УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ В ОБЩЕМ И ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ
Основная лемма статики
Леммой называют теорему, необходимую только для доказательства другой теоремы.
Лемма. Любая система сил эквивалентна системе из двух сил, то есть любая система сил с помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам.
Доказательство.
 |
Предварительно докажем лемму для трех сил
, 
, 
.
Проведем две плоскости (рис. 26); одну через силу и точку 
, вторую через силу и ту же точку 
.
Эти плоскости, имея общую точку , имеют общую прямую. На этой прямой выберем произвольную точку 
и соединим точки и прямыми с точками 
и 
, в которых приложены силы и . Разложим силы и 
на составляющие по проведенным направлениям: 
,
. Перенесем силы 
и 
по их линиям действия в точку 
, а силы 
и 
в точку (рис. 27). В результате получим две системы сходящихся сил:{ 
} и { 
.
 |
Заменяем силы
и , приложенные в точке , их геометрической суммой 
, приложенной в той же точке: 
, а силы 
, приложенные в точке – силой 
, приложенной так же в точке . В результате применения только элементарных операций система сил { 
} приведена к двум силам { 
}. Итак, заданная система сил { 
} эквивалентна двум силам { 
}:
{ }~{ },
что и требовалось доказать.
Если задана система, состоящая из 
сил, то тогда, последовательно заменяя каждые три силы двумя, уменьшаем число сил системы. Процесс заканчивается, когда остается только три силы.
{ 
} — сил
{ 
} 
—сил
{ 
} 
—сил
…… …
{ 
} 
—силы
Основная теорема статики (общие условия равновесия системы сил)
Теорема. Для того, чтобы тело под действием системы произвольно расположенных сил находилось в равновесии необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно некоторого полюса этой системы сил были равны нулю.
Доказательство.
Необходимость.
Дано: система сил 
– в равновесии.
Требуется доказать: 
, 
.
На основании основной леммы статики система 
с помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам, то есть
.
Так как 
и при этом тело под действием системы сил 
находится в равновесии, то в соответствии с физическим свойством элементарных операций оно будет находиться в равновесии и под действием системы сил 
. Итак тело находится в равновесии под действием двух сил 
и 
. По первой аксиоме статики эти силы прямопротивоположные. Значит главный вектор системы : 
. Главный момент этой системы сил, то есть геометрическая сумма двух прямопротивоположных сил относительно одного и того же полюса:
.
Так как главный вектор и главный момент системы 
равны главному вектору и главному моменту системы 
– геометрическое свойство элементарных операций, то
, 
,
то есть главный вектор и главный момент относительно произвольного полюса первоначальной системы 
равны нулю.
Достаточность.
Дано: система сил , главный вектор и главный момент которой: ; 
.
Доказать: тело под действием системы сил 
находится в равновесии.
На основании основной леммы статики систему 
с помощью элементарных операций можно привести к двум силам, то есть
.
У этих систем сил равны главные векторы и главные моменты относительно некоторого полюса 
, 
– геометрическое свойство элементарных операций. Тогда 
, 
. Иными словами:
; 
. Из того, что главный вектор равен нулю, следует, что эти две силы 
и либо прямопротивоположные, либо образуют пару. Так как главный момент пары от полюса не зависит и отличен от нуля, то случай пары исключается, Поэтому силы и прямопротивоположные и, следовательно, по первой аксиоме статики, тело под действием системы сил 
находится в равновесии. Под действием первоначальной системы сил тело также находится в равновесии, так как элементарные операции не нарушают состояние равновесия тела.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 276; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!