можно найти в отдельных цветках в соцветии подсолнечника, в наружном контуре какого-либо сердцеобразного листа; в локоне волос или в скрутившейся змее, или в хоботе слона, пуповине или в улитке внутреннего уха.

Все эти спирали являются результатом процесса гномониче- ского роста, в котором квадрат и его гномон могут рассматриваться в качестве архетипической формы.

Эти диаграммы из книги Дарси Томпсона "О росте и форме" указывают на то, что спирали можно получить из треугольников и шестиугольников с помощью гномонического

роста.

Рабочая книга 6

Гномонические спирали

Приводимые ниже иллюстрации дают понимание древнего математического метода по образованию отношений целых чисел, которые довольно хорошо аппроксимируют несоизмеримые функции. Этот метод приписывается греческому математику Диофанту, но он, по всей вероятности, может являться частью более древнего математического знания. В приводимых ниже примерах мы можем обнаружить объединение гномонического роста, важных аддитивных прогрессий, прогрессии сакральных треугольников и количественных отношений, которые стремятся к сакральным корням из 2, 3 и 5. Все эти геометрические операции становятся основой для образования спиральных кривых, которые служат моделью для большого количества видов движения во Вселенной: от частицы до галактики.

Мы начнем с двух аддитивных прогрессий (мы уже встречались с ними при изучении числа ф, см. стр. 57). Мы посмотрим, как последовательности тех же самых чисел могут восприниматься также в качестве прогрессии развертывающихся (вращающихся) прямоугольников при образовании спирали. Наш метод будет заключаться в сравнении взаимоотношений между прогрессиями, вытекающих из двух важных отношений: 1 : 2 и 1 : 3. Для того чтобы сделать это, одна последовательность будет рассматриваться в качестве последовательности числителей, а вторая - в качестве последовательности знаменателей. Мы начнем с образования спирали на основании V5.

Выше приведена последовательность чисел, отличная от последовательности Фибоначчи, но опять отношение между последующими членами стремится кф, и каждый член образуется путем прибавления двух предыдущих членов.

Теперь мы можем объединить обе последовательности, в каждой из которых фвыступает в качестве отношения между каждым последующим членом, а отношение между членами этих последовательностей дает V5. Именно при таком объединении образуется спираль.

Используя этот метод, мы можем выработать план образования трех спиралей, которые будут соответствовать указанным законам геометрии и пропорции.

Рисунок 6.1.Спираль корня из 5, начинающаяся с отношений 1 : 2 и 1 : 3.

Для построения спирали V2 мы опять начнем с двух порождающих отношений: 1:2 и 1:3 для инициации прогрессий, которые будут образовывать последовательности из числителей и знаменателей:

Здесь мы видим два отклонения от формы V5, описанной выше. В этом примере ни однаиз прогрессий не начинается с повторяющегося числа 1, и здесь вместо простой аддитивной последовательности мы имеем каждый раз сложение сторон двух квадратов.

Рост осуществляется путем сложения двух равных квадратов, которые в качестве стороны используют большую сторону предыдущего прямоугольника. Так, к первоначальному прямоугольнику 1 : 2 добавьте два квадрата со сторонами, равными 2, так чтобы получить сторону, равную 1+2 + 2 = 5; затем к прямоугольнику 2 : 5 прибавьте квадраты со сторонами, равными 5, что даст 2 + 5 + 5 = 12, и т.д.

К первоначальному прямоугольнику 1 : 3 мы прибавляем два квадрата со стороной, равной 3, что даст 1 +

3 + 3 = 7, ик этой 7 мы прибавим два квадрата со стороной, равной 7, получим 3 + 7 + 7 = 17 и т.д.

Последовательность 1, 2, 5, 12, 29. и т.д. представляет стороны квадратов, в которых диагонали соответственно равны 1, 3, 7, 17, 41. и т.д.

Соотношение между этими двумя последовательностями, отходящими от единичности («Единичность, - как говорил Теон, - в действительности является стороной и диагональю»), все сильнее и сильнее приближается к V2.

Рисунок 6.2.Спираль V2, начинающаяся с соотношений 1 :2 и 1 : 3, но с последующим прибавлениемдвух квадратов.

Внеся только несколько изменений в процедуру порождения, мы можем теперь построить прогрессию и спираль, относящиеся к V3. Изменения в данном случае заключаются в том, что отношение 1 : 3 начинает последовательность 1,1,3. (а не 1, 3.) и дает знаменатели вместо числителей, как это было в других двух спиралях. Для получения спирали V5 мы последовательно прибавляли один квадрат, для получения спирали 72мы последовательно прибавляли два квадрата, но в данном случае мы прибавим первые два квадрата вместо одного.

Начиная с исходного отношения 1 : 2, мы прибавляем два квадрата со стороной, равной 2, и получаем 1 +2 + 2 = 5, затем один квадрат со стороной, равной 5, получая 2 + 5 = 7, и т.д., соблюдая в дальнейшем последовательность прибавления сначала двух, а затем одного квадрата.

Исходная фигура 1 : 3 строится в точности таким же образом и дает последовательность чисел, указанную выше.

Как и в случае с первыми двумя корнями, именно наложение числителей и знаменателей дает отношения, дающие V3. Благодаря «синкопируемому» прибавлению сначала двух, а затем одного квадрата, нельзя при таком построении нарисовать сразу две - внутреннюю и внешнюю

- спирали. V3, будучи созидательным принципом, выступает только как содержащая или внешняя спираль.

Рисунок 6.3.Примеры построения спиралей, приведенные на данном рисунке, частично взяты из книги Р.А. Шваллера де Любича«Храм человеческий».

Более глубокая цель такого спирального развития числа вокруг надрациональных корней заключается в том, что нам предоставляется модель, в соответствии с которой неопределимая причина (корень) выражает себя посредством

игры определяемых чисел и форм.

Спираль все еще остается нашим наиболее содержательным образом в отношении движения Времени, и поэтому она является главным элементом для нашего восприятия развития. Приводимый ниже отрывок из книги Шри Ауробин- до«Проблема возрождения» точно озвучивает то, что мы только что испытали при отображении вселенского закона языком геометрии:

«То, что окружает нас, представляет собой постоянный процесс в его универсальном аспекте, прошедшие моменты времени присутствуют в нем, содержатся в нем, исполненные и пройденные, но в общем и в своих подробностях они все еще повторяются в виде основания и подоплеки; настоящие моменты времени присутствуют в нем не в виде повторения в худшем свете, но в виде активного, оплодотворенного созревания всего того, что духу еще предстоит проявить: без иррационального повторения десятичных знаков, которые беспомощно возникают в цифрах бесконечным образом, но в виде развертывания последовательности божественных сил Бесконечного. Именно присутствующая в вещах Воля, великая и осмотрительная, неторопливая, неутомимая, движется через любые циклы ко все большему и большему раскрытию своего собственного облика в своей собственной бесконечной реально- сти.»(Курсив мой).

Комментарии к Рабочей книге 6

Логарифмическая спираль настолько богата геометрическими и алгебраическими гармоническими сочетаниями, что традиционные геометры назвали ее Spiramirabilis, что означает «чудесная спираль». В то время как радиус спирали возрастает в геометрической прогрессии, угол поворота радиуса возрастает в арифметической прогрессии. Эти две числовые последовательности дают все соотношения, из которых образуются музыкальные интервалы.

Таким образом, мы можем обнаружить в этих спиральных гномонических фигурах близкую связь между временными законами звука и пропорциональными законами пространства.

Представляется, что человеческий мозг эволюционировал посредством гномоническо- го расширения. То же самое луковичное тело (внутренняя или задняя часть мозга), которое играло главную роль в процессе рептильного периода эволюции, все еще присутствует внутри нас. Над ним размещается средний мозг -лимбическая область, которая была главным ментальным аппаратом в процессе эволюции млекопитающих; и, наконец, приходит время коры головного мозга у высшего человека.

Квадрат ку = 16

Я * Л S » ч

Квадрат ку = 16

Вписанный квадрат изображает квадрат коу = 9

квадрат коу = 9

Гномоническое расширение в природе позволяет увидеть элементы последовательного роста. Это интересным образом связано с нашим представлением о времени. Обычно мы воспринимаем время либо как скоротечное направленное движение от растворившегося прошлого через неуловимое настоящее к воображаемому будущему, либо, с мистической точки зрения, как всесодержащую вечную полноту. Гномонический принцип дает третье описание времени. Время здесь представляется в виде расширяющегося роста, эволюции, как можно выразиться, принадлежащей к энергиям сознания, которые вышли за пределы своих преходящих форм и сущностей. Как говорит китайская мудрость: «Все тело духовного сознания прогрессирует без остановки, а все тело материальной сущности без остановки разрушается». В такой модели прошедшее время остается в настоящем в виде формы, а структура растет посредством пульсирующего ритмического гномонического расширения. Удаление слоя или камеры, которые образовались совсем недавно, у раковины наутилуса в действительности представляет собой возвращение назад по его линии жизни. Формы, развивающиеся по логарифмическому закону, всегда несут в себе этот элемент памяти о прошлом и поэтому символизируют эволюцию не вещества, но сознания.

Древние китайские математические задачи, относящиеся к гномоническому принципу.

В гномоническом времени все его этапы присутствуют в постоянных слоях подобно структуре светового года галактического пространства, которое при каждом взгляде на усыпанное звездами ночное небо возвращает нас в прошлое далеких тел, а слои света за видимым светом представляют собой будущие энергетические волны, которые придут и окажут влияние на землю. Все аспекты материального мира, включая наши собственные тела, относятся, поэтому, к прошедшему времени, существуя в остаточном гномоническом слое, который уже пройден втекающими космическими энергиями. Эта идея выглядит немного необычно, хотя и не отличается от понятия времени, присущего нашим предкам. АтарваВеда говорит:

«Имя и Форма есть то, что осталось в Остатке. Мир есть то, что осталось в Остатке. Ин- дра и Агни есть то, что осталось в Остатке. Вселенная есть то, что осталось в Остатке. Небо и Земля, все Сущее есть то, что осталось в Остатке. Вода, океан, луна и ветер есть то, что осталось в Остатке».

В египетской иконографии квадрат и его гномон можно обнаружить в троне Осириса, на котором восседал фараон. Восседающий на троне фараон, как воплощение вечной солнечной энергии на земле, таким образом, ассоциировался с неподвижным элементом - квадратом и его гномоном, - который остается постоянным по мере роста и изменения. Однако этот трон также остается троном Осириса - божества, олицетворяющего цикличность изменений в природе, - в его потустороннем царстве потенциальных возможностей. В этом смысле трон представляет собой неизменную опору, на которой должны покоиться циклы постоянного движения Осириса.

Трон, на котором восседает Осирис, изображен в виде корня из 4 по мере его трансформации в корень из 5 с помощью принципа V5, на котором основываются все пропорции ср. Именно поэтому трон показан как место мира трансформаций, осуществляемых через смерть и возрождение, что и олицетворяет собой Осирис.

