Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части.

Задача 51. Дано , . Найти и .

Решение. Сначала проверим уравнение Лапласа, т.е. что сумма вторых производных равна 0.

Их сумма равна 0. Уравнение Лапласа выполняется. Поэтому данная может являться одной из компонент какой-либо комплексной функции. Далее надо вычислить , найдём её в виде потенциала от её градиента: то есть в виде потенциала векторного поля . Дело в том, что в такой записи можно заменить производные от неизвестной функции на производные от известной функции по условиям Коши-Римана. . А первые производные от уже известны, мы их вычисляли выше в процессе проверки уравнения Лапласа. Как и при вычислении потенциала, в качестве начальной точки как правило, принимаем (0,0) и интегрируем по ломаной.

= = =

= . Но так как начальная точка была взята произвольно, то надо записать в самом общем виде:

При этом константа должна быть такая, чтобы обеспечивалось равенство , т.е. , т.е. в точке было , таким образом, должно быть .

Итак, .

Осталось восстановить функцию . Для этого вспомним, что:

и применим эти выражения в записи .

= =

= .

Как видим, здесь в процессе преобразований полностью сократилось. Так и должно было быть, ведь

Ответ. .

Задача 52. . Найти и .

Решение. Сначала проверим уравнение Лапласа.

Их сумма равна 0, уравнение Лапласа выполняется, - одна из компонент комплексной функции.

= =

далее по ломаной интеграл вида

= = =

= .

В общем виде, потенциал равен .

Условие означает и сводится к

Тогда .

Итак, = = . Далее на примере этой задачи мы увидим, что не обязательно использовать выражения , , можно просто сгруппировать слагаемые так, чтобы свернуть их по формуле Эйлера.

В выражении надо получить структуру , для этого внутри скобки поделим на а снаружи домножим.

= = =

= = .

Ответ. .

Практика № 7. 15 и 18.10.2018

Задача 53. . Найти и .

Решение. Проверим уравнение Лапласа.

, .

Сумма вторых производных равна 0.

Ищем в виде потенциала от её же градиента.

где заменяем производные от неизвестной функции на производные от известной ( ) по условиям Коши-Римана.

= =

А первые производные от мы уже считали, когда проверяли уравнение Лапласа, их и используем здесь.

= = = .

Но если бы мы выбрали не (0,0) а другую начальную точку, то могло получиться и выражение с какой-то лишней константой, например если (1,2) то было бы = = .