Первый и второй замечательные пределы.
Рис. 1 | Первый замечательный предел. Вывод первого замечательного предела представляет интерес с точки зрения приложения теории пределов, и поэтому мы предлагаем Вам его практически целиком. Рассмотрим поведение функции при . Для этого рассмотрим окружность радиуса 1; обозначим центральный угол МОВ через х, при этом . |
Тогда явно площадь DМОА < площадь сектора МОА < площадь DСОА (см. рис. 1).
S DМОА =
S МОА= = S DCОА=
Вернувшись к упомянутому неравенству и удвоив его, получим:
sin x < x < tg x.
Поскольку , то переменная заключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, т.е. , на основании теоремы о пределе промежуточной функции предыдущего пункта имеем:
- первый замечательный предел.
Пример. Вычислите пределы функций, используя первый замечательный предел:
1) ; 2) ; 3)
Решение.
1) Разложим как отношение и объединим множители по вышеуказанной схеме:
2) Применяя формулу , произведем подстановку и получим:
3) Разделим числитель и знаменатель дроби на х, затем выровняем сложные аргументы, компенсируя преобразование добавочным коэффициентом и получим:
Ответ. 1) 1, 2) 0, 3)
Задание: Вычислите предел функции, используя первый замечательный предел:
Решение:
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ:-2.
|
|
Второй замечательный предел.
Для вывода второго замечательного предела введем определение числа е:
Определение. Предел переменной величины при называется числом е:
- второй замечательный предел
Число е – иррациональное число. Его значение с десятью верными знаками после запятой обычно округляют до одного верного знака после запятой:
e = 2,7182818284…» 2,7.
Теорема. Функция при х, стремящемся к бесконечности, стремится к пределу е:
Пример. Вычислите пределы функций:
1) 2) ; 3)
Решение.
1)
2) Введем новую переменную с целью свести предел ко второму замечательному пределу: , отсюда . При имеем , т. е. .
Кроме того, аналогичным образом можно доказать, что
3) Разложив числитель данной дроби на слагаемые, добьемся выделения 1, а затем примем и используем упомянутое выше утверждение:
Ответ. 1) е3 , 2) е2, 3) е4.
Задание. Вычислите предел функции, используя второй замечательный предел:
Решение:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
|
|
Ответ: е-5
Непрерывность функции
Непрерывность функции в точке
Определение. Функция f( x), x Î ( a; b) называется непрерывной в точке xо Î ( a; b), если предел функции f( x) в точке хо существует и равен значению функции в этой точке:
.
Согласно данному определению, непрерывность функции f( x) в точке хо означает выполнимость следующих условий:
1) функция f( x) должна быть определена в точке хо;
2) у функции f( x) должен существовать предел в точке хо;
3) предел функции f( x) в точке хо должен совпадать со значением функции в этой точке.
Пример.
Функция f( x) = x2 определена на всей числовой прямой и непрерывна в точке х = 1 поскольку f(1) = 1 и
Непрерывность функции на множестве
Определение. Функция f(x), называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Если функция непрерывна в некоторой точке, то эта точка называется точкой непрерывности данной функции. В тех случаях, когда предел функции в данной точке не существует или его значение не совпадает со значением функции в данной точке, то функция называется разрывной в этой точке, а сама точка – точкой разрыва функции f(x).
Свойства непрерывных функций.
|
|
1) Сумма конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.
2) Произведение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.
3) Отношение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точке а.
Пример.
1) Функция f( x) = xп, где n Î N, непрерывна на всей числовой прямой. Доказать этот факт можно, используя свойство 2 и непрерывность функции f( x) = x.
2) Функция f( x) = с xп (с – константа) непрерывна на всей числовой прямой, исходя из свойства 2 и примера 1.
Теорема 2. Любая дробно-рациональная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
Пример.
1) Функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой знаменатель дроби обращается в нуль.
2)
Определение Функция f( x) называется непрерывной в точке х = а, если в этой точке ее приращение стремится к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю, или иначе: функция f (х) называется непрерывной в точке х = а , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если
|
|
Односторонние пределы функции*
Левосторонний предел функции.Если отыскивается предел функции f( x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые меньше а, то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции f (х) (или левым пределом функции).