Эта фигура также олицетворяет переход от 4 к 5, то есть от царства элементов или минералов, которое ассоциируется с числом 4, к царству жизни, которое ассоциируется с числом 5, поскольку Природа начинает создавать пятиугольные фигуры только при появлении жизни. Первоначальная единичность, содержащаяся в четырех квадратах (22), выходит за свои пределы и образует гномон, пятую часть, которая равна площади каждого из других четырех квадратов.

Живущий фараон является не только представителем на земле вечной солнечной силы, он также является Хорусом, сыном Осириса, который получает и вновь приносит в мир силу своего отца. Отношение «отец-сын» или «живой фараон - мертвый фараон» особенно выделялось в традиционном обществе и может рассматриваться как пульсация гномонического удержания прошлого в настоящем и будущем. Если могущество и влияние умершего фараона, отца, относится к первоначальному квадрату, а энергии и деятельность живущего фараона относятся к гномониче- скому расширению, то у нас возникает образ социального порядка, основанного на отношении индивидуума к унаследованному им государству. Удивительная целостность древней египетской культуры на протяжении свыше трех тысячелетий демонстрирует непрерывное обновление, в котором, кажется, ничто не утрачено из основополагающего опыта прошлого.

Квадрат и его гномон служат архетипическим образом для некоторых видов роста в природе, а также в качестве образа времени и эволюции. Эта фигура обладает той ценностью, что может помочь заглянуть за пределы поверхности вещей, для того чтобы обнаружить лежащую в основе структуру, функцию ф своей собственной динамикой и механизмом.

При философском подходе к геометрии мы пытаемся воспринять характеристики формы, которые несут в себе смысл. Телеологическое послание присутствует, например, в самой спирали, поскольку она последовательно двигается в противоположных направлениях к окончательному проявлению бесконечно развернувшегося и бесконечно сжавшегося. Спираль постоянно сходится к этим двум непостижимым аспектам конечной реальности и поэтому символизирует вселенную, движущуюся к совершенной единственности, из которой она возникла. Таким образом, спиралевидные вихри нашей галактики создают образ непрерывности между фундаментальными полярностями - конечным и бесконечным, макрокосмом и микрокосмом.

В архитектуре египетского храма в Луксоре, как и в индуистском храме, используется принцип гномонического роста, однако, используется он совсем другим образом. В данном случае этапы строительства храма, которые основываются на различных пропорциях ^первоначального квадрата внутреннего алтаря, совпадают с этапами роста человеческого гаи, которое символизирует весь план храма.

VI. КВАДРАТУРА КРУГА

В литературе по сакральной геометрии приводится ряд примеров, и все они относятся к одной идее, известной под наименованием «квадратура круга». Она представляет собой упражнение, в котором с помощью только обычного циркуля и линейки нужно найти способ построения квадрата, периметр которого должен быть равен длине окружности заданного круга или площадь которого должна быть равна площади заданного круга. Поскольку круг является несоизмеримой фигурой, основанной на п, можно нарисовать квадрат, только приближенно равный ему. Тем не менее, квадратура круга имеет большое значение для геометра-космолога, поскольку для него круг представляет собой чистое, не-проявленное дух-пространство, а квадрат является проявлением воспринимаемого мира. Когда между кругом и квадратом можно установить хотя бы приблизительное равенство, бесконечность может отобразить свои размеры или качества посредством конечного.

Рабочая книга 7

Квадратура круга

На последующих страницах мы понаблюдаем за квадратурой круга, которая, как я знаю, содержит немало символических ключей для постижения сотворения вселенной. Мы начнем с построения окружности, помня при этом, что она является геометрической метафорой однородного недифференцированного пространства. Как и на других наших диаграммах, это единство- пространство должно быть разделено на два с целью осуществления сотворения. Итак, начнем с разделения нашего единства-пространства на две части, с разделения, которое происходит внутри изначальной единичности.

Рисунок 7.1.Начертите круг с центром в точкеО и радиусом ОА= 1. Начертите диаметры АА' и ВВ', так чтобы они пересекались под прямым углом. Из центров, расположенных на диаметре ВВ', начертите две окружности, радиус каждой из которых равен половине радиуса исходной окружности. Из точкиАпроведите дугу NM, которая должна касаться окружностей двух внутренних кругов. Проделайте то же самое из точкиА' Постройте квадрат АСВ'Она радиусе ОАисходного круга.

Дуга, радиус которой равен по- лудиагонали этого квадрата, указывает на то, что радиус АЕ дуги NEMравен ф, а дуги NEMи NDMделят радиусы АО иА'О в соответствии с Золотой пропорцией в отношении 1/фи 1/ ф².

При таком делении единого круга на два, которое служит основой для традиционного символа ян-инь, возникает интересный парадокс. Две длины окружности внутренних кругов вместе равны длине окружности большого круга, но площадь этих двух кругов составляет только половину площади изначального круга. Единица стала Двойкой. И индусская мифология, и средневековая европейская алхимия дают нам ту же метафору для постижения таинства того, как однородная единичность становится поляризованной дуальностью: когда однородное или тщательно перемешанное молоко оставляют на воздухе при средней температуре, в нем начинается кислотное брожение, которое свертывает молоко в сгущенные, жирные шарики, которые плавают в водянистой сыворотке. Таким образом, мы имеем разделение взаимно отталкивающихся форм, которые возникают из общего источника. Мифологически этот естественный процесс представлен в истории Каина и Авеля, Сета и Хоруса, Индры и Асуров, и т.д., во вселенском антагонистическом взаимодействии противоположностей, что и разует жизнь: это и есть инь и ян.

Когда мы геометрически формируем вместилище для двух кругов, рисуя дуги из каждого конца вертикального диаметра, так чтобы они касались двух кругов и так чтобы верхняя и нижняя дуги заканчивались на горизонтальном диаметре, мы видим, что эти две дуги делят вертикальный радиус ОА(который считается равным 1 или представляет собой единичность) в Золотой пропорции как 1/фи 1/ ф².Золотое сечение, будучи наиболее важным делением Единичности, здесь выступает аналогом невидимого «провокатора»: вселенской сжимающей или свертывающей силы. Также очевидно, что радиус этой окружности равен 1 + 1/ф, что равно ф.

Пузыреобразную форму, охватывающую первичную дуальность (аналогично мандорле из Рабочей книги 2, но в других пропорциях), можно найти везде в Египте в качестве символа Ра, солнечной, дающей жизнь силы, испускаемого Слова, рта, который называет имена богов, составляющих единицу. Рот Ра также напоминает форму вибрирующей струны (см. стр. 22).

Рисунок 7.2. Дуга Ра, которая проходит по касательной к двум внутренним окружностям, пересекает внешний круг единичности точно в той точке, в которой начинается сторона правильного пятиугольника, вписанного во внешний круг: это точка J, если смотреть влево от верхней точки вертикального диаметра, и точка F, если смотреть вправо от той же верхней точки вертикального диаметра. Кроме того, поместив циркуль в нижнюю точку вертикального диаметра и нарисовав дугу, касающуюся нижних частей двух внутренних окружностей, мы можем получить точное местоположение третьей стороны того же вписанного пятиугольника, оканчивающегося в точке Нсле- ва и в точке Ссправа, там где указанная дуга пересекает внешний круг.

Затем, просто соединив две верхних стороны пятиугольника с каждым концом стороны, лежащей в его основании, мы получим правильный, вписанный в окружность пятиугольник.

Таким образом, первоначальное сжатие или разделение на две части лежит в основе получения конечного результата: пятиугольника, символа жизни, с его пятеричной симметрией, которая обнаруживается только в живых организмах. Он представляет собой фигуру, приписываемую физическому и витальному аспектам человека, который посредством пяти чувств воспринимает мир природы и, таким образом, побуждает его к существованию. Звезда пятиугольника, образованная диагоналями, проведенными внутри его, символизирует преобразованное или усовершенствованное человечество, поскольку все отрезки прямых этой звезды получаются в соответствии с Золотой пропорцией (см. стр. 52).

Рисунок 7.3. Впишите исходный круг в квадрат. Затем начертите окружность, в качестве центра которой следует использовать центр исходного круга, а за радиус следует взять расстояние до вершины мандорлы. Длина окружности полученного круга будет равна периметру квадрата, который касается исходной окружности.

Первоначальное разделение, которое одновременно дает пропорции пятеричной симметрии, несет с собой телеологическое послание о Жизни как о силе непостоянства и возвращения к свету, мы видим это в растениях, которые при своем росте обращаются к источнику излучения, символом которого они и являются. Такое преображение с геометрической точки зрения возникает в момент начала сотворения, когда Единица становится Двойкой. Теперь, когда этот принцип включен в нашу геометрическую метафору сотворения, мы можем перейти к символу квадратуры.

Указанная на рисунке средневековая квадратура круга, построенная с помощью пентакля (пятиконечной звезды), символизирует достижение гармонии между интуицией (обозначенной пен- таклем) и разумом (обозначенным квадратом) или идею о том, что бесконечность (круг) информационно взаимодействует с человеческим интеллектом посредством законов гармонии.

Рисунок 7.4. Данный рисунок основывается на указанных ниже соображениях:

Радиус окружности, описанной вокруг рта Ра, по теореме Пифагора равен: ф² = 1 + г² r = - 1 г = 4ф

и длина окружности равна 2п4ф, где^ф = 1,272... и п = 3,142..

2п4ф= 7,993 для длины окружности или приблизительно 8.

Мы знаем, что сторона квадрата, описывающего исходную окружность, радиус которой равен

0, составляет 2. Таким образом, периметр этого квадрата равен 8 и поэтому приблизительно равен длине окружности круга, составляющей 7,993.

Это дает величину числа п, которое использовалось древними египтянами для постройки Великой пирамиды:

2п4ф = 8 п4ф = 4 далее,

4ф= 4/п= 1,272.

4^ф = п= 3,1446056.

Тогда как истинная величина равна 3,1415926. Практически точное значение числа пс использованием Золотого сечения составляет ф²х 6/5 = 3,1416404. Отношение5:6 или 1 : 1,2, между прочим, является функцией, которая связывает ф с п, а 1,2 соответствует отношению 12 к

10. Двенадцать представляет собой число кругов космического времени, оно является числом завершения, и в виде отношения 6 к 5 оно связывает шестиугольник с пятиугольником.

Но вернемся к нашей фигуре: приняв четверть стороны квадрата (эта величина равна радиусу исходной окружности) за Единицу, мы можем определить эти величины: рп = V5/2 = 1,118. = 1/2 + 1/ф В'п = В'К = A'M = ф= 1,618.

OD = Оп= 1/ф = 0,618.

AD = 1/ф² = 0,3819.

ОМ = 4ф= 1,2720196.

AF, НС = V(1 +1/ф²)= 1,1756 = сторона пятиугольника DM= V2= 1,4142135.

Рисунок 7.5.Следующей нашей целью является построение квадрата, равного площади изначального круга.

