Геометрический смысл производной
Рис. 7 | Пусть непрерывная функция , где , дифференцируема в некоторой точке , а кривая L – график этой функции, содержащий точку . Выберем на кривой L произвольную точку М (х; у) и построим секущую М0М (см. рис. 7). Точку М можно выбрать сколь угодно близко в точке М0. Положение секущей при этом будет изменяться. |
Касательной к кривой L в точке М0 Î L называется прямая М0Т, занимающая предельное положение секущей М0М (М Î L) при М ® М0 (если такое положение существует).
Геометрический смысл производной: производная функции в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой х0: .
Уравнение касательной к кривой L в точке (х0; f (х0)), записанное как уравнение прямой, проходящей через точку (х0; f (х0)) и имеющей угловой коэффициент имеет вид:
или
.
Уравнение нормали к кривой (прямой, проходящей через точку кривой L с абсциссой х0 перпендикулярно касательной) составляется аналогичным образом с учетом того, что ее угловой коэффициент равен:
,
то есть или .
Пример. Составим уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:
1)
2)
Решение.
1)
Согласно определению производной, имеем:
Тогда уравнение касательной примет вид: или
Уравнение нормали запишем в виде:
2)
Согласно определению производной, имеем:
|
|
Уравнение нормали запишем в виде:
Механический смысл производной
Положим, что материальная точка движется прямолинейно по закону тогда ее средняя скорость за промежуток времени вычисляется по формуле:
Как известно, мгновенной скоростью в момент времени t0 называется предел (если он существует), которому стремится средняя скорость за промежуток времени при , т.е.
Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t.
В этом состоит физический смысл производной.
Пример. Найдем скорость движения материальной точки в момент времени t = 4, если закон движения задан формулой:
Решение. Найдем по определению: , тогда
Правила дифференцирования
Если функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках интервала
(a; b) , то для любого х Î (a; b) выполняются следующие равенства:
1.
2.
3.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Формулы дифференцирования
№ п/п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
C | х | хп | ex | ax | ||||||
0 | 1 | nxn-1 | cosx | -sin x | ex | ax |
№ п/п | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
arcsinx | arccosx | arctgx | arcctgx | |||
Пример. Вычислим производные следующих функций, используя правила и формулы дифференцирования:
|
|
1.
2.
3.
Решение.
Для решения первого примера используем правило вычисления производной алгебраической суммы функций и следствие:
Для решения второго и третьего примеров используем правила вычисления производных произведения и отношения функций и следствие:
Задания. Вычислите производную функции:
1)
Решение. _________________________________________________
Ответ:
2)
Решение. _________________________________________________
Ответ:
3)
Решение. _________________________________________________
Ответ:
Производная сложной функции
С понятием сложной функции Вы уже неоднократно сталкивались в школьном курсе математики. Пусть даны две функции и , причем область определения функции содержит область значений функции .
Функция, заданная формулой , называется сложной функцией, составленной из функций g и j или суперпозицией функций g и j.
Пример. Для функций и составим и .
Решение.
;
Вышеуказанный пример наглядно демонстрирует тот факт, что результат суперпозиции двух различных функций зависит от порядка, в котором эти функции следуют. Рассмотрим теорему о производной сложной функции:
|
|
Теорема. Пусть функция , х Î ( a; b), имеет производную в точке х0 Î ( a; b), а функция определена на интервале, содержащем множество значений функции g, и имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке х0,, которая вычисляется по формуле:
Пример. Найдем производные следующих функций:
1) ;
2) ;
3) .
Решение.
1) Полагаем, что , тогда . Отсюда, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем:
.
2) Полагаем, что , тогда . Отсюда, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем:
.
3) Имеем, что
Задание. Найдите производные следующих функций:
1)
Решение.____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ:
2)
Решение.____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ:
Дифференциал
Дифференциал функции – это главная часть приращения функции в точке х, так что , где – бесконечно малая величина.
Дифференциал функции вычисляется по формуле:
,
где – дифференциал аргумента, равный приращению аргумента в данной точке.
Рис. 8 | Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение (см. рис. 8). Приближенное равенство используется в приближенных вычислениях. В таких случаях значение выражения заменяют приближением: |
|
|
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 245; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!