Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.
Из геометрических соотношений: AM = MF ; AM = x + p /2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y 2 = 2 px
Уравнение директрисы: x = - p /2.
Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4.
r = x + p /2 = 4; следовательно:
x = 2; y 2 = 16; y = ± 4. Искомые точки: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).
Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Исследование поверхностей методом сечений.
Поверхности второго порядка.
Уравнение плоскости в пространстве характеризуется тем, что все переменные входят в степенях не выше первой. Поэтому плоскость является поверхностью 1го порядка. Если в уравнение поверхности хотя бы одна переменная входит во 2й степени, то говорят о поверхностях 2го порядка.
Сфера:
Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.
Цилиндрические поверхности.
Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные множеством параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой фиксированной линии (направляющей).
Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z , т.е. направляющие параллельны оси О z . Тип линии на плоскости ХO Y (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих :
|
|
1) - эллиптический цилиндр.
2) - гиперболический цилиндр.
2) x2 = 2py – параболический цилиндр.
Конической поверхностью называется множество прямых (образующих), проходящих через
Некоторые точки вершины и пересекающие некоторую линию (направляющую).
Конус второго порядка:
Эллипсоид – поверхность, которая подходящим образом подобрана в системе координат и имеет уравнение
т.к. в уравнение текущие координаты входят в четных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей. Числа полуоси эллипсоида.
Чтобы установить форму эллипсоида, будем пересекать его плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
пересечем плоскостью .
Если линия лежит на , то отсутствует, значит, линия пересечения будет иметь вид: . При получается эллипс с полуосями и .
эллипс.
Аналогично рассекаем плоскостью .
Пересечение эллипсоида любой поверхностью дает эллипс.
Однополостный гиперболоид – плоскость, которая в подходящим образом подобранной системе координат задается уравнением:
|
|
Имеет 3 плоскости симметрии (координатные плоскости).
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 633; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!