Впишите три дополнительных пятиугольника в круг, разделите пополам одну сторону пятиугольника, отметьте соответствующую точку на окружности, затем разделите пополам полученные сегменты. Эта операция дает начальные точки для трех новых пятиугольников, так что общее количество вершин составит 20.

Для нас это может служить символом сущностной пятеричной симметрии, расцвета принципа жизни в его возврате к свету, который проявляет себя через четверичную симметрию элементов природы: земли, воздуха, огня и воды.

Рисунки 7.6, 7.7, 7.7а. Если мы начнем с точки А, в которой первый пятиугольник пересекает вертикальную ось, и проведем прямую линию

через вторую и пятую вершины пятиугольника до пересечения с вертикальной и горизонтальной осью (PQ), то получим первую сторону квадрата. Продолжая вычерчивание аналогичным образом, мы получим линии OR, ИБи SP. Используя геометрические методы расчета на пятиугольнике и его диагонали, приведенные в Рабочей книге 5, мы можем определить значения, приведенные на Рисунках 7.7 и 7.7а, и таким образом убедиться, что новый квадрат будет приблизительно равен по площади поверхности первоначального круга. Половина диагонали круга ОР = 1,26006, а сторона квадрата PQRS = 1,26006 х V2= 1,7819938.

Этот способ представляет собой квадратуру, которая взята из конструкций Средних веков и которая не очень точна с математической точки зрения, но с символической точки зрения она обладает большой простотой и красотой. При заданных значениях сторона будет равна 1,7819938, тогда как сторона более точного квадрата будет равна 1,7724397, что дает разницу в

0, 0095548, при которой число сбудет равноЗ,17.

Хождение вокруг камня Каабы (что значит «куб») в Мекке является символическим ритуалом, относящимся к концепции Квад- ___________ ратуры круга.__________________________________

Рисунок 7.8. Объединив сделанные рисунки, мы увидим, что мандорла или рот Ра, на котором образуется первоначальный абстрактный (линеаризованный) квадрат, не касается, а скорее «излучает» вторую проявленную квадратуру (ту, которая относится к поверхности). Здесь, на одной диаграмме, мы видим классическое геометрическое соотношение, образованное между кругом и квадратом, междудуховным и материальным мирами. В следующем разделе мы обсудим то же самое отношение, но относящееся к объему: отношение между сферой и кубом.

VII. ОПОСРЕДОВАНИЕ: ГЕОМЕТРИЯ СТАНОВИТСЯ

МУЗЫКОЙ

Мы рассматривали деление единичности с помощью двух идей: функции корня (порождающий корень из 2 и возрождающий корень из 5), а также идеи о трех- и четырехчленной пропорциях, которые вытекают из указанных выше корней. В этом разделе мы объединим вместе идеи пропорции и корней, для того, чтобы до конца понять взаимоотношение между ними и вто же время показать, как эта окончательная геометрия становится основанием для музыкальной гармонии. Будем надеяться, что это прольет свет на слова Гете: «Геометрия - это застывшая музыка».

Наилучшим способом добиться этого является способ, который считается краеугольным камнем древней философской математики - наука опосредования, которая представляет собой простое наблюдение за функциями средних членов. Используя нашу дискуссию о трех- и четырехчленных пропорциях (стр. 44) в качестве отправной точки, давайте сначала обратим внимание на предупреждение Платона о том, что сравнения, основанные на четырех элементах, т.е. «разрывные четырехчленные пропорции», представляют по своей природе то, что он называет «конкретным знанием», которое носит уязвимый характер и открыто для оспаривания и произвола. Противоположностью этому является то, что он называет «основополагающим знанием», которое не является простым накоплением фактических или даже концептуальных данных, относящихся к объектам или явлениям, а заключается в осознании метафизических конструкций, посредством которых разум обладает способностью к постижению. Законы, которые управляют созиданием вещей, являются теми же законами, что и те, которые позволяют постичь эти вещи, а основополагающее знание представляет собой понимание этих законов. Такое знание можно получить, как говорит Платон, посредством изучения опосредования, которое представляет собой объединение двух крайних членов с помощью одного среднего члена. Мы рассмотрели это на примере с привлечением соотношений, состоящих из трех членов: а: b:: b: с, которые мы называем геометрической пропорцией, а греки называли логосом. Но этот простой пример представляет собой не только трехчленную пропорцию, так как наука опосредования изучает все суждения о пропорциональности, возможные между тремя членами не только посредством прямого пропорционального взаимоотношения, но также посредством взаимоотношений между разностями.

Опосредованную пропорцию можно определить как группу из трех неравных друг другу чисел, в которой разности между этими числами так относятся друг к другу, как одно из этих чисел относится к самому себе или к одному из двух других чисел.

Это странное краткое математическое «парадоксальное высказывание» содержит в себе формулу для трех основных средних: арифметического, геометрического и гармонического.

Давайте шаг за шагом рассмотрим это определение трех средних. Опосредованная пропорция образуется из группы любых трех чисел, в которойа больше чем о, а b больше чем с [а >b> с), такой, что «.разности между этими числами», т.е. а -Ь(первая разность) и Ь-с(вторая разность)

«.соотносятся друг с другом» а -b:b- с

«.так, как одно из этих чисел относится к самому себе» (случай 1): a -b : b-с:: a: a, b: b, с: с

«.или как одно из этих чисел к одному из оставшихся чисел»:

(случай 2) a-b : b- с:: а :Ьили (случай 3) а -b :b- с::а :с.

В случае 1 выражение, решенное для среднего члена о, принимает вид b=(а+с)/2, что является общей формулой для арифметической пропорции. (Последовательность 3, 5, 7 представляет собой арифметическую прогрессию, арифметическое среднее которой b = 5.

В случае 2 выражение, решенное для среднего члена о, принимает вид V=ac или b = Vac, что является общей формулой для геометрической пропорции. Выражение 4, 8, 16 представляет собой геометрическую прогрессию, геометрическое среднее которой b = 8.

В случае 3 средний член о принимает вид b= 2ас/(а + с), а это является общей формулой для гармонической пропорции. Выражение 2, 3, б представля-етсобой гармоническую прогрессию, гармоническое среднее которой b = 3.

Такая формулировка опосредования дает нам общую формулу для всех наших основных математических операций. Арифметическая пропорция заключает в себе закон сложения и обратный ему (вычитание), а также описывает взаимоотношение, которое дает естественная последовательность количественных числительных: 1 , 2 , 3, 4, 5, 6... и т.д. Геометрическая пропорция заключает в себе закон умножения и обратный ему (деление) и описывает взаимоотношение, которое дает любая геометрическая прогрессия. Как мы уже говорили, сложение и умножение являются математическими символами для моделей роста. Гармоническое среднее получается при объединении первых двух; оно образуется путем умножения каких-либо двух крайних членов пропорции (а, с) с последующим делением полученного произведения на их среднее или арифметическое среднее (а + с)/2. Например, пусть унас есть два крайних члена 6 и 12, тогда произведение 6 и 12 = 72, арифметическое среднее 6 и 12 равно 9, и 72-=-9 = 8, так что 6, 8, 12 представляет собой гармоническую пропорцию.

Арифметическая: b = (а+с)/2 Геометрическая: b² = ас Гармоническая: b = 2ас/(а+с)

Каждая пропорция обладает неким количеством характеристик, которые присущи исключительно ей. Например, арифметическая пропорция демонстрирует равенство разностей, но неравенство отношений. Так, в арифметической пропорции 3, 5, 7 7 - 5 = 5 - 3, но 7/5 не равно 5/3.

Геометрическая пропорция, с другой стороны, характеризуется равенством отношений, но неравенством разностей. Так в геометрической прогрессии 2, 4, 8 4/2 = 8/4, но 4 - 2 = 2 не равно 8 - 4 = 4.

Наиболее важной и мистической характеристикой гармонической пропорции является тот факт, что обратная к любой гармонической прогрессии представляет собой арифметическую прогрессию. Так 2, 3, 4, 5 представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию, а обратная последовательность 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 представляет собой уменьшающуюся гармоническую прогрессию. В музыке именно вставка гармонического и арифметического среднего между двумя крайними членами пропорции в удвоенных соотношениях - представляющих собой октаву

- дает нам прогрессию, известную как «музыкальная» пропорция: 1, 4/3, 3/2, 2. Другими словами, арифметическое и гармоническое среднее между удвоенными геометрическими соотношениями представляют собой численные соотношения, которые соответствуют тональным интервалам чистой кварты и чистой квинты-базовым созвучиям практически во всех музыкальных строях.

Основополагающая пропорциональная структура, которая содержит аксиомы для наших основных математических операций, также является основополагающей пропорциональной структурой для законов музыки. Давайте далее изучим роль этих трех пропорций как архетипических мыслительных форм для всей вселенной музыки.

Прогрессия 1, 4/3, 3/2, 2 отображает частоты основного тона, кварты, квинты и октавы. Затем мы найдем арифметическую и гармоническую пропорции между струной, длиной в 1 и 1/2, что представляет собой деление вибрирующей струны на два и порождает увеличение частоты, соответствующее октаве.

Музыкальная октава основывается на тоне, частота вибрации которого находится в точном соотношении 2:1с другим тоном. Например, при игре на гитаре, ударяя по всей первой струне ЕХ, мы получим звучание основного тона, который в музыкальной системе обозначений обозначается через Е. Для облегчения расчетов давайте присвоим этому звуку величину в 6 единиц, обозначив, таким образом, количество его вибраций в секунду (в действительности оно составляет 82,5). Затем, если мы прижмем наш палец на ладу, отмеченному буквой Е, и ударим по струне длиной Е'Х, которая составляет ровно половину длины ЕХ, то частота вибрации будет в два раза больше, чем у струны длиной EX. Мы получим численное значение в 12 единиц, которое образует соотношение 2 :1 с 6. Тон Е'Х = 12 называется октавой от Е. Звук октавы обладает необыкновенной характеристикой, заключающейся в том, что он имеет то же качество, что и основной тон и как бы растворяется в нем, хотя он определенно выше по высоте звука. Чувство, которое мы испытываем, слушая звучание октавы, включает всебя тайну одновременного присутствия одинаковости и различия. Качество постижения одинакового и различного представляет собой уравновешенность разума, что и должно развивать сакральная геометрия: качество, которое различимо явным образом, но составляет гармоническое целое. Аналогично, если мы прижмем палец на ладу, помеченном как В, и заставим звучать струну длиной ВХ, то воспроизведенный тон будет относиться к основному тону ЕХ как 3 : 2 или, как мы это уже показали, как 9: 6. Этот тон В представляет собой красивый консонантный звук и называется квинтой, поскольку он является пятым тоном в естественной последовательности деление струны ЕХ: диатонической мажорной гамме, в которой Е является нотой до, а В - соль. Звукоряд включает в себя восемь таких естественных звуковых делений от Е до Е, отсюда и название октава Если мы прижмем наш палец к ладу, отмеченному буквой А, и дернем струну АХ, то она воспроизведет другой консонантный звук, называемый квартой, и его частота будет взаимосвязано с основным тоном как 4 : 3 или, кок это уже здесь указывалось, как 8:6.

