Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Обратная матрица
может быть построена по следующей схеме:
det A - определитель матрицы А;
Если , то матрица называется невырожденной, а в противном случае – вырожденной.
Обратная матрица может быть построена только для невырожденных матриц.
Свойства обратных матриц.
1) (A-1)-1 = A;
2) (AB)-1 = B-1A-1
3) (AT)-1 = (A-1)T.
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.
Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.
Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.
Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.
Пример. Определить ранг матрицы.
~ ~ , RgA = 2.
Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли (формулировка). Правило Крамера.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: ,
где aij – коэффициенты, а bi – свободные члены ур-ий. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
|
|
Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений матрица
А = называется матрицей системы, а матрица
А*= называется расширенной матрицей системы.
Определение. Если b 1 , b 2 , …, bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.
Элементарные преобразования систем.
К элементарным преобразованиям относятся:
Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
Перестановка уравнений местами.
Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
Теорема Кронекера – Капелли.
(условие совместности системы)
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA * .
Следствие. Если ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы, то система не совместна.
Метод Крамера.
Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
|
|
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 261; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!