Дискретизация непрерывных сообщений

 

Преобразование аналогового сигнала в дискретный называется дискретизацией. В результате ее получается амплитудно-импульсный сигнал (АИМ). Различают амплитудную импульсную модуляцию первого (АИМ-1) и второго рода (АИМ-2).

При АИМ-1 амплитуда импульса следует за изменениями модулирующего сообщения в течение всего времени существования этого импульса (рисунок 4, в). Модулированная последовательность в этом случае определяется

где U₀ – амплитуда немодулированных прямоугольных импульсов;

m_АИМ – коэффициент глубины модуляции импульсов;

λ(t) – непрерывное сообщение (рисунок 4, а);

S(t) – нормированная функция, выражающая форму импульса;

t_i = iТ₀ + t_н – момент появления i-го импульса относительно t = 0 (i = 1, 2, 3, ...);

В случае АИМ-2 амплитуда импульса определяется мгновенным значением сообщения, взятым в момент t_i = iТ₀, и сохраняется постоянной во время импульса (рисунок 4, г).

Модулированный сигнал АИМ-2 можно записать следующим образом:

                     U(t) = U₀ [1 + m_АИМ λ(t)] S(t – t_i).                (5)

Определим спектр сигнала АИМ-1, если модулирующий (дискретизируемый) сигнал имеет вид λ(t) = U cos ωt, где U – амплитуда гармонического сигнала (U = 1 В). В этом случае выражение (4) принимает вид

λ(ti)

λ

Рисунок 4 – Формирование амплитудно-импульсного сигнала

Немодулированная последовательность импульсов с периодом следования Т₀ – . Так как функция S₀(t) периодическая, ее можно разложить в ряд Фурье

где – постоянная составляющая; ;

A_n – амплитуда n-й гармоники, ;

ω₀ – круговая частота основной (первой) гармоники прямоугольных импульсов (частота дискретизации), рад/с; ω₀ = 2π/Т₀ = 2πf₀;

φ_n – начальная фаза n-й гармоники.

Таким образом, спектр несущего колебания содержит постоянную составляющую и гармоники частоты дискретизации.

Подставляя выражение (7) в равенство (6), получим

Если модулирующий (дискретизируемый) сигнал имеет вид λ(t) = U sin(ωt) (при U = 1 В), то сигнал на выходе модулятора при АИМ-2 определяется соотношением

где |A(jω)| – модуль спектральной плотности немодулированных импульсов.

Для прямоугольного импульса модуль спектральной плотности амплитуд

где t_и – длительность прямоугольного импульса.

При ω = 0 модуль спектральной плотности |A(jω)| = U₀ t_и.

Поскольку модуль спектральной плотности |A(jω)| входит в общей форме в выражение (9), оно пригодно для расчета частотных спектров при любой форме немодулированных импульсов.

Из формул (8) и (9) видно, что спектр АИМ сигнала состоит из постоянной составляющей, спектральной составляющей, имеющей частоту ω модулирующего сигнала, и ряда боковых частот типа
nω₀ ± ω при каждой гармонике частоты дискретизации. Составляющую с частотой ω можно считать боковой частотой при «нулевой» гармонике (ω = 0) частоты дискретизации (рисунок 5).

Общий характер спектров сигналов АИМ-1 и АИМ-2 одинаков. В обоих случаях в составе спектра имеется составляющая с частотой ω. Есть и различия, которые сводятся к следующему. При АИМ-1 амплитуды колебаний двух боковых частот, симметрично расположенных по обе стороны каждой гармоники частоты дискретизации, равны между собой и определяются значением спектральной плотности одиночного импульса А_п. При АИМ-2 эти амплитуды различны и определяются значениями А(nω₀ ± ω). Что касается спектральной составляющей с частотой ω, то при АИМ-1 ее амплитуда пропорциональна а₀, а при АИМ-2 – А(ω). Указанные различия между АИМ-1 и АИМ-2 становятся незначительными если модулирующее сообщение за время существования импульса изменяется мало. Это происходит при уменьшении длительности импульсов t_и. В пределе, при t_и → 0, различие между АИМ-1 и АИМ-2 пропадает.

Рисунок 5 – Спектральная диаграмма АИМ сигнала при синусоидальном модулирующем сигнале

При отсутствии перемодуляции боковые составляющие, по крайней мере, в 2 раз меньше своих несущих.

Задача восстановления непрерывного сигнала из последовательности его дискретных отсчетов как при АИМ-1, так и АИМ-2 заключается в фильтрации модулирующего сигнала с частотой ω, находящегося в низкочастотной части спектра АИМ сигнала, с помощью ФНЧ, при этом подавляются составляющие высокочастотной части спектра.

В тех случаях, когда модулирующий сигнал характеризуется спектром с полосой частот от ω_н до ω_в , спектральная диаграмма АИМ сигнала будет иметь более сложный вид. Теперь вместо отдельных пар боковых колебаний около частот nω₀ (где п = 1, 2, 3,…) будут наблюдаться боковые полосы (рисунок 6), а в низкочастотной части спектра модулированного колебания – спектр модулирующего сигнала. С помощью ФНЧ из такого спектра АИМ сигнала может быть выделена полоса частот модулирующего сигнала.

Рассмотрим вопрос о выборе величины частоты дискретизации f₀. Если она выбрана из условия f₀ = 2f_в (ω₀ = 2ω_в), то, как следует из рисунка 6, нижняя боковая полоса частот, определяемая из условия (ω₀ – ω_в = 2ω_в – ω_в = ω_в), совпадает с верхней частотой спектра модулирующего сигнала, а для восстановления непрерывного сигнала из последовательности его дискретных отсчетов необходимо использовать идеальный фильтр нижних частот с частотой среза f_ср = f_в (ω_ср = ω_в).

В реальных системах частоту дискретизации выбирают из условия f₀ > 2f_в, обычно f₀ = (2.3 … 2.4) f_в, и, в частности, для дискретизации телефонных сообщений, имеющих диапазон частот 0.3–3.4 кГц, величина частоты дискретизации выбрана 8 кГц. При этом образуется защитный промежуток Δf_з (Δω_з), позволяющий использовать простые ФНЧ на приеме для восстановления непрерывного сигнала из последовательности его дискретных отсчетов.

Если f₀ < 2f_в, то выделение модулирующего сигнала с помощью ФНЧ окажется невозможным, так как в полосу пропускания фильтра попадет часть нижней боковой полосы частот. Таким образом, убеждаемся в необходимости выполнения условия (1), вытекающего из теоремы Котельникова.

 

 

Рисунок 6 – Спектральная диаграмма АИМ сигнала при модулирующем сигнале с полосой частот от ω_Н до ω_В

 

---

Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 311; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!