Это дает прогрессию 1, 3/4, 2/3, 1/2, поскольку гармоническое среднее между 1 и 1/2 = 2/3, т.е. дает квинту, а арифметическое среднее между 1 и 1/2 = 3/4, т.е. дает кварту. При сравнении этих двух прогрессий мы видим инверсию соотношений и пересечение функциональных позиций арифметического и гармонического средних.

Тайна музыкальной гармонии, которая вырастает из одновременной инверсии, также содержит одновременное сложение и умножение. Октава от основного тона получается путем прибавления интервалов: кварта плюс квинта дают октаву, и перемножение частот вибрации кварты и квинты также даст значение октавы (4/3 х 3/2 = 2). Объединенное действие сложения и умножения в математике дает понятие логарифма, и, как мы уже увидели, Золотая пропорция является архетипом для этой формы роста.

В приведенной таблице в явном виде отображается тайна законов звука, которая заключается в том, что числа, рассматриваемые как отношения частот возрастающего звукоряда, равны длинам струны для нисходящей гаммы. Закон музыкальной гармонии, если его рассматривать с точки зрения идеи опосредованной пропорции, становится символом закона естественного порядка: Тао созданных миров, где противоположные, хотя и одновременные движения взаимодействуют для образования звука и формы.

Мы теперь можем наглядно представить этот числовой и гармонический принцип в виде геометрических фигур. Геометрическое среднее находится по формуле b²= ас;

Гармоническое среднее соответствует формуле Ь(а + с) = 2ас; т.е. произведение суммы крайних членов и среднего гармонического равно удвоенному произведению крайних членов, или

2ac

b =

a + b

Геометрическая пропорция называется совершенной пропорцией, поскольку она представляет собой прямую пропорциональную зависимость, соразмерность пропорции, связанной одним средним членом. Арифметическое и гармоническое средние образуют такое совершенство посредством замены разностей при изменении и инверсии.

Рабочая книга 8

Геометрия и музыка

Давайте теперь попробуем найти подтверждения того, о чем я говорил, в числовых прогрессиях. Обратимся сначала к геометрической последовательности: построим две геометрические последовательности (порядка 2): одну начнем с первого нечетного (мужского! числа после единицы - с 3, а другую начнем с первого четного (женского) числа - с 2. Отношение 1 : 2 численно обозначает октаву, пространственное окружение, в котором первое консонантное деление на 3 (дающее кварту 2/3) символизирует посев, формообразующую функцию, которая вводит и определяет неизменные пропорциональные разделения в пределах первичного океана неразделенных звуков - в октаве:

3 6 12 24 48 2 4 8 16 32

В «Тимее» Платон показывает, что умножение на 2 и 3 дает нам все числа для пифагорейского строя путем последовательного умножения на квинту (3:2). Будучи платониками, мы помним, что Двойка символизирует способность к множественности, символизирует октаву, женское начало, меняющийся сосуд, тогда как Тройка символизирует мужское начало, определенное, постоянное, дающее неизменную структуру, таблица умножения которой дает всю полноту музыки. Это была «музыка сфер», вселенские гармонии, озвученные этими двумя первичными символами мужского и женского начал.

Теперь давайте объединим эти две геометрические последовательности, так чтобы они взаимодействовали по типу совокупления: Гармоническая

Арифметическая Мы можем видеть, что каждое второе пересекающееся множество из трех чисел дает нам поочередно арифметическую и гармоническую пропорцию: 2, 3, 4 представляет собой арифметическую пропорцию; 3, 4, 6 - гармоническую;

4, 6, 8 - арифметическую; б, 8, 12 - гармоническую и т.д. Таким образом, смешивание мужских чисел, порожденных геометрически, с женскими числами, также порожденными геометрически, дает нам возможность получения

двух чередующихся пропорций.

На этой диаграмме, выполненной Зорзи, показаны две прогрессии 2 и 3, указанные Платоном в Тимее ; они показаны совместно с музыкальной пропорцией 6,8,9,12. Музыкальная пропорция используется в качестве основы для порождения чисел в последовательности музыкальных октав, кварт и квинт, создавая, таким образом, гармоническую систему, которая могло бы использоваться в качестве модели в архитектуре, живописи и других искусствах.

Теперь давайте воспользуемся тем, что мы наблюдали при линейной организации, и посмотрим на ее формальную структуру с помощью Таблицы лямбда:

Итак, в Таблице лямбда, которую передал нам Никомах из Герата, содержится переплетение двух пропорций, дающее в итоге квадрат, который, как мы уже видели, является символом конечных, известных, проявленных сфер. Именно из этих чисел и музыкальных пропорций, как говорил Платон, сформирована Мировая душа.

Другой геометрический пример показывает взаимоотношение между корневыми функциями и принципами усреднения, которые создают мир гармонии в музыке.

Рисунок 8.1.Взяв единичный квадрат, обе стороны и площадь которого равны 1, мы видим из геометрических соображений или при использовании тригонометрии, что, опустив перпендикуляр из точки пересечения V2 с V5/2 и продлив его до стороны (равной 1), мы разделим единичный квадрат, выступающий в роли единичности, в отношении 1/3 и 2/3, и, используя единичность в качестве большего члена, мы получим трехчленную арифметическую пропорцию: 1/3 :2/3 : 1.

Выше приведена треугольная совокупность чисел, в которой пересекаются геометрическая прогрессия со знаменателем 2 (проходит горизонтально) и прогрессия со знаменателем 3 (идет по диагонали). Все последующие числа, расположенные по вертикали, относятся друг к другу как 2 : 3, что аналогично умножению одного члена на 3/2 для получения значения стоящего внизу члена. Последовательное умножение на 3/2, т.е. квинту, представляет собой метод, использованный Пифагором для порождения музыкального ряда. Теперь становится очевидным происхождение числовых последовательностей, указанных на стр. 82 и 83.

Рисунок 8.1. - : — : 1 Арифметическая пропорция

1 2

Порождающему характеру Таблицы лям-

бда придается особое значение на гравюре, выполненной по дереву в 1503 году и приведенной на стр. 7, где эта таблица изображена на бедрах женщины. При изучении таблицы мы можем видеть, что каждый квадрат в виде четырех чисел, например, 2, 4, б, 3, содержит внутри себя две арифметические прогрессии (прогрессию 2, 3, 4 и 2, 4, 6), что дает нам три стороны, образующие верхнюю часть и одну диагональ квадрата. На том же рисунке мы видим гармонические прогрессии 2, 3, 6 и 3, 4,6, которые дают три стороны квадрата, две из которых накладываются на первую пропорцию, а другая дает четвертую сторону квадрата и другую диагональ.

Рисунок 8.3. 1/ф : 1/ф² : 1 Геометрическая пропорция

В таблице представлена аналогическая или геометрическая пропорция в соответствии с тем, как она отображается при делении на крайние и средние члены, но в пределах первоначальной единичности.

Все три средних значения получены при условии, что 1 является наибольшим из трех членов. Эта последовательность рассматривалась как форма трансцендентальных (надрациональных) пропорций, поскольку все они являются несоизмеримыми, содержащимися в изначальной Единичности. (Нужно помнить, что древняя музыка строилась только на отношениях целых чисел, но сам принцип музыкальной структуры относится к надрациональным разделениям Единичности.) Эти три средних значения заключают в себе троицу троиц, три уникальных пропорциональных выражения, каждое из которых состоит из трех членов. Через сакральные корни из 2 и 5 они выражают фундаментальное гармоническое разделение Времени (музыки) и Пространства (геометрии) и часто использовались в традиционных культурах в качестве основ архитектуры, искусства, науки, мифологии и философии.

Рисунок 8.4.На рисунке представлен способ изображения красивой пропорциональной чаши или сосуда в форме Грааля с использованием только гармонического разделения для получения ее кривых и размеров. Мы можем полагать, что это и является геометрической сутью Священного Граа

Рисунок 8.2. Опять используя единичный квадрат и путем проведения дуги из нижнего правого угла, перенесем длину стороны, равную 1, в точку пересечения с диагональю V2. Затем проведем дугу из верхнего левого угла до пересечения с верхней стороной квадрата. Мы вновь получим точку на верхней стороне квадрата, в которой необходимо разделить квадрат, и такое разделение даст трехчленную гармоническую пропорцию: (V2 -

1) : (2 - V2): 1.

Рисунок 8.2. (V2 - 1) :(2 - V2) : 1 Гармоническая пропорция

Рисунок 8.3. Последнее разделение стороны квадрата, равной 1, мы произведем с помощью диагонали V5/2. Для этого проведем дугу из точки пересечения, полученной при переносе половины стороны квадрата на диагональ V5/2, до пересечения с верхней стороной квадрата. Таким образом мы разделим квадрат в геометрической пропорции 1/ф : 1/ф² : 1.

ля.

В заданном квадрате ЛБСОсо стороной, равной 1, начертите его диагонали АС и BD. Радиусом ББиз центра в точкеВпроведите дугу DGдо пересечения с продлением стороны ВС для образования ВС = 2. Радиусом CGиз центра в точкеСначертите дугу GF. Радиусом ЛFиз центра в точкеАна- чертите дугу FBдля завершения половины профиля «Грааля». Проделайте те же операции с противоположной стороны.

Комментарии к Рабочей книге 8

Может быть потому, что постижение законов опосредования позволяет получить некоторое представление о фундаментальном взаимоотношении Музыки и Геометрии, Платон в своем Седьмом письме говорит, что опосредование более почитаемо, чем какое-либо другое получение знания. И, может быть, по той же причине египтяне построили две великих пирамиды в Гизе, одна из которых основана на пропорции 1, 4ф, ф - единственном треугольнике, стороны которого находятся в геометрической прогрессии, а у другой пирамиды стороны основаны на арифметической прогрессии 3, 4, 5. В наши дни СаймонУэйл говорит о важности изучения указанных пропорций, поскольку они служат основой христианского мистицизма.

Ознакомившись с работой Ханса Дженни, мы начинаем понимать взаимоотношение формы и звука в физическом мире. Эксперименты Дженни показали, что звуковые частоты обладают свойством объединения в правильные конфигурации хаотичных взвешенных частиц или организации эмульсий, находящихся в состоянии гидродинамической дисперсии, в упорядоченные, правильные периодические структуры. Другими словами, звук представляет собой инструмент, посредством которого временная структура частотных спектров может обретать правильные в пространственном и геометрическом отношении формы.

Планетарная система, основанная на музыкальной пропорции 6, 8, 9,12 арифметическою и гармонического среднего между знаменателями геометрической прогрессии 6 и 12, вместе с другими тонами пифагорейского диатонического (основного) звукоряда

Звуковые частоты в этом эксперименте принуждают хаотически движущиеся частицы образовывать геометрически правильные формы.

