Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z 0 ), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали ( A , B , C ) имеет вид:
A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0.
Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении Ах + Ву + С z + D = 0 поделить обе части на (- D )
,
заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:
Числа a , b , c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z .
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М1( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) в общей декартовой системе координат.
Для того, чтобы произвольная точка М( x , y , z ) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.
( ) = 0
Таким образом,
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,
Коллинеарным плоскости.
Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z ), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны.
|
|
Уравнение плоскости :
Уравнение плоскости в векторной форме.
где
- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z ),
- единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.
A , b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z .
P – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcos a + ycos b + zcos g - p = 0.
Взаимное расположение плоскостей.
Пусть заданы 2 плоскости:
Плоскости параллельны, а их векторы коллинеарны.
условие параллельности.
плоскости совпадают.
, т.е. скалярное произведение равно 0.
условие перпендикулярности.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z 0 ) до плоскости Ах+Ву+С z + D =0 равно:
Угол между плоскостями.
Угол между плоскостями и равен:
Прямая в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве по точке и
Направляющему вектору.
Положение прямой в пространстве определяется фиксированной точкой и параллельным ей вектором.Такой вектор наз. направляющим, М(х, у, z )-текущая точка прямой.
|
|
Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t , получаем канонические уравнения прямой в пространстве:
.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей
Через две точки.
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:
.
.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 386; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!