Для того чтобы показать, что х стремится к а, оставаясь меньше а, употребляется запись: , а левосторонний предел функции обозначается символом: .
Правосторонний предел функции.Если отыскивается предел функции f( x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые больше а, то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции f( x) (или правым пределом функции).
То, что х, стремясь к а, остается больше а, обозначается так: , а правосторонний предел функции обозначается символом: .
Очевидно, что предел функции при существует только тогда, когда существуют и равны между собой ее левосторонний и правосторонний пределы, т. е. когда .
Определение Функция f( x) называется непрерывной при х = а, если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т. е. f( a). То есть:
.
Точки разрыва и их классификация*
Если равенство в какой-либо его части не выполняется, то о точке говорят, что она является точкой разрыва.
Точка разрыва первого рода
Рис. 2 | Определение. Если левосторонний предел функции и ее правосторонний предел существуют, но не равны, между собой, т. е. если то точка а называется точкой разрыва первого рода (см. рис. 2). |
Точка разрыва второго рода
а) б) | Определение. Если в точке х = а не существует конечный левосторонний или правосторонний предел функции или оба одновременно, то эта точка называется точкой разрыва второго рода. На рис. 3, а отсутствует левосторонний предел функции; на рис. 3, б – нет правостороннего предела функции. |
Рис. 3 |
Рис. 4 | На рис. 4 представлен график функции, которая не имеет в точке х = а ни левостороннего, ни правостороннего предела. Во всех этих случаях говорят, что функция в точке х = а терпит разрыв второго рода (иначе: точка х = а — точка разрыва второго рода). |
Устранимый разрыв
Определение. Если в точке х = а функция f( x) имеет левосторонний и правосторонний пределы и эти пределы между собой равны, но их значения не совпадают со значением функции в точке а, т. е. со значением f( a), то точка х = а называется точкой устранимого» разрыва.
Таким образом, в этом случае . Разрыв «устраняется» тем, что полагают , т. е. принимают, что .
Пример. Пользуясь определением непрерывности функции через предел , докажем, что функция непрерывна в произвольной точке.
Решение. Выразим приращение функции при произвольном приращении аргумента в некоторой точке х:
Подставим полученные выражения в формулу приращения функции, и после упрощения получим:
.
Найдем предел приращения функции при приращении аргумента, стремящемся к 0:
В итоге получаем, что при любом значении х предел приращения функции равен нулю, что доказывает ее непрерывность при любом значении х.
Пример. Исследуем на непрерывность при х = 1 следующую функцию:
.
Решение. Так как знаменатель дроби равен нулю при , то функция разрывна при . Установим характер этой точки разрыва. Найдем сначала левосторонний предел функции:
Если , то можно представить , и считать, что , оставаясь положительной, стремится к нулю. Заменяя х на , получим:
так как при величина бесконечно большая, также бесконечно велика, – бесконечно большая величина, обратная ей величина бесконечно мала: , а потому
Теперь определим правосторонний предел функции. Если х →1 + 0, можно положить х = 1 + α (α > 0) и считать, что α, оставаясь положительной, стремится к нулю.
Тогда, заменяя х на 1 + α, получим:
,
.) |
Итак, у функции существуют и левосторонний предел, равный 2, и правосторонний предел, равный 3, но между собой они не равны. Из этого мы заключаем, что точка является для заданной функции точкой разрыва первого рода.
Пример. Построим графики и определим, какого рода разрыв имеет функция в данной точке (если точка не указана, определим точки разрыва самостоятельно):
1) , 2) 3) .
Решение.
1) в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис. 5, а).
2) в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис. 5, в).
3) функция имеет точки разрыва и . В обеих точках функция имеет разрыв второго рода (см. рис. 5, б).
| ||
а) | б) | в) |
Рис. 5 | ||
Вопросы для самоконтроля
- Дайте определение предела последовательности.
- Дайте определение предела функции.
- Сформулируйте теоремы о пределе функции.
- Дайте определения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- Назовите основные неопределенности при вычислении пределов функции.
- Объясните основные методы раскрытия неопределенностей.
- Дайте определение непрерывной функции.
- Дайте определение точек разрыва функции 1 и 2 рода*.
Контрольные задания
Вычислить пределы функции:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 576; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!