СПРАВА. Геометрически симметричные фигуры получены при частотной интерференции электронного луча. Семилучевая фигура возникает из круга и вновь возвращается в него.

На этом рисунке для получения музыкальных соотношений объединены две важные фигуры: треугольник со сторонами 3, 4, 5 и Золотое сечение. Хотя мы и укажем последовательность создания этой диаграммы, все же мы не рекомендуем ее для начинающих геометров. Она основана на рисунке из книги «Божественная пропорция» Г.Э. Хантли.

Начертите окружность с центом в точке Ьи радиусом ЬА, проведите диаметр АС. Начертите линию, перпендикулярную АС и проходящую через точку А. Начертите дугу из центра А радиусом АС до точки F. Начертите линию из точки F, проходящую через центр Ьдо пересечения с окружностью в точке Н. Начертите линию из точки А, перпендикулярную FHи продлите ее до пересечения с окружностью в точке D.

Повторите то же самое для линии CB, перпендикулярной к FH. Начертите прямоугольник ABCD. (АВСДпредставляет собой прямоугольник со сторонами, относящимися как 1 :

2, доказательство заключается в том, что ЬА- 1/2AF. Треугольник LJC подобен треугольнику LAF. JL= 1/2JC. ВА = 1/2ВС.)

Постройте треугольник со сторонами 3, 4, 5, проведя линию из точки F, которая касается окружности в точке D и продлите ее до пересечения с диаметром АС в точке Е. Доказательство того, что стороны треугольника равны 3, 4,

5, сделано по египетскому методу углового сложения: AFMи DFMоба равны и являются половинными углами (углы 1 : 2).

1 1 (1 х 2) + (1х 2)_2 + 2 _4 AE = 4

Начертите окружность с центром в точке Jи радиусом JN.

Соотношение с малой стороной прямоугольника (АВ) = Единичность: МЬ= 1/2

НМ =JN = GJ= ф(при вращении радиуса (по- лудиагонали) LCвокруг точки Ьдо точки Н)

GM = JG + JM= ф+ 1=ф² MN = MK = JN-JM= q>-1 = 1/ф KJ = JM-MK= 1 - 1/ф= 1 /ф² GK = GJ + JK= ф+ 1ф²= 2

JO= 1/ф(вследствие подобия треугольников JKOи МКА)

В древнем Египте слуховое восприятие - т. е. прямой ответ на пропорциональные законы звука и формы - считалось эпистемологическим основанием философии и науки. Оно пробуждалось слепым арфистом, чья вошедшая в поговорку мудрость пришла не из видимого мира явлений, а из внутреннего видения метафизического закона.

Сегодня ряд современных наук подтверждает древнее космогоническое видение вибрационного сотворения с помощью Созидающего слова и Космического звука. Ален Данитлу указывает, что именно погруженность в такой таинственный взаимообмен между вибрацией и формой послужила основой для великих духовных культур прошлого:

«От атома и до вселенной каждое космическое движение обладает временем, ритмом, периодичностью и может быть сравнимо с вибрацией, а, следовательно, и со звуком, который является выражением ее природы. Не все вибрации воспринимаются нашими ушами, но отношения между ними можно сравнить со слышимыми частотами. Все атомы могут, таким образом, рассматриваться как формы энергии, которая проявляет себя через ритм, и все вещества ха-

JR =JG=ф

Если за единицу принимается единица измерения в треугольнике 3, 4, 5 вместо принятой до этого за единицу стороны прямоугольника 1 : 2, то возникает вторая последовательность отношений фвместе с последовательностью отношений целых чисел, которые являются основными для образования музыкальных рядов:

Если AF = 3, а не л/5, и Единица = AF/3, то сторона прямоугольника 1:2 = AF/AC= З/л/5 = 1,3416.

Тогда RF= 3 х ф= 4,854.

HF= 1/ф х 3 = 3/ф

рактеризуются конкретной взаимосвязью ритмов, которые могут формулироваться через взаимосвязь звуков. Именно по причине такого сходства между взаимосвязями звуков, с одной стороны, и формой и веществом природы, с другой стороны, возможны язык и музыка. Чистые звуки, нематериальные звуки, которые образуют содержательную природу вещей и которые Кабир называет «беззвучной музыкой», могут постигаться посредством приспособлений, которые более чувствительны, чем наши уши. Достижение такого восприятия является одной из целей упражнений таких любопытных физико-ментальных практик как йога».

(«Трактат по сравнительноймузыкологии») И сэр Джон Вудроф в своих переводах индусских текстов говорит:

«Естественное имя существа представляет собой звук, произведенный согласованным действием движущихся сил, которые образуют его. Именно поэтому говорится, что тот, кто мысленно или физически произносит естественное имя существа, дает жизнь существу, которое носит это имя».

(«Гирлянда писем»)

VIII. АНТРОПОС

Геометрическая космология, исследование которой мы проводим, является частью доктрины сотворения, известной как антропокосмизм, которая, в свою очередь, является фундаментальной для эзотерической традиции в философии, начиная с древнейших времен, и которая заново сформулирована в наше время Рудольфом Штайнером, РА.Шваллером де Любичем и другими. Первый принцип этой теории заключается в том, что Человек представляет собой не просто составную часть вселенной, скорее он является конечным итоговым продуктом эволюции и исходным зерном потенциальности, из которого началось зарождение вселенной. Мы можем воспользоваться аналогией между зерном и деревом: дерево вселенной является актуализацией зерна потенциальности, которым является Космический человек. В данном случае я использую слово Человек в том смысле, в каком на санскрите однокоренное с английским словом man слово manas означает «разум» или сознание, которое может размышлять о самом себе.

Тот же самый образ тождественности между зерном и деревом, между Космическим человеком и преходящим человеком на древе эволюции приводится в Книге Бытия. Для объяснения я воспользуюсь некоторыми идеями из книги Шифр Бытия автора-каббалиста Карло Суартса, перефразировав их в терминах антропокосмической мысли.

В главе 1 Бытия Адам помещен в сад со всеми уже созданными животными и растениями. Адам представляет собой обобщение или конечный этап эволюционного процесса. Это согласуется с парадигмой Человека как вместилища или конечного итога всего эволюционного развертывания, предшествовавшего ему.

В главе 2 Адам (теперь воспринимаемый как схематическая организация всего космического метаболизма) представляет собой перворожденное создание. В этой главе, которая вроде бы противоречит первой, Яхве-Элохим создает всех животных и показывает их Адаму, и Адам проходит испытание путем присвоения имени каждому из них. В этом испытании Адам узнаете каждой особи свое ответвление от собственного центрального пути. Он может дать им имя, поскольку знает их как самого себя. Адам является центральным стволом эволюционного дерева. Особи животных представляют собой сравнительно постоянные специализированные ответвления от пульсирующей сердцевины.

Видимое противоречие между главой 1 и 2 Книги Бытия находит свою параллель в современной эмбриологии, которая также дает нам две противоречивые теории развития человека: теорию «итога» и теорию «неотении». Первая теория, которая соответствует главе 1, представляет собой теорию о том, что животные повторяют фазы взрослого организма своих предков во время эмбрионального и послеродового роста. Поэтому человеческий эмбрион проходит через все основные эволюционные этапы, которые предшествовали ему: не только через этапы развития млекопитающих, рептилий, рыб и растений, но также (на ранних стадиях клеточного деления) и все этапы развития правильных геометрических тел. Неотения, тем не менее, предлагает фактически противоположный взгляд, который соответствует главе 2 Книги Бытия. Эта теория основывается на том факте, что существует свыше двадцати важных характеристик тела, которые являются общими для человека и примата, но у приматов они проявляются на стадии эмбриона или молодой особи, а затем исчезают. Физически люди представляют собой преждевременно рожденных приматов, у которых указанные физические черты были гормонально заторможены или прерваны.

Когда Адам дает имена различным особям, он узнает или, как мы должны сказать, припоминает свое собственное эмбриональное прошлое (подведение итога). Но он также осознает себя пылающим зерном, первичной моделью всего органического процесса вселенской жизни (неотении). Адам в этот момент сотворения может объявить: «Я не вижу ничего, что не является мной;

Идея Космического человека повторяется в современной науке в виде концепции голограммы, которая показывает, что каждый фрагмент целого содержит элементы всей структуры целого. В то же время, будучи конкретным компонентом целого, он проявляет себя кок индивидуум. В древней науке метафорическое применение понятия антропо- косма служило основанием для астрологической философии, его также можно обнаружить в алхимии в виде поиска философского камня: части, в которой можно найти целое. Во времена Ренессанса при рисовании тела человека соблюдались важные пропорции вселенских геометрических форм и музыкальных отношений. На рисунке мы видим корреляцию между \ 2 и воспроизводящим органом человека.

Я не вижу ничего, что, взятое вместе, подобно мне». Так Адам проходит испытание. Он не ограничивается своей самоидентификацией с последовательными этапами эволюции, связанными с минералами, растениями и животными, и в тоже время идентифицирует себя с высшей силой при организации космической энергии, с непроявленной геометрией зерна-идеи.

Вместе со своей идентификацией с первоначальной вселенской природой Адам готов к своей инкарнации в качестве Адама Кадмона, материализованного Космического или Божественного человека.

Ведическая традиция передает то же антропокосмическое видение, но с более метафизической позиции. Она говорит нам о том, что Бог создал вселенную из-за своего желания увидеть себя и восхищаться собой. Бытие такого непостижимого Бога может рассматриваться как все- сознающее, все-содержащее, всемогущее, однородное, бесконечное расширение чистого, бесформенного духа. Его желание увидеть себя сотворенным (или отделенным от себя самого) в виде Идеи самого себя называется в индийской мысли реальностью-идеей. Такое божественное само- восприятие, «созидающее слово» в иудейско-христианской мысли, само это явление является Космическим человеком. И такой Космический человек является тем, что мы, обыкновенные люди, называем Вселенной.

Сотворенная вселенная затем рассматривается как питающая плацента, посредством которой такая Божественная самоидея воплощает себя или инкарнирует: создает бытие, облекшееся в материю, для того, чтобы стать воспринимаемым и обожаемым. Эта позиция противоположна нашему обычному мышлению. Человечество не рассматривается как ребенок или продукт матери-земли, а, скорее, земля является основополагающим свойством, содержащимся в образе Космического человека.

Антропокосмическая философия представляет эволюцию как непрерывный инверсионный обмен между вечным Космическим человеком и эволюционирующим человечеством. Вселенское бытие скручивается в плотную семя-форму самого себя. В принципе это наблюдается в царстве минералов: в крайней степени бессознательное, неизменное сгущение. Такое семя затем вызывает противоположное движение эволюции. Наступает черед мира растений, который стремится вверх, за пределы ограничений; он одушевляет, высвобождает и воплощает в себе божественные качества, которые были заперты или заключены в минерале.

