Аналитические условия равновесия произвольной системы сил
(шесть уравнений статики абсолютно твердого тела)
 |
Пусть на твердое тело, находящееся в равновесии, действует система сил
(рис. 28).
Выберем произвольную систему координат и обозначим проекции сил на оси координат:
, 
, 
.
Главный вектор этой системы сил:
.
Его проекции на оси координат:
,
,
.
Главный момент вычислим относительно полюса, находящегося в начале координат:
.
Главный момент относительно полюса в начале координат проектируем на каждую из осей координат:
.
На основании теоремы о связи между моментами силы относительно полюса и оси:
,
,
.
По основной теореме статики для равновесия тела под действием произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю главный вектор и главный момент относительно произвольного полюса, то есть
, (I) 
, (II)
Векторное равенство (I) эквивалентно трем скалярным:
1. 
,
2. 
,
3. 
.
Векторное равенство (II) так же эквивалентно трем скалярным:
4. 
,
5. 
,
6. 
.
На основании полученного результата основная теорема статики может быть сформулирована так:
Для того, чтобы твердое тело под действием произвольной системы сил находилось в равновесии необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат и сумма моментов всех сил относительно каждой из осей координат равнялась нулю, то есть чтобы выполнялись шесть уравнений статики:
1. 
, 4. 
,
2. 
, 5. 
,
3. , 6. 
.
Частные случаи аналитических условий равновесия
1. Плоская система произвольно расположенных сил (все силы лежат в одной плоскости).
Выберем оси координат так, чтобы оси 
и 
лежали в плоскости сил (рис. 29). В этом случае из шести уравнений статики 3-е, 4-е, 5-е удовлетворяются тождественно. Уравнениями равновесия являются три:
1. ,
2. 
,
3. 
.
Для того, чтобы тело под действием плоской системы произвольно расположенных сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три уравнения статики: два уравнения проекций на оси, лежащие в плоскости сил и дно уравнение моментов относительно оси, перпендикулярной плоскости сил.
1. Плоская система параллельных сил.
Оси координат выбираем так, чтобы оси и лежали в одной плоскости с силами, причем ось 
параллельна силам (рис. 30). Это частный случай произвольной плоской системы сил. Из трех уравнений произвольной плоской системы сил первое выполняется тождественно, а уравнениями равновесия остаются следующие два:
1. 
.
2. 
.
Для того, чтобы тело под действием плоской системы параллельных сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два уравнения равновесия: уравнение проекций на ось, параллельную силам и уравнение моментов относительно оси, перпендикулярной плоскости сил.
3. Пространственная система параллельных сил.
Выберем оси координат так, чтобы ось 
была параллельна силам. В этом случае из шести уравнений статики 1-е, 2-е, 6-е удовлетворяются тождественно, а уравнениями равновесия остаются следующие три:
1. 
,
2. 
,
3. 
.
Для того, чтобы тело под действием пространственной системы параллельных сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три уравнения статики: уравнение проекций на ось, параллельную силам и два уравнения моментов относительно осей, перпендикулярных силам.
4. Система сходящихся сил.
 |
Выберем начало координат в точке схода (рис. 32) Так как моменты сил относительно осей координат равны нулю, то уравнения 4,5,6 выполняются тождественно. А уравнениями равновесия остаются первые три (они уже были получены ранее).
1. , 2. , 3. 
.
4. Плоская система сходящихся сил.
Линии действия всех сил пересекаются в точке 
, и все силы лежат в плоскости 
(рис. 33). Уравнениями равновесия такой системы являются:
1. 
,
2. . ,
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 342; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!