Эти божественные качества, проявляющие себя и выделяющиеся как функциональные принципы и этапы роста в мире растений - а именно корень, стебель, листья, цветы, плод, семя, - мы можем рассматривать как символы-аналоги для всего вселенского процесса Становления.

Затем возникает мир животных в виде инверсии к растительному процессу, и здесь мы можем обнаружить альтернативный ритм инволюции (скручивания) и эволюции, который служит источником последующих миров. Животные вновь «привлекают» принципы, действия и жизненные функции, которые растения «развили» или открыли, прояснили и возвысили. С помощью такой инволюции животные достигают способности к индивидуальной мобильности, которая является необходимой предшественницей индивидуальной воли. Инволюция может рассматриваться как материализация духа, а эволюция - как одушевление материи.

Рудольф Штайнер дает эффектный образ такого процесса, заметив, что человек в его животном теле является в действительности ничем иным как вывернутым наизнанку растением. Респираторную функцию в растении выполняет лист. Эта функция выполняется открытыми солнцу листьями, расположенными на внешних окончаниях в соответствии с принципом ветвления. У человека респираторная функция выполняется легкими, ветви которого находятся в нем самом.

Продолжая аналогию, мы можем увидеть, что цветок, который являетсяполовым органом растения, растет вверх и тянет энергию растения вверх, к свету, тогда как у человека и животного половые органы направлены вниз ипритягивают энергии тела в этом же направлении. Корни растений находятся в земле, у человека характерная корневая функция обнаруживается визвилинах мозга, который пустил корни в небесах мысли и ментальных энергий. Ментальный процесс представляет собой процесс переваривания, ассимиляции и преобразования, который функционирует как более высокая, чем у желудочно-кишечного, переваривающего процесса, частота, как вид желудочнокишечного тракта, который также имеет извилистую форму. Таким образом, последовательность миров в физическом мире, начиная с минералов до растений, от них - к животным, становится символом постоянного движения инволюции и эволюции одного Бытия, которое разделено на взаимодополняющие качества духа и материи.

В рамках логики такого видения эволюции, целью физического человека является трансформация его текущей животной инкарнации в тело света, как это происходит при эволюции растения из инволюционного мираминералов. Посредством концепции Человека, отождествляемого с Космосом, концепции антропокосмизма, сакральная геометрия становится космограммой, изображающей драму такого божественного рождения. И во временавсех эпох строительства храмов сакральная архитектура, основанная на такой геометрии, была книгой, раскрывающей эту вечную драму.

В Индии все еще жива традиция Ваступурушамандала- традиция проектирования храмов, в основе которой - Космический человек. Мы также обнаружили, что архитектурная модель для великих готических соборов представляла собой вселенского Христа-человека на кресте сотворения. В Египте существует один большой храм, построенный по образцу человеческой фигуры. Это - храм Луксор, в котором Космический человек представлен и в архитектуре, и на ритуальных барельефах в процессе своего рождения. Индусская архитектурная сутра говорит: «Вселенная присутствует в храме в виде пропорций».

В наше время наблюдается сближение новой биологической науки, основанной на кибернетике и теории информации, и мистической доктрины антропокосмизма. С эволюционирующей вселенной вокруг и внутри нас можно соприкоснуться только посредством наших чувственных органов. Поэтому наш мозг и тело неизбежно формируют все наши восприятия и сами формируются теми же видимыми и невидимыми энергиями, которые создают каждую воспринимаемую вещь. Тело, Разум и Вселенная должны обладать своей созидательной самобытностью. Выражение «Человек, познай себя» было принципом древней науки, каким оно постепенно становится и в науке современной. Процитируем физика Роберта Дайка:

Правильный образ мыслей не соответствует выражению: «Вот вселенная, а каким должен быть человек?» Вместо этого мы должны спросить: «Вот человек, а какой должна быть вселенная?»

(Цитируется по книге К.У. Мизнера, К.С. Торна, Д.А. Уиллера «Гравитация»)

Человеческое тело в своих пропорциях содержит все важные геометрические и землемерные функции и системы измерений. Древнеегипетский кубит, который представляет собой пространственно-временную пропорциональную меру длины (1/1000 часть расстояния, которое земля по экватору проходит за одну секунду при вращении), фут, морская сажень, древнеегипетский эквивалент метра, - все эти Отношение куба к вписанной сфере меры длины соизмеримы с размером или дви

жением земли. Отношение фзадается пупком. Идеальные пропорции человека предполагают, что отношение длины руки к общей длине тела соответствует отношению между хордой и дугой в 60°. Длина верхней части тела (выше вертлюжной впадины) так относится к общей длине тела, как объем сферы относится к объему описанного вокруг нее куба (1 : 1,90983).

Кроме того длина верхней части тела относится к длине лонной дуги как п/3:1 или 1,047 : 1. Так, пропорции идеального человека сосредоточены в центре круга неизменных космических отношений.

Посредством отождествления с важными вселенскими пропорциями, выраженными с помощью формы такого идеального человека, каждый отдельно взятый человек может поразмыслить над связью между его собственной физиологией и вселенской космологией и, благодаря этому, представить свою собственную связь с вселенской природой. Эта совокупность универсальных пропорций в теле Идеального человека становится во многих цивилизациях основой для выработки критериев (канонов), которые регулируют размер песнопений и стихов, движений в танце и пропорций в ремеслах, искусстве и архитектуре.

Человек и Крест как основа замысла плана собора. В философии храмовой архитектуры храм должен олицетворять образ Парадигматического человека, высший архетип, который эманирует из себя весь мир.

X. ПРОИСХОЖДЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Восприятие объема дает другую метафору для первоначального и вечно продолжающегося созидающего акта материализации Духа и создания форм. Сам древний миф о сотворении, происходящий из города Гелиополиса, расположенного в Египте, дает пример такого способа воображения. Нун, Космический океан, символизирует чистое, непроявленное дух-пространство без границ и формы. Он предшествует любому распространению, любой конкретности, любому божеству. Он является чистой потенциальностью. Через семя или желание Создателя, который скрыт в этом океане Нун, неразделенное пространство приходит в движение, для того чтобы сжаться и сгуститься с образованием объема. Так Атум, создатель, сначала создает или выделяет себя из неопределенного Нун путем создания объема, для того чтобы начался процесс сотворения.

Какую же форму мог иметь этот первый объем? Какие объемные формы являются наиболее важными? Существует пять объемных форм, которые считаются наиболее важными, поскольку они являются единственными формами, у которых все ребра и все внутренние углы равны между собой. К ним относятся тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр и икосаэдр, и они являются отображением в объеме соответственно треугольника, квадрата и пятиугольника: 3, 4, 5. Все другие правильные объемные тела получаются путем усечения этих пяти. Эти пять тел называются Платоновыми, потому что предполагается, что Платон уже был знаком с ними, когда писал «Тимея» - диалог, в котором он дает обзор космологии с использованием плоскостной геометрии и геометрии тел. В этом диалоге, который, по сравнению со всеми остальными работами Платона, носит наиболее ярко выраженный пифагорейский характер, он доказывает, что четырьмя базовыми элементами в мире являются земля, воздух, огонь и вода, и что каждый из этих элементов соотносится с одной из пространственных фигур. Традиция связывает куб с землей, тетраэдр с огнем, октаэдр с воздухом и икосаэдр с водой. Платон упоминает «некое пятое построение», использованное создателем при сотворении вселенной. Так додекаэдр стал ассоциироваться с пятым элементом: эфиром (праной). Устроитель вселенной Платона установил порядок из первобытного хаоса этих элементов с помощью основополагающих форм и чисел. Приведение в порядок в соответствии с числом и формой на более высоком уровне привело к предначертанному расположению пяти элементов в физической вселенной. Основополагающие формы и числа затем стали действовать в качестве границы раздела между высшим и низшим мирами. Сами по себе и в силу своей аналогии с другими элементами, они обладали способностью формировать материальный мир.

Как отмечает Гордон Пламмер в своей книге «Математика космического разума», индусская традиция связывает икосаэдр с Пурушей. Пуруша представляет собой семя-образ Брамы, высшего создателя самого себя, и в качестве такового этот образ представляет собой карту или план вселенной. Пуруша является аналогом Космического человека, антропокосмизма западной эзотерической традиции. Икосаэдр представляет собой очевидный выбор для этой первой формы,

Пять правильных Платоновых тел.

НА ПРЕДЫДУЩЕЙ СТРАНИЦЕ. Пять правильных многогранников или Платоновых тел использовались, и были известны задолго до времени Платона. КейтКричлоу в своей книге «Время остановилось»дает убедительное свидетельство тому, что они были известны людям неолита Британии, по крайней мере, за 1000 лет до Платона. Это заявление основывается на наличии ряда сферических камней, хранящихся в музее Ашмолин в Оксфорде. Эти камни, размеры которых соответствовали тому, что можно уместить в руке, были покрыты геометрически точными сферическими фигурами куба, тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра, также как и некоторые дополнительные сложносоставные и псевдоправильные тела, такие как кубо-октаэдр и ико- додекаэдр. Кричлоу говорит: То что у нас ель, представляет собой объекты, несомненно указывающие на степень математических способностей, которые до сих пор отрицались в отношениичеловека неолита некоторыми археологами или историками математики. Он размышляет о возможной связи этих объектов со строительством больших каменных номических колец в Британии, относящихся к той же эпохе: «Изучение небес связано, кроме всего прочего, с роботами со сферой, которые требуют понимания сферических координат. Если жители неолита Шотландии построили МейсХауи до того, кок пирамиды были построены древними египтянами, то почему бы им не изучать законы трехмерных координат? Не является ли то, что Платон, а также Птолемей, Кеплер и Аль-Кинди приписывали космическое значение этим фигурам, не более, чем совпадением?» Одновременно Люси Пейми в ее ожидаемой книге о ской системе мер приводит доказательство того, что ем о данных пяти телах обладали уже в Древнем царстве Египта.

Рабочая книга 9

Платоновы тела

Рисунок 9.1. Одновременное образование Платоновых тел в икосаэдре. Начертите окружность радиусом ОАи впишите в нее шестиугольник (2,5) со стороной ОА=

1. Проведите вертикальный диаметр АВ. Пометьте каждую вершину шестиугольника цифрами с 1 до 6 и начертите три диагонали 1-4, 2-5, 3-6. Из центра в средней точ- кеСрадиусом СА начертите дугу до пересечения с радиусом 0-2 в точке 11. Линия СА = V5/2 разделит радиус 0-2 в соотношении 1/ф и \/ф². Начертите окружность радиусом 0-11 и в местах, где эта окружность пересекает радиусы шестиугольника, сделайте пометки в виде точек и пронумеруйте их с 7 до 12.

Рисунок 9.3. Внутри сферы,

кость: 10-6-7-2-11, центральная ось которой проходит по диаметру через точку 4.) Повторите то же самое с точками 5,6, 1, 2 и 3, обращайтесь к Рисунку 9.2 как к наглядному примеру. Из точки 8 проведите «лучи» 8-12, 8-5, 8-6, 8-1 и 811. Повторите то же самое с точками 9, 7, 11, 12 и 10.

обозначьте икосаэдр только с помощью его 12 точек. Начертите все связи между 12 вершинами, опустив те из них, которые проходят через центр сферы. Видно, что из каждой точки к противоположной точке можно провести максимум 5 «лучей».

Например, из точки 4 проведите линии 4-10, 4-6, 47, 4-2 и 4-11. (В действительности 5 противоположных точек будут задавать правильную пятиугольную плос-

Рисунок 9.2. Точки 7, 8 и 9 образуют одну из 20 граней икосаэдра. Эта грань, как и другие 19, представляет собой равносторонний треугольник, показанный здесь в точной пропорции, поскольку он параллелен плоскости рисунка. Грани 7, 8, 2; 8, 9, 4; 9, 7, 6; и 6, 7, 1; 1, 7, 2; 2, 8, 3; 3, 8, 4; 4, 9, 5; и 5, 9, 6 завершают 10 граней, непосредственно видимых нашим глазам. Точки 10, 11, 12 обозначают другую плоскость, видимую в точной пропорции. Она расположена непосредственно напротив плоскости 7, 8, 9, но скрыта от глаз, как и другие 9 плоскостей, отмеченных на рисунке прерывистыми линиями.

Можно видеть, что с помощью ф, «божественного семени», икосаэдр обретает форму.

радиус которой равен радиусу круга из предыдущего рисунка,

Все множество таких «лучей» будет пересекаться группами по 3 луча в 20 точках пересечения. Эти 20 точек являются вершинами, которые задают додекаэдр, «подвешенный» внутри более крупного икосаэдра. Здесь показаны для ясности шесть видимых граней из 12.

Возникновение додекаэдра происходит спонтанно, как результат естественного пересечения всех внутренних точек- источников икосаэдра. Эти две фигуры являются обратными друг другу: обе состоят из 30 ребер, но, несмотря на это, икосаэдр имеет 20 граней и 12 вершин, а додекаэдр 12 граней и 20 вершин.

Рисунки 9.4, 9.5. Создание додекаэдра автоматически дает нам готовый куб, который определяется 8 вершинами додекаэдра и ребрами, совпадающими с диагональю каждой грани. На рисунке видна верхняя грань 1,

2, 3, 4 и две боковые грани 3, 4, 5, 6 и 1, 4, 5, 7. Диагонали граней этого куба образуют переплетенный или звездообразный тетраэдр. Звездообразный тетраэдр состоит из двух тетраэдров с вершинами, направленными в противоположные стороны; именно эти два тетраэдра и сплетены друг с другом.

Объем, занимаемый этими двумя тетраэдрами, задает ок-

таэдр, что таким образом и завершает эту группу, состоящую из правильных многогранников.

На рисунке куб полностью включает в себя звездообразный тетраэдр. Октаэдр, как и куб, звездообразный тетраэдр и икосаэдр, виден здесь в двумерной перспективе, в плоскости, в виде шестиугольника. Только додекаэдр не входит в наружный контур шестиугольника.

Не только проекции внутренних радиусов икосаэдра образуют ребра додекаэдра, но и аналогично проекция радиуса додекаэдра дает ребро икосаэдра. Такое попеременное получение проекции одной формы из другой здесь обозначено только в виде линий без геометрического доказательства, которое вполне можно провести.

Давайте на словах повторим то, что мы проделали с помощью геометрии. Если мы соединим все внутренние вершины икосаэдра, нарисовав три линии из каждой из них, соединяющих каждую вершину с ей противолежащей, и затем из двух верхних вершин проведем четыре линии к двум противоположным, так чтобы эти линии сошлись в центре, мы, действуя в соответствии со сказанным, естественным образом построим ребра додекаэдра (смотрите Рисунок 9.1 и 9.2). Такое построение происходит автоматически при пересечении внутренних линий икосаэдра. После создания додекаэдра мы можем, просто используя шесть из его вершин и центр, построить куб. Используя диагонали куба, мы можем построить звездообразный или переплетенный тетраэдр. Пересечения звездообразного тетраэдра с кубом дают нам точное местоположение для построения вписанного октаэдра. Затем в самом октаэдре с использованием внутренних линий икосаэдра и вершин октаэдра получается второй икосаэдр. Мы прошли через весь полный цикл, пять этапов от семени к семени. И такие действия представляют собой бесконечную последовательность.

Если размер стороны куба равен 1, то сторона внешнего икосаэдра будет равна 4, а у додекаэдра длина стороны будет равна 1/ф. Длина стороны у переплетенных тетраэдров будет равна V2. Длина стороны октаэдра составит 1/V2, а сторона нового маленького внутреннего икосаэдра будет равна 1/ф²: ошеломляющее созвездие гармоний! Отец (Пуруша) дал рождение самому себе.

Единственным ключом, который необходим, для того чтобы начать такое рисование, является метод, с помощью которого необходимо знать, как находить вершины первого икосаэдра. Он дается нам на радиусе окружности и является результатом деления на ф.

Комментарии к Рабочей книге 9

Индусы представляли себе Пурушу как не проявленного и не затронутого сотворением, точно так же как на рисунке икосаэдр не соприкасается с другими телами. Додекаэдр рассматривался как Пракрити, женская сила созидания и проявленности, Вселенская мать, квинтэссенция естественной вселенной. Этот додекаэдр соприкасается со всеми телами сотворения, находясь внутри своего тихого, наблюдательного партнера. Переплетенный тетраэдр рассматривается как сочетание инь и ян, поскольку тетраэдр представляет собой пространство троичности и поэтому является первичным символом функции, сопровождаемой ей обратной. Результатом такого гармонического пересечения противоположностей является куб, символизирующий материальное существование, четыре состояния материи: землю, воздух, огонь, воду. И куб, и переплетенный тетраэдр соприкасаются с додекаэдром. В самом сердце этого тетраэдра находится октаэдр, и поскольку куб образован на его вершинах, октаэдр символизирует кристаллизацию, статичное совершенство материи. Это - алмаз, сердце космического тела, трансформированные и очищенные линзы света, двойная пирамида. Внешнее продвижение, которое распространяется во все более обширные миры, разграничивает само себя, свое сотворение: икосаэдр, Пуруша, который порождает додекаэдр, Практрити, а внутри Пракрити - полная свобода проявленного существования. Сгущение начинается с помощью секретного семени, которое сжимает круг, бесконечный неразделенный дух в икосаэдре. Семя - это фи, огонь духа.

Трансцендентные принципы: икосаэдр и додекаэдр, Пуруша и Пракрити, первичнаядуаль- ность - каждый обладает пропорцией фи. Но когда мы подходим к уровню естественного мира противоположныхдуальностей - инь и ян - и к кубу материи, и его кристаллизации в октаэдре, здесь появляется корень из 2, который и вступает в действие. Корень из 2 представляет способ, посредством которого ф действует в природе. И из октаэдра, очищенного состояния материи, его кристаллизации в драгоценных камнях, возрождается икосаэдр, его размеры пропорциональны фи: 1/ф². Эта пропорция 1/ф² = 0,382. представляет собой геометрическую функцию, связываемую с Христом (смотрите стр. 63). Будучи квадратом, она выражает проявленную форму, Сына, и будучи стороной внутреннего икосаэдра, она представляет собой инкарнацию или точный образ первоначального, образующего икосаэдра, Отца, Пурушу, Антропокосма.

роде. В своих идеальных формах они существуют только на метафизическом уровне как чистые креативные идеализации и могут быть отображены только посредством гео- Два куба поваренной соли метрии, только тогда сознание способно усвоить их

Моноклиническая система гипса

УХ

Гексагональная система берилла

Трехгранная система кварца

идокраза

Хлорит в кварце

Мир минералов отображает чистую геометрию тел с особой ясностью, но при этом важно помнить, что них тел не существует в при

Пуруша и Пракрити представляют собой вечную созидательную дихотомию в индусской мифологии. Пуруша является антропокос- мическим, парадигматическим Человеком или Семенем, которое создает Пракрити, вечную пленительную Женственность, для того, чтобы ее чрево дало жизнь его собственному овеществлению в мире форм.

Толкование солнечной системы, данное Кеплером, представлялось в виде одного платонового тела, размещенного в другом; радиусы взаимодействующих концентрических сфер соответствуют орбитам планет

НА СЛЕДУЮЩЕЙ СТРАНИЦЕ. На ном рисунке правильные многогранники определяются девятью концентрическими окружностями, расположение которых дает всю необходимую информацию для поп роения этих тел. Каждое тело находится в простом гармоническом взаимоотношении с другими телами, именно эти трансцендентные функции V2, /рИ ^образуют указанные модели взаимоотношений. Как и на предыдущем рисунке, все эти тела возникают одновременно. Но в данном случае, если удалить одну из концентрических окружностей, вся структура не сможет воспроизвести оставшиеся тела. Это является образом великой буддистской идеи о взаимозависимом порождении архетипических принципов сотворения.

Эти символические объемные тела образно воспроизводят нашу космическую историю и превосходно отображают колоссальные движения, значение которых они передают. Суть заключается в постоянном обмене между икосаэдром, мужским началом, Пурушей, и додекаэдром, женским началом, Пракрити. Икосаэдр представляет собой фигуру с 12 вершинами и 20 гранями. Он является структурой, состоящей из треугольников: три является динамическим «мужским» числом. Андрогинный додекаэдр, как источник жизни, имеет 12 граней и 20 вершин и представляет собой фигуру, в основе которой лежит число пять, число жизни (мужское число 3 + женское число

1) . Звезда, рожденная внутри пятиугольника додекаэдра, представляет собой конфигурацию Космического человека, улучшающего жизнь, Золотую пропорцию.

Те же пять правильных тел в соответствии с классической традицией рисуются таким образом, что они содержатся в девяти концентрических окружностях, и каждое тело соприкасается со сферой, которая описана вокруг следующего тела, расположенного внутри ее. Такая композиция проявляет немало важных взаимоотношений и заимствована из дисциплины, называемой coapotransparente, относящейся к восприятию сфер, изготовленных из прозрачного материала и

размещенных одна в другой. Такое наставление давалось Фра Лукой Паччоли многим великим людям Ренессанса, включая Леонардо, Брунуллески и Зорзи.

Фра Лука Паччоли, величайший учитель сакральной геометрии времен Ренессанса. Сосредоточение внимания ученика на прозрачных телах было способом, который должен был помочь увидеть метафизические реальности за рамками всех их внешних проявлений.

Существует мнение, что в индусской метафизике каждое из тел представляет собой символ одного из невидимых тонких конвертов, которые, как предполагалось, окружают и взаимодействуют с физическим телом человека. Эта традиция связывает

небольшой, расположенный в центральной части икосаэдр с окончательным Совершенством Тела в его физическом проявлении; октаэдр - с физическим или Питающимся телом (местом, где расположен инстинктивный разум);

тетраэдр - с прановым или Энергетическим телом (местом, где расположена интуитивно-ментальная способность); куб - с телом Сознания «чистого разума»;

додекаэдр - с телом Знания (местом, где расположено врожденное знание о тождественности);

икосаэдр - с телом Блаженства (то, что относится к медитации).

В заключение мы можем задать вопрос: как упражнения по сакральной геометрии могут помочь нам справиться со сложными вопросами существования: Какова природа Духа? Какова природа Сознания? Какова природа Тела?

Мои личные геометрические упражнения дают на это ответ: Тело является наиболее сконцентрированным проявлением Сознания, а Сознание представляет собой все тонкие продолжения Тела; и в основании всего мира, от наиболее сконцентрированного до наиболее тонкого, лежит одно вещество. Этим веществом является Дух, который очаровывает красотой геометрических построений.

На фотографии показан эффект преломления с максимальным увеличением, которое может позволить себе наука в отношении природы атомного вещества, представляющего собой геометрически организованные структуры света-энергии.

БИБЛИОГРАФИЯ

Acts of John, The, Apocrypha ofthe New Testament.

Aurobindo. Sri, The Life

Divine,Centenary Edition, vols 18, 19,Pondicherry, India, Sri AurobindoAshram Trust,

1970.

Beckmann, Petr, A History of Phi,New York, St Martin's Press, 1971.

Boyer, Carl В., 'Zero, the Symbol,the Concept, the Number',National Mathematics Magazine. Brunts,

Tons, The Secrets of

AncientGeometry - and its Use,

2 vols, Copenhagen, Rhodos, 1%7.

Charpentier, Louis,

TлеMysteriesofChartres Cathedral (trs. SirRonald Fraser), London, Research into LostKnowledge Organization, 1972.

Colman, Samuel, N. A.,

Nature'sHarmonic Unity, New York,Putnam's, 1912.

Critchlow, Keith, Islamic Patterns,London, Thames & Hudson, New York, Schocken, 1976.

--- , Order in Space,

London,Thames & Hudson, 1969,New York, Viking, 1970 --- , Time Stands Still,

London,Gordon Fraser, 1979, ForestGrove (Ore.), International Scholarly BookService, 1980.

Danitlou, Alain, Traitk demusicology comparke, Paris,1959.

--- , Hindu Polytheism,

BollingenSeries LXXIII, New York.Pantheon Books, 1%4. Danzig, Tobias, Number, theLanguage 4 Science, New York, The Free Press, 1967.

De Nicolbs, Antonio, Avatara, NewYork. Nicolas Hays, 1976.

Fabre d'olivet, Antoine, LaMusigue expliguke commescience el comme art, Collection Delphica, Lausanne,Aged'Homme, 1972.

Fournier des Corats, D.,

LaProportion kgyptienne et lesrapports de divine harmonie, Paris, Editions Vega,1957.

Ghyka, Matila, Esthhique

desproportions dans la nature etdans les arts, Paris, Gallimard, 1933. -, The Geometry 4 Art and Li/e.New York, Dover, 1977.

---, Le Nombre d'or, 3 vols, Paris,Gallimard. 1931.

Gillings, Richard J., Mathematicsin the Time of the Pharaohs,Cambridge (Mass.), London. MITPress, 1972.

Gutnon, Rent, Les Principes ducalcul infinitksimal, Paris, Gallimard, 1946.

Hambidge, Jay, The Elements ofDynamic Symmetry, New York, Dover, 1967.

Heninger. S. K., Jr., Touches

ofSweet Harmony, San Marino, California, Huntington Library, 1974.

Jenny, Hans, Cymaticc I and

11, Basel, Basilius Press, 1974.

Kramrisch, Stella. The

HinduTemple, 2 vols, Delhi, MotilalBanarsidass Press.

1976.

Levarie, Siegmund, and

ErnstLevy, Tone: A Study in MusicalAcoustics, Kent State University Press, 1968.

McClain, Ernest, The Myth ofInvariance, New York, NicolasHays, 1976; Boulder (Col.), London,Shambhala, 1978.

--- , The Pythagorean Plato:

Preludeto the Song Itself, New York, Nicolas Hays, 1978.

Menninger, Karl, NumberWords and Number

Symbols,Cambridge (Mass),

MIT Press, 1970,London, MITPress, 1977.

Michel, Paul Henri, De Pythagoreb Euclide: contribution cil'histoire des mathimatiques prkeuclidiennes,Paris, Belles Lettres, 1950. Michell, John, City of Revelation,London, Garnstone Press, 1972,New York, Ballantine, 1977.

Ntroman, D., Les Lqons de Platon,Paris, Niclaus, 1943.

Nicomachus of

Gerasa,Introduction to Arithmetic (tn.Martin Luther D'Ooge), New York, Macmillan. 1926; inEuclid, The Thirteen Books ofEuclid's Elements. Cambridge, Cambridge UniversityPress, 1926.

(NicomachusGerasenus),Manu el d'harmonigue et autrestextes rklatifs b la musique (trs. C.-E. Ruelle), Paris, Baur, 1881.

Pauling, Linus and Hayward,Roger, The Architecture ofMolecules, San Francisco, London, W. H.

Freeman, 1 %4.

Peet, Eric, TheRhind MathematicalPapyrus, Liverpool. LiverpoolUniversity Press, London, Hodder and Stoughton,1923; Reston (Va.),National Council of Teachers ofMathematics, 1979.

Plato, Timaeus (trs. ThomasTaylor), Minneapolis.Wizard'sBookshel f, 1975.

Puree, Jill, The Mystic

Spiral,London. Thames & Hudson,1974, New York, Thames & Hudson, 1980.

Schwaller de Lubicz, R. A.. LeMiracle kgyptien, Paris,Flammarion, 1963.

--- , Le Roi de

lathkocratiepharaonique, Paris,Flammarion, 1961(Forthcoming in English from InnerTraditions

International, NewYork.)

--- , Symbol and the Symbolic, (trs.R. and D. Lawlor), Brookline(Mass.), Autumn Press, 1978.

--- , Le Temple de

l'homme.Paris,Caracteres. 1957, trs. R. and D.Lawloras The Temple in Man, Brookline(Mass.), Autumn Press, 1977.

Schwenk, Theodore,

SensitiveChaos, London,

Rudolf SteinerPress, 1965,

New York, Schocken. 1978.

Smith, D. E., History

ofMathematics. 2 vols, New York,Dover, 1958.

Suares, Carlo, The Cipher ofGenesis (trs. from the French),London,Stuart & Watkins 1970, New York,Bantam Books, 1973.

Theon of Smyrna, The MathematicsUseful for Understanding Plato (trs.From the GreeklFrenchedn ofJ. Dupuis by R. and D. Lawlor), San Diego (Cal.), Wizard'sBookshelf, 1979.

Thompson, D'Arcy, On Growth andForm, Cambridge UniversityPress, 1971.

Toben, Bob, Space, Time andBeyond, New York, Dutton,1975.

Van den Broeck,

Andrt,Philosophical Geometry, SouthOtselic, New York, Sadhana Press, 1972.

Vitruvius, Ten Books

onArchitecture, New York, Dover,1960.

Warusfel, Andrt, Les Nombres et leurs mystdres, Paris, Seuil, 1961.

Young, Arthur, The Geometry of Meaning, New York, Delacorte Press, 1976,London, Wildwood House, 1977.

Фоберт Лолор предлагает нам методы анализа и расчетов форм и размеров самых разных объектов, как природных, таки созданных человеком Эти методы дают возможность понять гармонию цветка, готического собора, человеческого тела и музыки.

Мыслителям Древнего Египта, Греции и Индии было известно, что числа управляют практически всем, что есть в нашем мире, поэтому работа с ними позволяет приблизиться к Создателю.

С помощью простых наглядных примеров и упражнений он ведет читателя к глубокому пониманию логарифмически спирали, Золотого сечения, квадратуры круга. Освоив методы Роберта Лолора, можно понять идеи, которыми руководствовались великие архитекторы прошлого и которые сейчас применяются дли прогнозных моделей фондовых рынков, а пытливый ум найдет им и другое применение.

Цитируется по статье А. И. Щетникова Пифагорейский алгоритм для вычисления сторонних и диагональных чисел и понятие семенного логоса (http://www.nsu.ru/classics/pythagoros/Algorythm_Teona.pdf).

Внимание следует обратить на две характеристики этих дробных прогрессий:

во-первых, чем дальше мы идем по последовательности, тем ближе отношение между числителем и знаменателем подходит к величине несоизмеримого корня из 5 = 2,2360679...

Например, функция из нашей последовательности 29/13 = 2,230. является приближением к значению V5, но немного меньше его. А следующая дробь 47/21 = 2,23809. также является приближением к значению V5, но немного больше его. Идущая далее дробь 76/34 = 2,235 опять меньше значения несоизмеримого корня, но гораздо ближе, чем предыдущее отношение; 123/53 = 2,23636 больше точного значения, но все же ближе к нужному значению. Эта модель опять представляет собой колебание вверх и вниз, все сильнее приближающееся к надрациональному корню.

Второй характеристикой является то, что мы можем воспринимать эти последовательные числовые взаимоотношения как пространственные формы, т.е. квадраты и прямоугольники. Для преобразования этой последовательности в спиральную конфигурацию мы просто возьмем 1 в качестве стороны квадрата и добавим последовательность квадратов к уже существующей фигуре так, чтобы сторона каждого нового квадрата равнялась величине, на которую была увеличена предыдущая фигура, начиная с начальной:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д.

Первоначальный прямоугольник 1 : 2 уже образован путем прибавления 1 к 1 (1 + 1), так что величина 2 становится длиной стороны квадрата, который добавляется к первоначальному прямоугольнику, давая в результате 3. Эта тройка становится стороной нового квадрата, который добавляется к предыдущему прямоугольнику 3 : 2, образуя новое отношение 3:5.

Отношение между двумя последующими членами этой последовательности стремится к ф. Логарифмическая функция ф(см. стр. 56) позволяет найти, взяв три последующих члена последовательности, например, ф², поскольку выражение 1 + ф = фв точности соответствует выражению суммы 8 и 13 = 21, а отношение 13 : 8 можно рассматривать как величину, стремящуюся к ф, тогда как 21 : 8 является значением ф².

Теперь возьмем нашу последовательность числителей и преобразуем их в пространственные фигуры, рассматривая отношение 1 : 3 в качестве прямоугольника и прибавляя к ним квадрат так, как мы это делали раньше. Первый квадрат, сторона которого должна равняться 3 при прибавлении к первоначальным прямоугольникам, дает отношение 3 : 4. Сторона второго квадрата будет равна 4, а четверка, прибавленная к 3, даст 7, что предоставляет нам второе отношение: 4 :

7. Продолжая таким образом, мы получим последовательность чисел: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,76, 123, 199 и т.д.

www.e-puzzle.ru

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 361; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 23

Мы поможем в написании ваших работ!